第16单元：万有引力2

高一物理高一物理 第第 16 单元单元 万有引力万有引力 一 一 内容黄金组内容黄金组 1 了解地心说和日心说两种不同的观点 知道开普勒对行星运动的描述 2 了解万有引力定律得出的思路和过程 理解万有引力定律的含义并会推 导万有引力定律 了解卡文迪许实验装置及其原理 3 知道引力常量的意义及其数值 了解万有引力定律在天文学上有重要的 应用 会用万有引力定律计算天体的质量 4 了解人造卫星的有关知识 知道三个宇宙速度的含义 会推导第一宇宙速 度 二 二 要点大揭秘要点大揭秘 1 万有引力定律的适用条件 万有引力定律适用于计算两质点之间的引力 对于两个质量分布均匀的球体 来说 不管它们相距远近 万有引力定律的表达式都适用 但公式中的 r 是两 球心间距离 2 对万有引力定律的理解 1 万有引力的普遍性 万有引力不仅存在于星球间 任何客观存在的两 部分有质量的物体间都存在着这种相互吸引的力 2 万有引力的相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用 力 它们大小相等 方向相反 分别作用在两个物体上 那些 在质 量不等的物体间的相互吸引力 质量大的物体对质量小的物体的吸引 力较大 的说法是错误的 3 万有引力的宏观性 在通常情况下 万有引力非常小 只有在质量 巨大的星球间或天体与天体附近的物体间 如地球与地球表面的物体 它的存在才有宏观的物理意义 故在分析地球表面物体的受力情况 时 往往不考虑其他物体对它的万有引力 4 万有引力的特殊性 两个物体间的万有引力只与它们本身的质量有 关 与它们之间距离有关 而与所在空间的性质无关 和周围有无其 他物体存在无关 5 引力恒量 G 的数值只由单位确定 在 SI 制中 两个质量都为 1Kg 的物体 相距 1m 时的引力是 6 67 10 11N 所以 G 6 67 10 11N m2 kg2 3 万有引力定律的应用 1 应用万有引力定律和向心力公式可以证明 对于某个行星的所有在 圆周轨道上运动的卫星 半径的三次方与周期的二次方比值都相等 即 恒量 因为卫星绕行星运行时的向心力就是它们之间的 万 2 3 T R 有引力 所以 即 22 2 2 T mRmR R Mm G 其中 m 为卫星的质量 M 为的质量 对于某个行星 22 3 4 GM T R 的所有卫星来说 因 M 恒定 故 恒量 22 3 4 GM T R 2 卫星绕地球运动速率与第一宇宙速度 人造地球卫星绕地球做圆周 运动的向心力 是地球与卫星间的万有引力 设地球质量为 M 卫 星质量为 m 卫星离地球中心的距离为 r 卫星绕地球运动的速率为 v 则有 从 v 的表达式可以看到 r v m r Mm G 2 2 r GM v 若卫星离地心的距离增大 即离地面的高度增大 则卫星绕地球运 动的速率减小 关于卫星绕地球运动的速率 指卫星和最后一节火箭脱离后进 入圆轨道所具有的速率 也就是发射速度发射速度 而不是和火箭在一起由地 面上的火箭发射台起飞时的速度 如果卫星离地面的高度不大 在 100 200km 左右 可认为卫星的轨道半径 r 差不多等于地球的半 径 R0 万有引力差不多等于卫星在地面的重力 mg 则这时卫星绕地 球运动的速率由 得 7 9km s 0 2 R v mmg 0 gRv 3 同步人造地球卫星 相对地面静止 亦即跟地球自转同步的人造卫星 称同步人造地球卫星 同步人造地球卫星的特点 首先 它的周期与地球自转周期 86400s 相同 其次 若物体在地面上随地球一起转动 向心力是 万有引力的一个分力 另一个分力即为重力 物体的重力由地面 或 支持物 的弹力相平衡 现在同步人造地球卫星在离地面高为 h 的位 置 这时它与地球间万有引力一定全部用来作为向心力 即它的重力 作为向心力 故同步人造地球卫星的第二个特点是 它必须在赤道平 面上 即在赤道上空 它离赤道的高度可通过下面的过程得到 所以 h 0 3 2 2 4 R GMT 地球的质量 M 5 98 1024kg 地球的自转周期 T 86400s 万有引 力恒 G 6 67 10 11 N m2 kg2 地球半径 R0 6 4 106m 代入上式可得 h 3 59 107m 35900km 在这里还要注意 同步 是指对地球赤道上某个位置相对静止 卫 星仍在做圆周运动 