【成功方案】2013届高考数学一轮复习课时检测 第六章 第三节 基本不等式 理

1 第六章第六章 第三节第三节 基本不等式基本不等式 一 选择题一 选择题 1 1 已知向量 已知向量a a x x 1 2 1 2 b b 4 4 y y 若 若a a b b 则 则 9 9x x 3 3y y的最小值为的最小值为 A A 2 2 B B 4 4 2 2 C C 1212 D D 6 6 解析 由解析 由a a b b得得a a b b 0 0 即 即 x x 1 2 41 2 4 y y 0 0 2 2x x y y 2 2 则则 9 9x x 3 3y y 3 32 2x x 3 3y y 2 2 2 2 2 2 6 6 3 32 2x x 3 3y y3 32 2x x y y9 9 当且仅当当且仅当 3 32 2x x 3 3y y即即x x y y 1 1 时取得等号 时取得等号 1 1 2 2 答案 答案 D D 2 2 2011 2011 重庆高考重庆高考 已知已知a a 0 0 b b 0 0 a a b b 2 2 则 则y y 的最小值是的最小值是 1 1 a a 4 4 b b A A B B 4 4 7 7 2 2 C C D D 5 5 9 9 2 2 解析 依题意得解析 依题意得 a a b b 5 5 5 5 2 2 当且 当且 1 1 a a 4 4 b b 1 1 2 2 1 1 a a 4 4 b b 1 1 2 2 b b a a 4 4a a b b 1 1 2 2 b b a a 4 4a a b b 9 9 2 2 仅当仅当Error 即 即a a b b 时取等号 即时取等号 即 的最小值是的最小值是 2 2 3 3 4 4 3 3 1 1 a a 4 4 b b 9 9 2 2 答案 答案 C C 3 3 函数 函数y y loglog2 2x x loglogx x 2 2x x 的值域是的值域是 A A 1 1 B B 3 3 C C 1 3 1 3 D D 1 31 3 解析 解析 y y loglog2 2x x loglogx x 2 2x x 1 1 log log2 2x x loglogx x2 2 如果如果x x 1 1 则 则 loglog2 2x x loglogx x2 22 2 如果如果 0 0 x x 10 0 y y 0 0 z z 0 0 x x y y 2 2z z 0 0 则 则的的 x xz z y y2 2 A A 最小值为 最小值为 8 8 B B 最大值为 最大值为 8 8 C C 最小值为 最小值为 D D 最大值为 最大值为 1 1 8 8 1 1 8 8 2 解析 解析 x xz z y y2 2 x xz z x x 2 2z z 2 2 x xz z x x2 2 4 4x xz z 4 4z z2 2 1 1 x x z z 4 4z z x x 4 4 1 1 8 8 当且仅当当且仅当 x x 2 2z z时取等号 时取等号 x x z z 4 4z z x x 答案 答案 D D 5 5 已知 已知x x 0 0 y y 0 0 且 且 1 1 若 若x x 2 2y y m m2 2 2 2m m恒成立 则实数恒成立 则实数m m的取值范围是的取值范围是 2 2 x x 1 1 y y A A m m 4 4 或或m m 2 2 B B m m 2 2 或或m m 4 4 C C 2 2 m m 4 4 D D 4 4 m m 20 0 y y 0 0 且 且 1 1 2 2 x x 1 1 y y x x 2 2y y x x 2 2y y 4 4 4 4 2 2 8 8 当且仅当 当且仅当 即 即 4 4y y2 2 x x2 2 2 2 x x 1 1 y y 4 4y y x x x x y y 4 4y y x x x x y y 4 4y y x x x x y y x x 2 2y y时取等号 又时取等号 又 1 1 此时 此时x x 4 4 y y 2 2 2 2 x x 1 1 y y x x 2 2y y min min 8 8 要使 要使x x 2 2y y m m2 2 2 2m m恒成立 只需恒成立 只需 x x 2 2y y min min m m2 2 2 2m m恒成立 即恒成立 即 8 8 m m2 2 2 2m m 解得 解得 4 4 m m 2 0 0 b b 0 0 且不等式 且不等式 0 0 恒成立 则实数恒成立 则实数k k的最小值等于的最小值等于 1 1 a a 1 1 b b k k a a b b A A 0 0 B B 4 4 C C 4 4 D D 2 2 解析 由解析 由 0 0 得得k k 而 而 2 4 2 4 a a b b时取等时取等 1 1 a a 1 1 b b k k a a b b a a b b 2 2 a ab b a a b b 2 2 a ab b b b a a a a b b 号号 所以 所以 4 4 因此要使 因此要使k k 恒成立 应有恒成立 应有k k 4 4 即实数 即实数k k a a b b 2 2 a ab b a a b b 2 2 a ab b 的最小值等于 的最小值等于 4 4 答案 答案 C C 二 填空题二 填空题 7 7 2011 2011 湖南高考湖南高考 设设x x y y R R 且 且xyxy 0 0 则 则 x x2 2 4 4y y2 2 的最小值为的最小值为 1 1 y y2 2 1 1 x x2 2 解析 解析 x x2 2 4 4y y2 2 1 1 4 4 4 4x x2 2y y2 2 1 1 4 4 2 2 9 9 当且仅当 当且仅当 1 1 y y2 2 1 1 x x2 2 1 1 x x2 2y y2 2 4 4x x2 2y y2 2 1 1 x x2 2y y2 2 4 4x x2 2y y2 2 时等号成立 则时等号成立 则 xyxy 时等号成立 时等号成立 1 1 x x2 2y y2 2 2 2 2 2 答案 答案 9 9 3 8 8 2011 2011 江苏高考江苏高考 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中 过坐标原点的一条直线与函数中 过坐标原点的一条直线与函数 x x 