正交实验设计方法--非常有用

L9 34 序号 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 1 3 3 3 4 2 1 2 3 5 2 2 3 1 6 2 3 1 2 7 3 1 3 2 8 3 2 1 3 9 3 3 2 1 回首页 正交试验设计法 正交试验设计法的基本思想正交试验设计法的基本思想 正交表正交表 正交表试验方案的设计正交表试验方案的设计 试验数据的直观分析试验数据的直观分析 正交试验的方差分析正交试验的方差分析 常用正交表常用正交表 1 正交试验设计法的基本思想 正交试验设计法 就是使用已经造好了的表格 正交表 来安排试验并进行数 据分析的一种方法 它简单易行 计算表格化 使用者能够迅速掌握 下边通 过一个例子来说明正交试验设计法的基本想法 例 1 为提高某化工产品的转化率 选择了三个有关因素进行条件试验 反应 温度 A 反应时间 B 用碱量 C 并确定了它们的试验范围 A 80 90 B 90 150 分钟 C 5 7 试验目的是搞清楚因子 A B C 对转化率有什么影响 哪些是主要的 哪些是 次要的 从而确定最适生产条件 即温度 时间及用碱量各为多少才能使转化 率高 试制定试验方案 这里 对因子 A 在试验范围内选了三个水平 因子 B 和 C 也都取三个水平 A Al 80 A2 85 A3 90 B Bl 90 分 B2 120 分 B3 150 分 C Cl 5 C2 6 C3 7 当然 在正交试验设计中 因子可以是定量的 也可以是 定性的 而定量因子各水平间的距离可以相等 也可以不相等 这个三因子三水平的条件试验 通常有两种试验进行方法 取三因子所有水平之间的组合 即 AlBlC1 A1BlC2 A1B2C1 A3B3C3 共有 33 27 次 试验 用图表示就是图 1 立方体的 27 个节点 这种试验法叫做全面试验法 全面试验对各因子与指标间的关系剖析得比较清楚 但试验次数太多 特别是 当因子数目多 每个因子的水平数目也多时 试验量大得惊人 如选六个因子 每个因子取五个水平时 如欲做全面试验 则需 56 15625 次试验 这实际上 是不可能实现的 如果应用正交实验法 只做 25 次试验就行了 而且在某种意 义上讲 这 25 次试验代表了 15625 次试验 图 1 全面试验法取点 简单对比法 即变化一个因素而固定其他因素 如首先固定 B C 于 Bl Cl 使 A 变化之 A1 B1C1 A2 A3 好结果 如得出结果 A3 最好 则固定 A 于 A3 C 还是 Cl 使 B 变化之 B1 A3C1 B2 好结果 B3 得出结果以 B2 为最好 则固定 B 于 B2 A 于 A3 使 C 变化之 C1 A3B2 C2 好结果 C3 试验结果以 C2 最好 于是就认为最好的工艺条件是 A3B2C2 这种方法一般也有一定的效果 但缺点很多 首先这种方法的选点代表性很差 如按上述方法进行试验 试验点完全分布在一个角上 而在一个很大的范围内 没有选点 因此这种试验方法不全面 所选的工艺条件 A3B2C2 不一定是 27 个 组合中最好的 其次 用这种方法比较条件好坏时 是把单个的试验数据拿来 进行数值上的简单比较 而试验数据中必然要包含着误差成分 所以单个数据 的简单比较不能剔除误差的干扰 必然造成结论的不稳定 简单对比法的最大优点就是试验次数少 例如六因子五水平 试验 在不重复时 只用 5 6 1 5 1 5 5 4 25 次 试验就可以了 考虑兼顾这两种试验方法的优点 从全面试验的点中选择具 有典型性 代表性的点 使试验点在试验范围内分布得很均匀 能反映全面情 况 但我们又希望试验点尽量地少 为此还要具体考虑一些问题 如上例 对应于 A 有 Al A2 A3 三个平面 对应于 B C 也各有三个平面 共 九个平面 则这九个平面上的试验点都应当一样多 即对每个因子的每个水平 都要同等看待 具体来说 每个平面上都有三行 三列 要求在每行 每列上 的点一样多 这样 作出如图 2 所示的设计 试验点用 表示 我们看到 在 9 个平面中每个平面上都恰好有三个点而每个平面的每行每列都有一个点 而 且只有一个点 总共九个点 这样的试验方案 试验点的分布很均匀 试验次 数也不多 