2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（四川卷解析版）

1 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 四川卷 解析版 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题 四川卷 解析版 参考公式 如果事件互斥 那么 球的表面积公式 P ABP AP B 2 4SRp 如果事件相互独立 那么 其中表示球的半径R 球的体积公式 P A BP A P B A 如果事件在一次试验中发生的概率是 那么 Ap 3 4 3 VRp 在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中表示球的半径nAkR 1 0 1 2 kknk nn P kC ppkn 第一部分第一部分 选择题 选择题 共共 6060 分 分 注意事项 注意事项 1 选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上 2 本部分共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 一 选择题 每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 一 选择题 每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 的展开式中的系数是 7 1 x 2 x A B C D 42352821 答案 D 解析 二项式展开式的通项公式为 令 k 2 则 7 1 x 1 k T kkx C7 22 73 xCT 21Cx 2 7 2 的系数为 点评 高考二项展开式问题题型难度不大 要得到这部分分值 首先需要熟练掌握二项展 开式的通项公式 其次需要强化考生的计算能力 2 复数 2 1 2 i i A B C D 11 ii 答案 B 解析 2 1 2 i i 1 2 21 2 i ii 点评 突出考查知识点 不需采用分母实数化等常规方法 分子直接展开就可以 1 2 i 3 函数在处的极限是 2 9 3 3 ln 2 3 x x f x x xx 3x 2 DC AE B A 不存在 B 等于 C 等于 D 等于630 答案 A 解析 分段函数在 x 3 处不是无限靠近同一个值 故不存在极限 点评 对于分段函数 掌握好定义域的范围是关键 4 如图 正方形的边长为 延长至 使 连接 则ABCD1BAE1AE ECED sinCED A B C D 3 10 10 10 10 5 10 5 15 答案 B 10 10 cos1sin 10 103 ECED2 CD ECED CEDcos 1CD5CBABEAEC 2ADAEED11AE 2 222 2 2 22 CEDCED 正方形的边长也为解析 点评 注意恒等式 sin2 cos2 1 的使用 需要用 的的范围决定其正余弦值的正负情况 5 函数的图象可能是 1 0 1 x yaaa a 答案 C 解析 采用排除法 函数恒过 1 0 选项只有 C 符合 故选 C 0 1 x yaa aa 点评 函数大致图像问题 解决方法多样 其中特殊值验证 排除法比较常用 且简单易用 6 下列命题正确的是 A 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 答案 C 解析 若两条直线和同一平面所成角相等 这两条直线可能平行 也可能为异面直线 也可 能相交 所以 A 错 一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等 则这两个 平面平行 故 B 错 若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行 也可以垂直 故 D 错 故选项 C 正确 3 点评 本题旨在考查立体几何的线 面位置关系及线面的判定和性质 需要熟练掌握课本基 础知识的定义 定理及公式 7 设 都是非零向量 下列四个条件中 使成立的充分条件是 a b ab ab A B C D 且ab ab 2ab ab ab 答案 D 解析 若使成立 则选项中只有 D 能保证 故选 D ab ab 方向相同 与ba 点评 本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同 学习向量知识时需注意易考易错零 向量 其模为 0 且方向任意 8 已知抛物线关于轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点 若点到xO 0 2 MyM 该抛物线焦点的距离为 则 3 OM A B C D 2 22 342 5 答案 B 解析 设抛物线方程为 y2 2px p 0 则焦点坐标为 准线方程为 x 0 2 