故它所处的状态并不是平衡状态 4 对于其他星球上的力学问题 地球上的力学规律同样适用 只是 重 力加速度 应改为该星球上的重力加速度 4 中心天体质量的计算 利用行星绕恒星的旋转运动或卫星绕行星的旋转运动可计算出作为中 心天体的恒星或行星的质量 基本方程为 2 0 2 0 2 0 2 T hRmhRm hR Mm G 测出轨道半径 r 和绕行周期 T 即可求出中心天体质量 M 若绕行轨道半径 r 趋近于中心天体自身的半径 R 则可计算出中心天体 的密度 由 三 三 好题解给你好题解给你 1 本课预习题 本课预习题 1 下列关于万有引力定律的说法正确的有 A 万有引力定律是卡文迪许发现的 B 中的 G 是一个比例常数 是没有单位的 2 21 r mm GF C 万有引力定律只是严格适用于两个质点之间的 D 两物体引力大小与质量成正比 与两物体间距离的平方成反比 2 以下说法正确的是 A 质量为 m 的物体在地球上任何地方其重力均相等 B 把质量为 m 的物体从地面移到高空 其重力变小了 C 同一物体在赤道处的重力比在两极处重力大 D 同一物体在任何地方其质量都是相同的 3 关于第一宇宙速度 下面说法中错误的是 A 它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B 它是人造地球卫星在近地圆轨道上的运动速度 C 它是能使卫星进入近地轨道的最小发射速度 D 它是卫星在椭圆轨道上运动时近地点的速度 4 人造地球卫星以地心为圆心 做匀速圆周运动 下列说法正确是 A 半径越大 速度越小 周期越小 B 半径越大 速度越小 周期越大 C 所有卫星的速度均是相同的 与半径无关 D 所有卫星角速度相同 与半径无关 5 人造卫星进入轨道作匀速圆周运动时 卫星内的物体 A 处于完全失重状态 所受重力为零 B 处于完全失重状态 但仍受重力作用 C 所受的重力就是维持它跟随卫星一起作匀速圆周运动所需的向心力 D 处于平衡状态 即所受合外力为零 本课预习题参考答案 1 C 2 BD 3 AD 4 B 5 BC 2 基础题 基础题 1 关于地球同步通讯卫星 下列说法中正确的是 A 它一定在赤道上空运行 B 各国发射的这种卫星轨道半径都一样 C 它运行的线速度一定小于第一宇宙速度 D 它运行的线速度介于第一和第二宇宙速度之间 2 由于地球的自转 地球表面上各点均做匀速圆周运动 所以 A 地球表面各处具有相同大小的线速度 B 地球表面各处具有相同大小的角速度 C 地球表面各处具有相同大小的向心加速度 D 地球表面各处的向心加速度方向都指向地球球心 3 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动 其轨道半径为 R 线速度为 v 周期 为 T 若要使卫星的周期变为 2T 可能的办法是 A R不变 使线速度变为 v 2 B v不变 使轨道半径变为2R C 轨道半径为R 3 4 D 无法实现 基础题参考答案 1 ABC 2 B 3 C 3 应用题 应用题 1 在某星球上 宇航员用弹簧秤测得质量为 m 的物体重为 F 乘宇宙飞船在靠 近该星球表面飞行时 测得其环绕周期为 T 请根据上述数据求该星球的质量 2 宇宙飞船由地球飞向月球是沿着它们的连线飞行的 途中经某一位置时飞船 受地球和月球引力的合力为零 已知地球和月球两球心间的距离为 3 84 108m 地球质量是月球质量的 81 倍 试计算飞船受地球引力和月球引力的合力为零的位 置距地球中心的距离 3 登月飞行器关闭发动机后在离月球表面 112km 的空中沿圆形轨道绕月球飞行 周期是 120 5min 已知月球半径是 1740km 根据这些数据计算月球的平均密度 G 6 67 10 11N m2 kg 2 应用题参考答案 1 由F 解出M 再由m g m 解出R 2 3 456 107m 由 及已知可得到地心的距离和到月心 22 R mM G R m 月 月 地 地 M G 的距离之比为9 1 3 3 26 103kg m3 由 计算可知 M 再代入密 2 0 2 0 2 0 2 T hRmhRm hR Mm G 度公式计算 4 提高题 提高题 1 一颗在赤道上空运行的人造卫星 其轨道半径为 r 2R0 R0为地球的半径 卫星的运转方向与地球自转方向相同 设地球自转的角速度为 0 若某时刻卫星 