函数的连续性与间断点

第第 2 章章 函数函数 函数的连续性函数的连续性 定义定义 1 设设在在的某邻域内有定义 若的某邻域内有定义 若 xfy 0 x lim 0 0 xfxf xx 就称函数就称函数在在 点处连续点处连续 xfy 0 x 说明说明 1 在在点连续 不仅要求点连续 不仅要求在在点有意义 点有意义 xf 0 x xf 0 x 存在 而且要存在 而且要 即极限值等于函数值 即极限值等于函数值 lim 0 xf xx lim 0 0 xfxf xx 2 若若 就称 就称在在点点左连续左连续 若 若 0 lim 0 0 xfxfxf xx xf 0 x 就称 就称在在点点右连续右连续 0 lim 0 0 xfxfxf xx xf 0 x 3 区间上的连续函数区间上的连续函数 如果 如果在区间在区间 上的每一点处都上的每一点处都 xfI 连续 就称连续 就称在在 上连续 并称上连续 并称为为 上的连续函数 若上的连续函数 若 包包 xfI xfII 含端点 那么含端点 那么在左端点连续是指右连续 在右端点连续是指在左端点连续是指右连续 在右端点连续是指 xf 左连续 左连续 定义定义 2 设 设在在的某邻域内有定义 若对的某邻域内有定义 若对 当 当 xfy 0 x0 0 时 有时 有 就称 就称在在点连续点连续 0 xx 0 xfxf xf 0 x 定义定义 3 设 设在在的某邻域内有定义 若当的某邻域内有定义 若当时 有时 有 xfy 0 x0 x 即 即 或 或 就称 就称0 y0lim 0 y x 0 lim 00 0 xfxxf x 在在点连续 点连续 xf 0 x 定理定理 1 在在点连续点连续在在点既左连续 又右连续 点既左连续 又右连续 xf 0 x xf 0 x 在后面证明 在后面证明 例例 1 证明证明在在点连续 点连续 xxf 0 x 证明证明 又 又 所以由定理 所以由定理0limlim 0 limlim 000000 xxxx xxxx 0 0 f 1 在在点连续 且点连续 且 xxf 0 x 0 0lim lim 00 fxxf xx 例例 2 讨论函数讨论函数 在在的连续性 的连续性 03 03 xx xx y0 x 解解 330 3 limlim 330 3 limlim 00000000 xyxy xxxx 因为因为 所以该函数在 所以该函数在点不连续 又因为点不连续 又因为 33 0 x3 0 f 所以为右连续函数 所以为右连续函数 例例 3 说明说明 黎曼函数黎曼函数 1 0 0 1 0 1 pp xp q qqqR x x 当为正整数 为既约真分数 当及内无理数 在在内任何无理点处都连续任何有理点处都不连续 内任何无理点处都连续任何有理点处都不连续 0 1 证明证明 设 设为无理数 任给为无理数 任给 不妨设不妨设 满足 满足的的 0 1 0 1 2 1 q 正整数正整数 显然只有有限个显然只有有限个 但至少有一个 如但至少有一个 如 从而使 从而使q2q 的有理数的有理数只有有限个只有有限个 至少有一个 如至少有一个 如 设为 设为 R x 0 1 x 1 2 12 n x xx 取取 则对任何 则对任何 1 min 1 n xx 0 1 xU 当当 为有理数时有为有理数时有 当 当 为无理数时有为无理数时有 于是 于是 对对x R x x 0R x 任何任何 总有 总有 这就证明了 这就证明了在在 0 1 xU R xRR x R x 无理点无理点 处连续 处连续 现设现设为为内任一有理数 取内任一有理数 取 对任何正数 对任何正数 无论无论 p q 0 1 0 1 2q 多么小多么小 在 在内总可取到无理内总可取到无理 使得 使得 p U q 0 1 x 所以 所以在任何有理点处都有不连续 在任何有理点处都有不连续 0 1 p R xR qq R x 间断点间断点 简单地说 若简单地说 若在在点不连续 就称点不连续 就称为为的间断点 的间断点 xf 0 x 0 x xf 或不连续点 或不连续点 间断点有下列三种情况 间断点有下列三种情况 1 在在没有定义 没有定义 xf 0 xx 2 不存在 不存在 lim 0 xf xx 3 虽然虽然不存在 也虽然在不存在 也虽然在点有定义 但点有定义 但 lim 0 xf xx 0 x lim 0 0 xfxf x 间断点的类型间断点的类型 例例 1 设设 当 当 即极限不存在 所以 即极限不存在 所以 2 1 x xf 0 xfx 为为的间断点 因为的间断点 因为 所以 所以为为无穷无穷0 x xf 2 0 1 lim x x 0 x 间断点间断点 例例 2 在在点无定义 且当点无定义 且当时 函数值在时 函数值在与与 x y 1 sin 0 x0 x1 之间无限次地振荡 而不超于某一定数 这种间断之间无限次地振荡 而不超于某一定数 这种间断1 点称为点称为振荡间断点振荡间断点 例例 3 在在点无定义 所以点无定义 所以为其间断点 又为其间断点 又 x x y sin 0 x0 x 所以若补充定义 所以若补充定义 那么函数在 那么函数在1 sin lim 0 x x x 1 0 f 点就连续了 故这种间断点称为点就连续