p 2 p 32 22 2 22 2 22 1 3 2 p 2 3 2 p 2 22 0 22 0 2 OM M yp y M M 点 解得 且 线的距离到焦点的距离等于到准 在抛物线上 点评 本题旨在考查抛物线的定义 MF d M 为抛物线上任意一点 F 为抛物线的焦点 d 为点 M 到准线的距离 9 某公司生产甲 乙两种桶装产品 已知生产甲产品 1 桶需耗原料 1 千克 原料 2 千AB 克 生产乙产品 1 桶需耗原料 2 千克 原料 1 千克 每桶甲产品的利润是 300 元 每桶AB 乙产品的利润是 400 元 公司在生产这两种产品的计划中 要求每天消耗 原料都不超AB 过 12 千克 通过合理安排生产计划 从每天生产的甲 乙两种产品中 公司共可获得的最 大利润是 A 1800 元 B 2400 元 C 2800 元 D 3100 元 答案 C 解析 设公司每天生产甲种产品 X 桶 乙种产品 Y 桶 公司共可获得 利润为 Z 元 天 则由 已知 得 Z 300X 400Y 4 且 0 0 122 122 Y X YX YX 画可行域如图所示 目标函数 Z 300X 400Y 可变形为 Y 这是随 Z 变化的一族平行直线 400 z x 4 3 解方程组 即 A 4 4 12y2x 12yx2 4y 4x 280016001200 max Z 点评 解决线性规划题目的常规步骤 一列 列出约束条件 二画 画出可行域 三作 作目标函数变形式的平行线 四求 求出最优解 10 如图 半径为的半球的底面圆在平面内 过点作ROO O 平面的垂线交半球面于点 过圆的直径作平面成 AOCD 角的平面与半球面相交 所得交线上到平面的距离最大的点45 为 该交线上的一点满足 则 两点间的BP60BOP AP 球面距离为 A B C D 2 arccos 4 R 4 R 3 arccos 3 R 3 R 答案 A 解析 以 O 为原点 分别以 OB OC OA 所在直线为 x y z 轴 则 A 0 2 3 2 1 2 2 0 2 2 RRPRR 4 2 arccos AOP 4 2 arccos RPA 点评 本题综合性较强 考查知识点较为全面 题设很自然的把向量 立体几何 三角函数 等基础知识结合到了一起 是一道知识点考查较为全面的好题 要做好本题需要有扎实的数 学基本功 11 方程中的 且互不相同 在所有这些方程 22 ayb xc 3 2 0 1 2 3 a b c a b c C A O D B P 4 2 2 R POAO AOPCOS 5 所表示的曲线中 不同的抛物线共有 A 60 条 B 62 条 C 71 条 D 80 条 答案 B 解析 方程变形得 若表示抛物线 则 22 ayb xc 22 2 b c y b a x 0 0 ba 所以 分 b 3 2 1 2 3 五种情况 1 若 b 3 2 若 b 3 2 1 0 23 3 1 0 2 2 3 2 0 2c 1 3 2 1 0 2 或或或 或或或 或或或 或或或 ca ca a ca 2 1 0 23 3 1 0 2 2 3 2 0 2c 1 3 2 1 0 2 或或或 或或或 或或或 或或或 ca ca a ca 以上两种情况下有 9 条重复 故共有 16 7 23 条 同理当 b 2 或 2 时 共有 23 条 当 b 1 时 共有 16 条 综上 共有 23 23 16 62 种 点评 此题难度很大 若采用排列组合公式计算 很容易忽视重复的 18 条抛物线 列举法 是解决排列 组合 概率等非常有效的办法 要能熟练运用 12 设函数 是公差为的等差数列 2cosf xxx n a 8 则 125 5f af af a 2 313 f aa a A B C D 0 2 1 16 2 1 8 2 13 16 答案 D 解析 数列 an 是公差为的等差数列 且 8 125 5f af af a 5 coscos cos2 521521 aaaaaa 即 0 coscos cos 521 aaa 5522 3521 aaaa 得 4 3 4 2 513 aaa 2 313 f aa a 16 13 16 3 cos2 22 2 51 2 33 aaaa 点评 本题难度较大 综合性很强 突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用 需考生加强知识系统 网络化学习 另外 隐蔽性较强 0 coscos cos 521 aaa 需要考生具备一定的观察能力 6 第二部分第二部分 非选择题 非选择题 共共 9090 分 分 注意事项 注意事项 1 必须使用 0 5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答 作图题可先 用铅笔绘出 确认后再用 0 5 毫米黑色签字笔描清楚 答在试题卷上无效 2 本部分共 10 个小题 共 90 分 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 