通过赤道上某建筑物的正上空 求它通过该物上方所需的时间 2 如图所示 在一个半径为 R 质量为 M 的均匀球体中 紧贴球的边缘挖去一 个半径为 R 2 的球形空穴后 对位于球心 和空穴中心连线上 与球心相距 d 的质点 m 的引力是多大 3 在天体运动中 将两颗彼此距离较近 且相互绕行的行星称为双星 已知两行星 质量分别为 M1和 M2 它们之间距离为 L 求各自运转半径和角速度为多少 提高题参考答案 1 0 0 8 2 R g 2 把整个球体对质点的引力看成是挖去的 2 2 2 8 R d Mm G d Mm GF 小球体和剩余部分对质点的引力之和 即可得解 3 21 1 1 MM LM R 21 2 2 MM LM R L MM G L 21 1 分析 本题中 双星之间有相互吸引力而保持距离不 变 则这两行星一定绕着两物体联线上某点做匀速圆周运动 设该点为O 如图所示 M1OM2始终在一直线 M1和M2角 速度相等 它们之间万有引力提供向心力 解 设M1离开O点的距离为R 则M2离开O点的距离为 L R 它们绕O点转动的角速度均为 则由牛顿第二定律 对两个行星分别有 则可得 M1 M2 R M2L 将以上结果代入 式或 式可得行星转动的角速度为 四 四 课后演武场课后演武场 1 两颗靠得较近天体叫双星 它们以两者重心连线上的某点为圆心做匀速圆周运动 因而不至于因引力作用而吸引在一起 以下关于双星的说法中正确的是 A 它们做圆周运动的角速度与其质量成反比 B 它们做圆周运动的线速度与其质量成反比 C 它们所受向心力与其质量成反比 D 它们做圆周运动的半径与其质量成反比 2 有两颗质量相同的人造卫星 其轨道半径分别为 rA rB 且 rA 那么下列判 断一定正确的是 A 它们的周期之比TA TB 1 4 B 它们的线速度之比vA vB 2 1 C 它们所受的向心力之比FA FB 8 1 D 它们的角速度之比 A B 8 1 3 如图 a b c 是地球大气层外圆道上运行的三颗卫星 a b 质量 相同 且小于 c 的质量 下列说法中正确的是 A b c 的线速度大小相等 且大于 a 的线速度 B b c 的周期相等 且大于 a 的周期 C b c 的向心加速度大小相等 且大于 a 的向心加速度 D b 所需的向心力最小 4 宇宙飞船进入一个围绕太阳运行的近乎圆形的轨道上运动 如果 轨道半径是地球轨道半径的 9 倍 那末宇宙飞船绕太阳运行的周期是 A 3 年 B 9 年 C 27 年 D 81 年 5 假设火星和地球都是球体 火星的质量 M火和地球的质量 M地之比 M火 M地 p 火星的半径 R火和地球的半径 R地之比 R火 R地 q 那么火星表面处的重力加速 度 g火和地球表面处的重力的加速度 g地之比等于 A p q2 B pq2 C p q D pq 6 假如一作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的 2 倍 仍作圆周运动 则 A 根据公式v r 可知卫星的线速度将增大到原来的2倍 B 根据公式 可知卫星所需的向心力将减小到原来的二分之一 r v mF 2 C 根据公式 可知地球提供的向心力将减小到原来的四分之一 2 r Mm GF D 根据上述B和C中给出的公式 可知卫星运动的线速度将减小到原来的 2 2 7 已知火星的半径约为地球半径的 1 2 火星质量约为地球质量的 1 9 若一物体在地 球表面所受重力比它在火星表面所受重力大 49N 则这个物体的质量是 kg 8 一个半径比地球大两倍 质量是地球质量的 36 倍的行星 同一物体在它表面上的重 力是在地球表面上的 倍 9 离地面某一高度 h 处的重力加速度是地球表面重力加速度的 1 2 则高度 h 是地球半径 的 倍 10 地球的平均密度为 5 6 103kg m3 万有引力常量 G 6 67 10 11N m2 kg 2 在距地面 1km 高处的重力加速度 g 比地面处的重力加速度 go 减小了多少 已知地球半径 R 6400km 11 在地面上空有一颗沿圆形轨道绕地球匀速运转的人造卫星 卫星离地面的高度为地 球半径的一半 求卫星的运行速度大小及向心加速度 已知 R0 6 4 103km 课后演武场参考答案 课后演武场参考答案 1 BD 2 BD 3 BD 4 C 5 A 6 C 7