的图象交于的图象交于P P Q Q两点 则线段两点 则线段PQPQ长的最小值是长的最小值是 2 2 x x 解析 由题意知 解析 由题意知 P P Q Q两点关于原点两点关于原点O O对称 不妨设对称 不妨设P P m m n n 为第一象限中的点 则为第一象限中的点 则 m m 0 0 n n 0 0 n n 所以 所以 PQPQ 2 2 4 4 OPOP 2 2 4 4 m m2 2 n n2 2 4 4 m m2 2 16 16 当且仅当当且仅当m m2 2 即 即 2 2 m m 4 4 m m2 2 4 4 m m2 2 m m 时 取等号时 取等号 故线段 故线段PQPQ长的最小值是长的最小值是 4 4 2 2 答案 答案 4 4 9 9 2012 2012 徐州模拟徐州模拟 已知二次函数已知二次函数f f x x axax2 2 x x c c x x R R 的值域为的值域为 0 0 则则 的最小值为的最小值为 c c 2 2 a a a a 2 2 c c 解析 由值域可知该二次函数的图象开口向上 且函数的最小值为解析 由值域可知该二次函数的图象开口向上 且函数的最小值为 0 0 因此有因此有 0 0 4 4a ac c 1 1 4 4a a 从而从而c c 0 0 1 1 4 4a a 8 8a a 4 4a a2 2 2 4 2 4 2 2 1010 c c 2 2 a a a a 2 2 c c 2 2 a a 1 1 4 4a a2 2 当且仅当当且仅当Error 即 即a a 时取等号 故所求的最小值为时取等号 故所求的最小值为 10 10 1 1 2 2 答案 答案 1010 三 解答题三 解答题 1010 已知 已知x x 0 0 y y 0 0 且 且 2 2x x 8 8y y xyxy 0 0 求求 1 1 xyxy的最小值 的最小值 2 2 x x y y的最小值 的最小值 解 解 1 1 x x 0 0 y y 0 0 xyxy 2 2x x 8 8y y 2 2 1 16 6x xy y 即即xyxy 8 8 8 8 x xy yx xy y 即即xyxy 64 64 当且仅当当且仅当 2 2x x 8 8y y 即即x x 1616 y y 4 4 时 时 成立 成立 xyxy的最小值为的最小值为 64 64 2 2 x x 0 0 y y 0 0 且 且 2 2x x 8 8y y xyxy 0 0 2 2x x 8 8y y xyxy 即 即 1 1 2 2 y y 8 8 x x x x y y x x y y 1010 10 10 2 2 1818 2 2 y y 8 8 x x 2 2x x y y 8 8y y x x 2 2x x y y 8 8y y x x 4 当且仅当当且仅当 即 即x x 2 2y y 1212 时时 成立 成立 2 2x x y y 8 8y y x x x x y y的最小值为的最小值为 18 18 1111 已知 已知a a b b 0 0 求证 求证 a a b b2 2 b b a a2 2 4 4 a a b b 证明 证明 2 2 a a b b2 2 b b a a2 2 a a b b2 2 b b a a2 2 2 2 0 0 a a b b 2 2 0 0 1 1 a ab ba ab b a a b b 2 2 2 2 4 4 a a b b2 2 b b a a2 2 1 1 a ab ba ab b a a b b2 2 b b a a2 2 4 4 a a b b 当且仅当当且仅当Error 取等号 取等号 即即a a b b时 不等式等号成立 时 不等式等号成立 1212 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额 拟在 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额 拟在 20122012 年英国伦敦奥运会期年英国伦敦奥运会期 间进行一系列促销活动 经过市场调查和测算 化妆品的年销量间进行一系列促销活动 经过市场调查和测算 化妆品的年销量x x万件与年促销费万件与年促销费t t万元万元 之间满足之间满足 3 3 x x与与t t 1 1 成反比例 如果不搞促销活动 化妆品的年销量只能是成反比例 如果不搞促销活动 化妆品的年销量只能是 1 1 万件 已万件 已 知知 20122012 年生产化妆品的设备折旧 维修等固定费用为年生产化妆品的设备折旧 维修等固定费用为 3 3 万元 每生产万元 每生产 1 1 万件化妆品需再投万件化妆品需再投 入入 3232 万元的生产费用 若将每件化妆品的售价定为其生产成本的万元的生产费用 若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150 150 与平均每件促销费与平均每件促销费 的一半之和 则当年生产的化妆品正好能销完 的一半之和 则当年生产的化妆品正好能销完 1 1 将将 20122012 年的利润年的利润y y 万元万元 表示为促销费表示为促销费t t 万元万元 的函数 的函数 2 2 该企业该企业 20122012 年的促销费投入多少万元时 年的促销费投入多少万元时 企业的年利润最大 企业的年利润最大 注 利润 销售收入 生产成本 促销费 生产成本 固定费用 生产费用注 利润 销售收入 生产成本 促销费 生产成本 固定费用 生产费用 解 解 1 1 由题意可设由题意可设 3 3 x x 将 将t t 0 0 x x 1 1 代入 得代入 得k k 2 2 k k t t 1 1 x x 3 3 2 2 t t 1 1 当年生产当年生产x x万件时 万件时 年生产成本 年生产费用 固定费用 年生产成本 年生产费用 固定费用 年生产成本为年生产成本为 3232x x 3 3 32 332 3 3 3 2 2 t t 1 1 当销售当销售x x 万件万件 时 年销售收入为时 年销售收入为 150 32 3150 32 3 3 3 t t 2 2 t t 1 1 1 1 2 2 由题意 生产由题意 生产x x万件化妆品正好销完 由年利润 年销售收入 年生产成本 促销费 万件化妆品正好销完 由年利润 年销售收入 年生产成本 促销费 5 得年利润得年利润y y t t 0 0 t