当因子数和水平数都不太大时 尚可通过作图的办法来选择分布很均匀的试验 点 但是因子数和水平数多了 作图的方法就不行了 试验工作者在长期的工作中总结出一套办法 创造出所谓的正交表 按照正交 表来安排试验 既能使试验点分布得很均匀 又能减少试验次数 图 2 正交试 验设计图例 而且计算分析简单 能够清晰地阐明试验条件与指标之间的关系 用正交表来安排试验及分析试验结果 这种方法叫正交试验设计法 返回 2 正交表 本书附录给出了常用的正交表 为了叙述方便 用 L 代表正交表 常用的有 L8 27 L9 34 L16 45 L8 4 24 L12 211 等等 此符号各数字的意 义如下 L8 27 7 为此表列的数目 最多可安排的因子数 2 为因子的水平数 8 为此表行的数目 试验次数 L18 2 37 有 7 列是 3 水平的 有 1 列是 2 水平的 L18 2 37 的数字告诉我们 用它来安排试验 做 18 个试验最多可以考察一个 2 水平因子和 7 个 3 水平因子 在行数为 mn 型的正交表中 m n 是正整数 试验次数 行数 每列水平数一 1 l 1 如 L8 27 8 7 2 1 l 利用上述关系式可以从所要考察的因子水平数来决定最低的试验次数 进而选 择合适的正交表 比如要考察五个 3 水平因子及一个 2 水平因子 则起码的试 验次数为 5 3 1 1 2 1 1 12 次 这就是说 要在行数不小于 12 既有 2 水平列又有 3 水平列的正交表中选择 L18 2 37 适合 正交表具有两条性质 1 每一列中各数字出现的次数都一样多 2 任何两列 所构成的各有序数对出现的次数都一样多 所以称之谓正交表 例如在 L9 34 中 见表 1 各列中的 l 2 3 都各自出现 3 次 任何两列 例 如第 3 4 列 所构成的有序数对从上向下共有九种 既没有重复也没有遗漏 其他任何两列所构成的有序数对也是这九种各出现一次 这反映了试验点分布 的均匀性 返回 3 试验方案的设计 安排试验时 只要把所考察的每一个因子任意地对应于正交表的一列 一个因子 对应一列 不能让两个因子对应同一列 然后把每列的数字 翻译 成所对应因 子的水平 这样 每一行的各水平组合就构成了一个试验条件 不考虑没安排因 子的列 对于 例 1 因子 A B C 都是三水平的 试验次数要不少于 3 3 1 1 7 次 可考虑选用 L9 34 因子 A B C 可任意地对应于 L9 34 的某三列 例如 A B C 分别放在 l 2 3 列 然后试验按行进行 顺序不限 每一行中各因 素的水平组合就是每一次的试验条件 从上到下就是这个正交试验的方案 见 表 2 这个试验方案的几何解释正好是图 2 三个 3 水平的因子 做全面试验需要 33 27 次试验 现用 L9 34 来设计试验 方案 只要做 9 次 工作量减少了 2 3 而在一定意义上代表了 27 次试验 再看一个用 L9 34 安排四个 3 水平因子的例子 例 2 某矿物气体还原试验中 要考虑还原时间 A 还原温度 B 还原气体 比例 D 气体流速 C 这四个因子对全铁合量 X 越高越好 金属化率 Y 越高 超好 二氧化钛含量 Z 越低越好 这三项指标的影响 希望通过试验找出主要 影响因素 确定最适工艺条件 首先根据专业知以确定各因子的水平 时间 A1 3 小时 A2 4 小时 A3 5 小时 温度 B1 1000 B2 1100 B3 1200 流速 Cl 600 毫升 分 C2 400 毫升 分 C3 800 毫升 分 CO H2 D1 1 2 D2 2 1 D3 1 1 这是四因子 3 水平的多指标 X Y Z 问题 如果做全面试验需 34 81 次试验 而用 L9 34 来做只要 9 次 具体安排如表 3 同全面试验比较 工作量少了 8 9 由于缩短了试验周期 可以提高试验精度 时间越长误差于扰越大 并且对于多指标问题 采用简单对比法 往往顾此失 彼 最适工艺条 件很难找 而应用正交表来设计试验时可对各指标通盘考虑 结论明确可靠 返回 4 试验数据的直观分析 正交表的另一个好处是简化了试验数据的计算分折 还是以 例 1 为例来说明 按照表 2 的试验方案进行试验 测得 9 个转化率数据 见表 4 通过 9 次试验 我们可以得两类收获 