【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 单元评估检测(五)课时提能训练 理 新人教A版

1 全程复习方略全程复习方略 广西专用 广西专用 20132013 版高中数学版高中数学 单元评估检测单元评估检测 五五 课时提能训课时提能训 练练 理理 新人教新人教 A A 版版 第五章第五章 120 120 分钟分钟 150150 分分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的目要求的 1 下列说法中正确的是 A 如果非零向量 a a 与 b b 的方向相同或相反 则 a a b b 的方向必与 a a b b 之一的方向相同 B 在 ABC 中 必有AB BC CA 0 C 若AB BC CA 0 0 则 A B C 为一个三角形的三个顶点 D a a b b a a b b 2 2012 北海模拟 已知向量a a 1 2 b b cos sin 且 a a b b 则 tan 4 A 3 B 3 C D 1 3 1 3 3 已知向量 m m n n 满足 m m 2 0 n 在 ABC 中 AB 2m m 2n n AC 2m m 6n n D 为 BC 边的 3 2 3 2 中点 则 AD 等于 A 2 B 4 C 6 D 8 4 2012 柳州模拟 设 A x 1 B 2 y C 4 5 为坐标平面上三点 O 为坐标原点 若OA 与OB 在 OC 方向上的投影相同 则 x 与 y 满足的关系式为 A 4x 5y 3 B 5x 4y 3 C 4x 5y 14 D 5x 4y 14 5 易错题 已知 i i 与 j j 为互相垂直的单位向量 a a i i 2j j b b i i j j 且 a a 与 b b 的夹角为锐角 则实数 的取值范围是 A 2 2 B 1 2 1 2 C 2 D 2 3 2 3 1 2 2 6 已知平面内不共线的四点 O A B C 满足OB OA OC 则 AB BC 1 3 2 3 A 1 3 B 3 1 C 1 2 D 2 1 7 2012 梧州模拟 已知 A 2 3 B 4 3 点 P 在线段 AB 的延长线上 且 AP PB 则点 P 3 2 的坐标为 A 8 15 B 8 15 C 8 15 D 8 15 8 下面能得出 ABC 为锐角三角形的条件是 A sinA cosA 1 5 B AB BC 0 C b 3 c 3 B 30 3 D tanA tanB tanC 0 9 若 ABC 的三个内角 A B C 度数成等差数列 且 AB AC BC 0 则 ABC 一定是 A 等腰直角三角形 B 非等腰直角三角形 C 等边三角形 D 钝角三角形 10 2012 大庆模拟 已知向量 a a 2 1 b b 2 3 则向量 a a 在向量 b b 方向上的投影为 A B C 0 D 1 13 13 13 13 11 已知 a a b b 是不共线的向量 AB a a b b AC a a b b R 那么 A B C 三点共线的 充要条件为 A 2 B 1 C 1 D 1 12 预测题 如图 ABC 中 AD DB AE EC CD 与 BE 交于 F 设AB a a 3 AC b b AF x a a y b b 则 x y 为 A B C D 1 2 1 2 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 2 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分分 请把正确答案填在题中横线上请把正确答案填在题中横线上 13 2011 广东高考改编 已知向量 a a 1 2 b b 1 0 c c 3 4 若 为实数 a a b b c c 则 14 2012 南京模拟 已知 ABC 三个顶点的坐标 A 1 2 B 2 3 C 3 1 把 ABC 按向量 a a m n 平 移后得 A B C 若 A B C 的重心 G 3 4 则 a a 15 已知平面上有三点 A 1 a B 2 a2 C 3 a3 共线 则实数 a 16 O 是平面 上一点 点 A B C 是平面 上不共线的三点 平面 内的动点 P 满足 OA OP AB AC 当 时 PB PC 的值为 1 2 PA 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 10 分 已知 AD 是 ABC 的高 若 A 1 0 B 0 1 C 1 1 试求向量AD 的坐标 18 12 分 2012 南宁模拟 已知 ABC 的角 A B C 所对的边分别是 a b c 设向量 m m a b n n sinB sinA p p b 2 a 2 1 若 m n 求证 ABC 为等腰三角形 2 若 m p 边长 c 2 角 C 求 ABC 的面积 3 19 12 分 已知向量 a a 3 2 b b 2 1 c c 7 4 是否能以 a a b b 作为平面内所有向量的 一组基底 若能 试将向量 c 用这一组基底表示出来 若不能 请说明理由 20 12 