2011-2012学年高中数学 第1章 立体几何初步4空间图形的基本关系与公理同步教学案 北师大版必修2

1 4 4 空间图形的基本关系与公理空间图形的基本关系与公理 4 4 1 1 空间图形基本关系的认空间图形基本关系的认 识识 课时目标 学会观察长方体模型中点 线 面之间的关系 并能结合长方体模型 掌握五类位置关系的分类及其有关概念 1 空间点与直线的位置关系有两种 2 空间点与平面的位置关系有两种 3 空间两条直线的位置关系有三种 1 直线 在同一平面内 没有公共点 2 直线 在同一平面内 只有一个公共点 3 直线 不同在任何一个平面内 4 空间直线与平面的位置关系有三种 1 直线在平面内 直线和平面有无数个公共点 2 直线和平面相交 直线和平面只有一个公共点 3 直线和平面平行 直线和平面没有公共点 5 空间平面与平面的位置关系 1 两个平面平行 两个平面没有公共点 2 两个平面相交 两平面不重合且有公共点 一 选择题 1 已知直线 a 平面 直线 b 则 a 与 b 的位置关系是 A 相交 B 平行 C 异面 D 平行或异面 2 若有两条直线 a b 平面 满足 a b a 则 b 与 的位置关系是 A 相交 B b C b D b 或 b 3 若直线 m 不平行于平面 且 m 则下列结论成立的是 A 内的所有直线与 m 异面 B 内不存在与 m 平行的直线 C 内存在唯一的直线与 m 平行 D 内的直线与 m 都相交 4 三个互不重合的平面把空间分成 6 部分时 它们的交线有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 1 条或 2 条 5 平面 且 a 下列四个结论 a 和 内的所有直线平行 a 和 内的无数条直线平行 a 和 内的任何直线都不平行 a 和 无公共点 其中正确的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 6 若一直线上有一点在已知平面外 则下列命题正确的是 A 直线上所有的点都在平面外 B 直线上有无数多个点都在平面外 C 直线上有无数多个点都在平面内 D 直线上至少有一个点在平面内 2 二 填空题 7 正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别为 AA1和 BB1的中点 则该正方体的六个表面中 与 EF 平行的有 个 8 若 a b 是两条异面直线 且 a 平行 则 b 与 的位置关系是 9 三个不重合的平面 能把空间分成 n 部分 则 n 的所有可能值为 三 解答题 10 指出图中的图形画法是否正确 如不正确 请改正 1 如图 1 直线 a 在平面 内 2 如图 2 直线 a 和平面 相交 3 如图 3 直线 a 和平面 平行 11 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 指出与 AB 平行的棱 相交的棱 异面的棱 能力提升 12 如图所示的是一个正方体表面的一种展开图 图中的四条线段 AB CD EF GH 在 原正方体中相互异面的有 对 13 如图 平面 满足 a b 判断 a 与 b a 与 的关系并证明你的结论 3 正方体或长方体是一个特殊的图形 当点 线 面关系比较复杂时 可以寻找正方体或 长方体作为载体 将它们置于其中 立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中 得到反映 因而人们给它以 百宝箱 之称 4 4 空间图形的基本关系与公理空间图形的基本关系与公理 4 4 1 1 空间图形基本关系的认识空间图形基本关系的认识 答案答案 知识梳理 1 点在直线上和点在直线外 2 点在平面内和点在平面外 3 1 平行 2 相交 3 异面 作业设计 1 D 2 D 3 B 4 D 5 C 6 B 7 3 8 b b 或 b 与 相交 9 4 6 7 8 10 解 1 2 3 的图形画法都不正确 正确画法如下图 1 直线 a 在平面 内 2 直线 a 与平面 相交 3 直线 a 与平面 平行 11 4 解 如图所示 与 AB 平行的棱 CD A1B1 C1D1 与 AB 相交的棱 A1A B1B AD BC 与 AB 异面的棱为棱 A1D1 B1C1 D1D C1C 12 3 解析 将正方体恢复后 由图观察即可得 即为 EF GH CD AB AB GH 13 解 由 a 知 a 且 a 由 b 知 b 且 b a b a b 无公共点 又 a 且 b a b 与 无公共点 又 a a 与 无公共点 a 4 4 2 2 空间图形的公理空间图形的公理 一一 课时目标 掌握文字 符号 图形语言之间的转化 