第一类收获是拿到手的结果 第 9 号试 验的转化率为 64 在所做过的试验中最好 可取用之 因为通过 L9 34 已经把 试验条件均衡地打散到不同的部位 代表性是好的 假如没有漏掉另外的重要 因素 选用的水平变化范围也合适的话 那么 这 9 次试验中最好的结果在全 体可能的结果中也应该是相当好的了 所以不要轻易放过 第二类收获是认识和展望 9 次试验在全体可能的条件中 远不止 33 27 个组 合 在试验范围内还可以取更多的水平组合 只是一小部分 所以还可能扩大 精益求精 寻求更好的条件 利用正交表的计算分折 分辨出主次因素 预测 更好的水平组合 为进一步的试验提供有份量的依据 其中 I 分别为各对应列 因子 上 1 2 3 水平效应的估计值 其计 算式是 i i i 第 i 列上对应水平 1 2 3 的数据和 K1 为 1 水平数据的综合平均 水平 1 的重复次数 Si 为变动平方和 例 1 的转化率试验数据与计算分析见表 4 先考虑温度对转比率的影响 但单个拿出不同温度的数据是不能比较的 因为 造成数据差异的原因除温度外还有其他因素 但从整体上看 80 时三种反应 时间和三种用碱量全遇到了 86 时 90 时也是如此 这样 对于每种温度 下的三个数据的综合数来说 反应时间与加碱量处于完全平等状态 这时温度 就具有可比性 所以算得三个温度下三次试验的转化率之和 80 A xl x2 x3 31 54 38 123 85 A x4 x5 x6 53 49 42 144 90 A x7 x8 x9 57 62 64 183 分别填在 A 列下的 三行 再分别除以 3 表示 80 85 90 时 综合平均意义下的转化率 填入下三行 Kl K2 K3 R 行称为极差 表明因子 对结果的影响幅度 同样地 为了比较反应时间 用碱量对转化率的影响 也先算出同一水平下的 数据和 IB B B Ic c c 再计算其平均值和极差 都填入表 4 中 由此分别得出结论 温度越高转化率越好 以 90 为最好 但可以进一步探索 温度更好的情况 反应时间以 120 分转化率最高 用碱量以 6 转化率最高 所以最适水平是 A3B2C2 返回 5 正交试验的方差分析 一 假设检验 在数理统计中假设检验的思想方法是 提出一个假设 把它与数据进行对照 判断是否舍弃它 其判断步骤如下 1 设假设 H 正确 可导出一个理论结论 设此结论为 R 2 再根据试验得出一个试验结论 与理论结论相对应 设为 R1 3 比较 R 与 Rl 若 R 与 Rl 没有大的差异 则没有理由怀疑 H 从而判定 为 不舍弃 H 采用 H 若 R 与 R1 有较大差异 则可以怀疑 H 此时 判定为 舍弃 H 但是 R1 R 比 l 大多少才能舍弃 H 呢 为确定这个量的界限 需要利用数 理统计中关于 F 分布的理论 若 yl 服从自由度为 1 的 2 分布 y2 服从自由度为 2 的 2 分布 并且 yl y2 相互独立 则 y1 1 y2 2 服从自由度为 1 2 的 F 分布 F 分布是连续分布 分布模数是两个自由度 1 2 称 1 为分子自由度 称 2 为分母自由度 在自由度为 1 2 的 F 分布中 某点右侧面积为 p 也就是 F 比此值大的概率为 p 把这个值写为 p 若检验的显著性水平 或危险率 给定为 时 则可以把 作为临界值来检验假设 这里 Se 2 服从自由度为 e 的 2 分布 当 H 成立 2 0 时 SA 2 也服从自由度为 A 的 2 分布 又 SA 与 Se 相互成立 所以 SA A 2 Se e 2 VA Ve 服从自由度为 A e 的 F 分布 这就 是假定 H 正确时的理论结论 R 而试验结论 Rl 要与理论结论 R 相比较 由给定的显著性水平 通常是 0 05 分子自由度 1 A a l 分母自 由度 2 e a n 1 查 F 分布表得出 所以 H l 2 a 0 A2 0 的检验是 显著性水平 FA VA Ve 舍弃 H FA VA Ve 不舍弃 H 通常 一般性地表示成 F A B 假设因子 A 对试验结果的影响不显著 那么 A 的两个水平的效应该表现为相等 或相近 即假设 H 1 2 0 如果因子 A 显著 则舍弃假设 为了判断因子 A 是否显著 首先要计算比值 显然 这个比值越大 因子 A