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 P cos2 在角 的终边上 点 1 2 Q sin2 1 在角 的终边上 且 OP OQ 1 2 4 1 求 cos2 的值 2 求 sin 的值 21 12 分 已知双曲线 x2 y2 2 的右焦点为 F 过点 F 的动直线与双曲线相交于 A B 两点 点 C 的坐标 是 1 0 1 证明 CA CB 为常数 2 若动点 M 满足CM CA CB CO 其中 O 为坐标原点 求点 M 的轨迹方程 22 12 分 如图 某污水处理厂要在一个长方体污水处理池的池底 ABCD 铺设污水净化管道 Rt FHE H 是直角顶点 来处理污水 管道越长 污水净化效果越好 设计要求管道的接口 H 是 AB 的中点 E F 分别 落在线段 BC AD 上 已知 AB 20 m AD 10 m 记 BHE 3 1 试将污水净化管道的长度 L 表示成 的函数 并写出定义域 2 若 sin cos 求此时管道的长度 L 2 3 当 取何值时 污水净化效果最好 并求出此时管道的长度 答案解析答案解析 1 解析 选 B A 假命题 当 a a b b 0 0 时命题不成立 B 真命题 C 假命题 当 A B C 三点共线时也有AB BC CA 0 0 D 假命题 当 a a 与 b b 不共线时 a a b b 与 a a b b 表示以 a a b b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长 其大 小不定 当 a a 与 b b 为非零向量且共线时 同向则有 a a b b a a b b 反向则有 a a b b a a b b 当 a a b b 中有零向量时 则 a a b b a a b b 综上只有 B 正确 5 2 解析 选 A a a b b 2cos sin tan 2 tan 3 4 tan 1 1 tan 2 1 1 2 3 解题指南 由 D 为 BC 边的中点可得 AD AB AC 再用 m m n n 表示AD 即可 1 2 解析 选 A D 为 BC 边的中点 AD AB AC 2m m 2n n 2m m 6n n 2m m 2n n 1 2 1 2 2 2 0 2 1 3 2 3 23 AD 2 4 解析 选 A OA 与OB 在OC 方向上的投影相同 故有OA OC OB OC x 1 4 5 2 y 4 5 4x 5 8 5y 4x 5y 3 5 解题指南 设 a a b b 的夹角为 由 为锐角可得 0 cos 1 进而可求出 的取值范 a a b b a a b b 围 解析 选 A a 2 a 2 2 ij 22 44 ii jj 5 同理可求 b b 1 2 又 a a b b i i 2 j j i i j j i i2 2 i i j j 2 j j2 1 2 设 a b 的夹角为 则 0 90 cos a a b b a a b b 1 2 5 1 2 由 0 cos 1 得 2 或 2 1 2 误区警示 为锐角 0 cos 1 易忽略 cos 1 而误选 D 6 解题指南 把目标向量AB BC 用已知向量OA OB OC 表示是解题的关键 解析 选 D 因为OB OA OC 所以OB OC OA OC 得CB CA 1 3 2 3 1 3 1 3 1 3 6 又OB OA OA OC 得AB AC 2 3 2 3 2 3 所以 AB BC 2 1 故选 D 2 3 1 3 7 解析 选 B 由题意知 设点 P 的坐标为 x y 则 3 2 x 8 y 15 故点 P 的坐标为 8 15 2 3 2 4 1 3 2 3 3 2 3 1 3 2 8 解析 选 D 对于 A 将条件两边平方 得 sin2A cos2A 2sinAcosA sinAcosA 故 A 1 25 12 25 为钝角 从而 ABC 为钝角三角形 对于 B 条件即为 BC 0 故 B 为锐角 但不能确定 ABC 为锐角三角形 BA 对于 C 由正弦定理 得 b sinB c sinC sinC csinB b 3 3 sin30 3 3 2 又 c b C 120 或 C 60 ABC 有可能为钝角三角形 对于 D 由条件得 tanA tan B C 1 tanBtanC tanA tanA 1 tanBtanC tanAtanBtanC 0 A B C 均为锐角 ABC 为锐角三角形 9 解析 选 C AB AC BC 0 AB AC AC AB 0 AC 2 AB 2 0 即 AC AB 又 A B C 度数成等差数列 B 60 从而 C 60 A 60 ABC 为等边三角形 10 解析 选 A 由数量积的定义 a a b b a a b b cos a 在 b 方向上的投影 a cos a a b b b b 2 2 1 3 22 32 13 13 误区警示 本题算出结果为 后 易出现认为投影是正数的错误而误选 B 13 13 7 11 解析 选 D 由题意得必存在 m m 0 使AB m AC 即 a a b b m a a b b 得 m 1 m 1 12 解题指南 利用 B F E 