理解公理 1 公理 2 公理 3 并能运用它们解决点共线 线共面 线共点等问题 1 公理 1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这 个平面内 即直线在平面内 符号 A l B l 且 A B l 2 公理 2 经过 的三点 一个平面 即可以确 定一个平面 3 公理 3 如果两个不重合的平面有 公共点 那么它们有且只有 通过 这个点的公共直线 符号 P 且 P l 且 P l 4 用符号语言表示下列语句 1 点 A 在平面 内但在平面 外 2 直线 l 经过面 内一点 A 外一点 B 3 直线 l 在面 内也在面 内 4 平面 内的两条直线 m n 相交于 A 一 选择题 1 两平面重合的条件是 A 有两个公共点 B 有无数个公共点 C 有不共线的三个公共点 D 有一条公共直线 2 若点 M 在直线 b 上 b 在平面 内 则 M b 之间的关系可记作 5 A M b B M b C M b D M b 3 已知平面 与平面 都相交 则这三个平面可能的交线有 A 1 条或 2 条 B 2 条或 3 条 C 1 条或 3 条 D 1 条或 2 条或 3 条 4 已知 为平面 A B M N 为点 a 为直线 下列推理错误的是 A A a A B a B a B M M N N MN C A A A D A B M A B M 且 A B M 不共线 重合 5 空间中可以确定一个平面的条件是 A 两条直线 B 一点和一直线 C 一个三角形 D 三个点 6 空间有四个点 如果其中任意三个点不共线 则经过其中三个点的平面有 A 2 个或 3 个 B 4 个或 3 个 C 1 个或 3 个 D 1 个或 4 个 二 填空题 7 把下列符号叙述所对应的图形 如图 的序号填在题后横线上 1 A a 2 a P 且 P 3 a a A 4 a c b a b c O 8 已知 m a b a b A 则直线 m 与 A 的位置关系用集合符号表 示为 9 下列四个命题 两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点 经过空间任意三点有且只有一个平面 过两平行直线有且只有一个平面 在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是 三 解答题 10 如图 直角梯形 ABDC 中 AB CD AB CD S 是直角梯形 ABDC 所在平面外一点 画 出平面 SBD 和平面 SAC 的交线 并说明理由 6 11 如图所示 四边形 ABCD 中 已知 AB CD AB BC DC AD 或延长线 分别与平面 相交于 E F G H 求证 E F G H 必在同一直线上 能力提升 12 若空间中三个平面两两相交于三条直线 这三条直线两两不平行 求证此三条直线 必相交于一点 13 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 对角线 A1C 与平面 BDC1交于点 O AC BD 交于 点 M E 为 AB 的中点 F 为 AA1的中点 求证 1 C1 O M 三点共线 2 E C D1 F 四点共面 3 CE D1F DA 三线共点 7 1 证明几点共线的方法 先考虑两个平面的交线 再证有关的点都是这两个平面的公 共点 或先由某两点作一直线 再证明其他点也在这条直线上 2 证明点线共面的方法 先由有关元素确定一个基本平面 再证其他的点 或线 在这 个平面内 或先由部分点线确定平面 再由其他点线确定平面 然后证明这些平面重合 注 意对诸如 两平行直线确定一个平面 等依据的证明 记忆与运用 3 证明几线共点的方法 先证两线共点 再证这个点在其他直线上 而 其他 直线 往往归结为平面与平面的交线 4 4 2 2 空间图形的公理空间图形的公理 一一 答案答案 知识梳理 1 两点 2 不在同一条直线上 有且只有 3 一个 一条 4 1 A A 2 A B 且 A l B l 3 l 且 l 4 m n 且 m n A 作业设计 1 C 根据公理 2 不共线的三点确定一个平面 若两个平面同过不共线的三点 则两 平面必重合 2 B 3 D 4 C A A A 由公理可知 为经过 A 的一条直线而不是 A 故 A 的写法错误 5 C 6 D 四点共面时有 1 个平面 四点不共面时有 4 个平面 7 1 C 2 D 3 A 4 B 8 A m 解析 因为 m A a 所以 A 同理 A 故 A 在 与 的交线 m 上 9 10 解 由题意知 点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点 即点 S 