个小题 每小题个小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 把答案填在答题纸的相应位置上 分 把答案填在答题纸的相应位置上 13 设全集 集合 则 Ua b c d Aa b Bb c d BCAC UU 答案 a c d 解析 a c d d c ACU aBCU BCAC UU 点评 本题难度较低 只要稍加注意就不会出现错误 14 如图 在正方体中 分别是 1111 ABCDABC D MNCD 的中点 则异面直线与所成角的大小是 1 CC 1 AMDN 答案 90 解析 方法一 连接 D1M 易得 DN A1D1 DN D1M 所以 DN 平面 A1MD1 又 A1M平面 A1MD1 所以 DN A1D1 故夹角为 90 方法二 以 D 为原点 分别以 DA DC DD1为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 D xyz 设 正方体边长为 2 则 D 0 0 0 N 0 2 1 M 0 1 0 A1 2 0 2 故 2 121 2 0 1 MADN 所以 cos0 时 由 I 知 22 12 21 aa 当 2 an 1 S2 Sn 1 nn ssan 2 222 时 有 2 所以 an 2 2 1 nan 所以 11 1 2 12 2 nn n aa 令 1 11 2 100 lg 2 1 2lg 1 10 lg n n n n n b a a b则 所以 数列 bn 是以为公差 且单调递减的等差数列 2lg 2 1 则 b1 b2 b3 b7 01lg 8 10 lg 当 n 8 时 bn b8 128 100 lg 2 1 01lg 2 1 所以 n 7 时 Tn取得最大值 且 Tn的最大值为 T7 12 分2lg 2 21 7 2 7 71 bb 点评 本小题主要从三个层面对考生进行了考查 第一 知识层面 考查等差数列 等比数 列 对数等基础知识 第二 能力层面 考查思维 运算 分析问题和解决问题的能力 第 三 数学思想 考查方程 分类与整合 化归与转化等数学思想 21 本小题满分 12 分 如图 动点到两定点 M 1 0 A 构成 且 设动点的 2 0 BMAB 2MBAMAB M 轨迹为 C 求轨迹的方程 C 设直线与轴交于点 与轨迹相交2yxm yPC 于点 且 求的取值范围 QR PQPR PR PQ 解析 1 设 M 的坐标为 x y 显然有 x 0 0 y 当 MBA 90 时 点 M 的坐标为 2 3 y xBA O M 11 当 MBA 90 时 x 2 由 MBA 2 MAB 有 tan MBA 即 MAB MAB 2 tan1 tan2 2 1 1 1 2 2 x y x y x y 化简得 3x2 y2 3 0 而又经过 2 3 综上可知 轨迹 C 的方程为 3x2 y2 3 0 x 1 5 分 II 由方程消去 y 可得 033 2 22 yx mxy 034 22 mmxx 由题意 方程 有两根且均在 1 内 设 34 22 mmxxxf 所以 0 3 4 4 0341 1 1 2 4 22 22 mm mmf m 解得 m 1 且 m2 设 Q R 的坐标分别为 由有 00RR yxyxPRPQ 1 32 1 32 2 0 2 mmxmmxR 所以 1 1 32 4 1 1 1 32 1 1 32 1 32 1 32 22 2 2 2 mm m mm mm x x PQ PR Q R 由 m 1 且 m2 有 7 m 1 132 4 1 347 1 1 32 4 11 22 且 m 所以的取值范围是 PQ PR 347 7 7 1 12 分 点评 本小题主要考察直线 双曲线 轨迹方程的求法等基础知识 考察思维能力 运算能 力 考察函数 分类与整合等思想 并考察思维的严谨性 22 本小题满分 14 分 已知为正实数 为自然数 抛物线与轴正半轴相交于点 设an 2 2 n a yx xA 为该抛物线在点处的切线在轴上的截距 f nAy 用和表示 an f n 12 求对所有都有成立的的最小值 n 3 3 1 11 f nn f nn a 当时 比较与的大小 并说明理由 01a 1 1 2 n k f kfk 27 1 4 0 1 ff n ff A 解析 1 由已知得 交点 A 的坐标为 对则 0 2 a n xy y ax n 2 2 1 2 求导得 抛物线在点 A 处的切线方程为 aaa a a nnn n n nfxyxy 2 2 2则即 2 由 1 知 f n 则 a n 12 11 1 3 3 3 n n n nf nf a n 成立的充要条件是 即知 对于所有的 n 成立 特别地 取 n 2 时 得到 a 12 3 n a n17 当 时3 17 na 33 31 4 33221 31 CCCa nnn n nn 33 33221 31 CCC nnn 52 5 2