三点共线 D F C 三点共线是解答本题的关键 而用两种形式表示向量 AF 是求 x y 的桥梁 解析 选 C AB a a AC b b 得 b b a a b b a a 因为 B F E 三点共线 令 t BE 1 2 DC 1 2 BF 则AF AB t 1 t a a t b b 因为 D F C 三点共线 令 s 则BE BE 1 2 DF DC AF AD s 1 s a a s b b 根据平面向量基本定理得Error Error DC 1 2 解得 t s 得 x y 2 3 1 3 1 3 1 3 即 x y 为 故选 C 1 3 1 3 13 解析 a a b b 1 2 1 0 1 2 由 a a b b c c 得 4 1 3 2 0 解得 1 2 答案 1 2 14 解题指南 先求出 ABC 的重心 G 由题意 a a 可求 a a 的坐标 GG 解析 设 ABC 的重心为 G x y 则Error Error G 2 2 由平移后重心 G 3 4 a a 1 2 GG 答案 1 2 15 解析 AB 1 a2 a BC 1 a3 a2 又 A B C 三点共线 AB BC 1 a3 a2 a2 a 1 0 即 a3 2a2 a 0 a 0 或 a 1 2 答案 0 或 1 2 16 解析 由已知得 OA AB AC OP 即AP AB AC 8 当 时 得AP AB AC 1 2 1 2 2AP AB AC 即AP AB AC AP BP PC PB PC PB BP 0 0 PB PC 0 0 0 PA PA 答案 0 17 解析 设 BC BD 又BC 1 2 则 2 BD AD AB 1 1 2 BD 1 1 2 由AD BC 得AD BC 0 即 1 2 2 1 0 解得 1 5 AD 6 5 3 5 18 解题指南 解析 1 m m n n asinA bsinB 即 a b 其中 R 是 ABC 外接圆半径 a 2R b 2R a b ABC 为等腰三角形 2 由题意可知 m m p p 0 即 a b 2 b a 2 0 a b ab 由余弦定理可知 4 a2 b2 ab a b 2 3ab 9 即 ab 2 3ab 4 0 ab 4 舍去 ab 1 S absinC 4 sin 1 2 1 2 33 19 解析 a a 3 2 b b 2 1 3 1 2 2 1 0 a a 与 b b 不共线 故一定能以 a a b b 作为平面内所有向量的一组基底 设 c c a a b b 即 7 4 3 2 2 3 2 2 Error Error 解得Error Error c c a a 2b b 20 解析 1 sin2 cos2 OP OQ 1 2 1 2 cos2 cos2 2cos2 1 2 3 1 3 2 sin cos2 1 4 cos4 2 3 1 4 4 9 4 5 cos 1 2 1 4 cos4 1 2 1 4 4 9 3 5 同理 sin cos 1 sin4 1 sin2 sin4 1 又 sin2 1 cos2 1 3 sin cos 3 10 10 10 10 sin sin cos cos sin 4 5 10 10 3 5 3 10 10 10 10 21 解析 由条件 知 F 2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 1 当 AB 与 x 轴垂直时 可知点 A B 的坐标分别为 2 2 22 此时CA CB 1 1 1 22 10 当 AB 不与 x 轴垂直时 设直线 AB 的方程是 y k x 2 k 1 代入 x2 y2 2 有 1 k2 x2 4k2x 4k2 2 0 则 x1 x2是上述方程的两个实根 所以 x1 x2 x1x2 4k2 k2 1 4k2 2 k2 1 于是CA CB x1 1 x2 1 y1y2 x1 1 x2 1 k2 x1 2 x2 2 k2 1 x1x2 2k2 1 x1 x2 4k2 1 4k2 1 k2 1 4k2 2 k2 1 4k2 2k2 1 k2 1 4k2 2 4k2 1 1 综上所述 CA CB 为常数 1 2 设 M x y 则CM x 1 y CA x1 1 y1 CB x2 1 y2 CO 1 0 由CM CA CB CO 得 Error Error 即Error Error 于是线段 AB 的中点坐标为 x 2 2 y 2 当 AB 不与 x 轴垂直时 y1 y2 x1 x2 y 2 x 2 2 2 y x 2 即 y1 y2 x1 x2 y x 2 又因为 A B 两点在双曲线上 所以 x y 2 x y 2 2 12 12 22 2 两式相减 得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 即 x1 x2 x 2 y1 y2 y 将 y1 y2 x1 x2 代入上式 y x 2 化简得 x2 y2 4 当 AB 与 x 轴垂直时 x1 x2 2 求得 M 2 0 也满足上述方程 所以点 M 的轨迹方程是 x2 y2 4 方法技巧 求动点轨迹方程的技巧和方法 11 1 直接法 若动点的运动规律是简单的