在交线上 由于 AB CD 则分别延长 AC 和 BD 交于点 E 如图所示 8 E AC AC 平面 SAC E 平面 SAC 同理 可证 E 平面 SBD 点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上 连接 SE 直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线 11 证明 因为 AB CD 所以 AB CD 确定平面 AC AD H 因为 H 平面 AC H 由公理 3 可知 H 必在平面 AC 与平面 的交线上 同理 F G E 都在平面 AC 与平面 的交线上 因此 E F G H 必在同一直线上 12 证明 l1 l2 l1l2 P l1 l2交于一点 记交点为 P P l1 P l2 P l3 l1 l2 l3交于一点 13 证明 1 C1 O M 平面 BDC1 又 C1 O M 平面 A1ACC1 由公理 3 知 点 C1 O M 在平面 BDC1与平面 A1ACC1的交线 上 C1 O M 三点共线 2 E F 分别是 AB A1A 的中点 EF A1B A1B CD1 EF CD1 E C D1 F 四点共面 3 由 2 可知 四点 E C D1 F 共面 又 EF A1B D1C 1 2 1 2 D1F CE 为相交直线 记交点为 P 则 P D1F 平面 ADD1A1 P CE 平面 ADCB P 平面 ADD1A1 平面 ADCB AD CE D1F DA 三线共点 4 4 2 2 空间图形的公理空间图形的公理 二二 课时目标 1 理解异面直线所成角的定义 2 能用公理 4 及定理解决一些简单的 相关问题 1 公理 4 平行于同一条直线的两条直线 2 定理 空间中 如果两个角的两边分别对应 那么这两个角 或 9 3 异面直线所成的角 直线 a b 是异面直线 经过空间任一点 O 作直线 a b 使 a a b b 我们把 a 与 b 所成的 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 如果两条直线所成的角是 那么我们就说这两条异面直线互相垂直 两条异面 直线所成的角的取值范围是 一 选择题 1 若 a 和 b 是异面直线 b 和 c 是异面直线 则 a 和 c 的位置关系是 A 异面或平行 B 异面或相交 C 异面 D 相交 平行或异面 2 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 A 一定平行 B 一定相交 C 一定异面 D 相交或异面 3 若 AOB A1O1B1 且 OA O1A1 OA 与 O1A1的方向相同 则下列结论中正确的是 A OB O1B1且方向相同 B OB O1B1 C OB 与 O1B1不平行 D OB 与 O1B1不一定平行 4 给出下列四个命题 垂直于同一直线的两条直线互相平行 平行于同一直线的两直线平行 若直线 a b c 满足 a b b c 则 a c 若直线 l1 l2是异面直线 则与 l1 l2都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 5 如图所示 已知三棱锥 A BCD 中 M N 分别为 AB CD 的中点 则下列结论正确的 是 A MN AC BD 1 2 B MN AC BD 1 2 C MN AC BD 1 2 D MNMN 所以 MN AC BD 1 2 6 60 或 120 7 1 60 2 45 解析 连接 BA 则 BA CD 连接 A C 则 A BC 就是 BC 与 CD 所成的角 由 A BC 为正三角形 知 A BC 60 由 AD BC 知 AD 与 BC 所成的角就是 C BC 易知 C BC 45 8 解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体 如图所示 AB EF EF 与 MN 是异面 直线 AB CM MN CD 只有 正确 9 13 证明 1 如图 连接 AC 在 ACD 中 M N 分别是 CD AD 的中点 MN 是三角形的中位线 MN AC MN AC 1 2 由正方体的性质得 AC A1C1 AC A1C1 MN A1C1 且 MN A1C1 1 2 即 MN A1C1 四边形 MNA1C1是梯形 2 由 1 可知 MN A1C1 又因为 ND A1D1 DNM 与 D1A1C1相等或互补 而 DNM 与 D1A1C1均是直角三角形的锐角 DNM D1A1C1 10 解 取 AC 的中点 G 连接 EG FG 则 EG AB GF CD 且由 AB CD 知 EG