正定矩阵的性质及其应用_____

1 正定矩阵的性质及其应用正定矩阵的性质及其应用 姓名 姓名 学号 学号 指导教师 指导教师 摘摘 要 要 矩阵是数学中的一个重要基本概念 是代数学中的一个主要研究对象 而正定矩阵作为一类特殊的矩 阵 固然有它与其它矩阵不同的性质和应用 本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件 对正定矩阵的一些 重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程 最后给出了正定矩阵在不等式证明问题 多元函数极值 问题 最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用 关键词 关键词 矩阵 正定矩阵 性质 应用 The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications Abstract Matrix is one of the important basic concepts and it is one of the main research object in math Positive definite matrix is a kind of special matrix no doubt it has its properties and applications different from other matrix This paper states some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix integrates some important properties then puts forward several applications of the positive definite matrices on inequation problems multiple function extreme problems the optimization of convex programming problem and solving linear equations Key Words matrix positive definite matrix property application 1 引言 矩阵理论是数学的一个重要分支 它不仅是一门基础学科 也是最具实用价值 应用广泛的数学理论 矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念 是代数学的一个主要 研究对象 而正定矩阵作为一类常用矩阵 其在计算数学 数学物理 运筹学 控 制论 数值分析等领域中都具有着广泛的应用 本文主要介绍正定矩阵的等价定理 及其一些重要的性质 最后给出正定矩阵在数学及其它学科中的若干应用 2 正定矩阵的等价定理 首先我们给出正定矩阵的定义 定义 1 1 设为一个实二次型 若对任意一组不全为零的实数 T f xX AX 12 n c cc 都有 12 0 n f c cc 则称为正定二次型 正定二次型对应的矩阵称为正定矩阵 T f xX AX A 2 必须指出的是 只有实对称矩阵才有正定与负定之说 所以判定一个矩阵是否 正定时 首先判定该矩阵是否为实对称矩阵 而对于实对称矩阵正定性的判定 除 利用定义外还可以运用一些等价定理 下面我们就给出实对称矩阵正定的若干等A 价条件 定理 1 设是阶实对称矩阵 则下列命题等价 An 1 是正定矩阵 A 2 的所有特征值都大于零 A 3 存在正定矩阵 使得 B 2 AB 4 合同于阶单位矩阵 AnE 5 的所有主子式都大于零 A 6 的所有主子矩阵都是正定矩阵 A 7 的所有顺序主子式都大于零 A 8 对任意实矩阵 如果的秩为 都有为正定矩阵 n m PPm T P AP 9 对任意可逆矩阵 为正定矩阵 Q T Q AQ 10 设 则和都正定 12 23 T AA A AA 1 A 1 3212 T AA A A 11 存在可逆矩阵P 使得 T APP 这些等价条件我们可以通过循环证明得出 在判定矩阵正定性时 使用何种方 法 要视情况灵活运用 另外 运用这些条件我们还可以得出正定矩阵的一些重要 性质 3 正定矩阵的若干性质 性质 1 若是正定矩阵 则 是正整数 也是正定矩阵 A 1 A AkA k Ak 性质 2 若和为同阶的正定矩阵 则 也是正定矩阵 ABAB 0 0 A B 性质 3 若 为阶正定矩阵 则 A ij an0 ii a 1 2 in 性质 4 若是正定矩阵 则的元素的绝对值最大者必是主对角元 AA 性质 5 若是阶正定矩阵 则 An 1122nn Aa aa 1 2 in 证明 设 3 1 T nn A A a 其中为阶顺序主子式 因正定 则是正定的 于是 1 A1n 12 T nnnn aaa A 1 A 1 111 11 1 11 00 0101 n n TTT nnnn AAEEA aaAA 两边取行列式 得 11 T nn AAaA 因为正定 则正定 0 由 式得 1 A 1 1 A 1 T A 1 0A 1nn AA a 同理 其中为的阶顺序主子式 这样继续下去 可得 121 1nn AA a 2 AA2n 1 21 1 1122n nnnn nnn AA aA aaa aa 性质 6 若和都是阶实对称矩阵 且是正定矩阵 则存在一个阶实可ABnBn 逆矩阵使得与同时为对角形 P T P AP T P BP 证明 由于是正定矩阵 所以存在可逆阵 使得BC T C BCE 又由于仍为对称矩阵 所以存在正交矩阵 使得 T C ACD 1 2TT n DC AC D 其中为的特征值 令 则为可逆矩阵 且 12 n T C ACPCD P 1 2 T T n P APCDA CD T TT P BPCDB CDD EDE 性质 7 若和都是阶正定矩阵 则 ABnABAB 4 证明 由性质 6 知 存在可逆矩阵 使得P 1 2 1 1 1 T n PAB P 两边取行列式 得 2 12 111 n AB P 由 得 2 1B C 2 12n A C 而 其中为正交阵 所以 且PCD DD 2222 PCDC 又由于正定 故也正定 又知 所以B T C BC0 i 2 1212 1111 nn AB P 再由 两式有 22 12 1 n ABCABP 两边消去 即证得 2 P ABAB 性质 8 若为阶正定矩阵 则存在上三角矩阵 使得 AnR T AR R 性质 9 若和都是阶正定矩阵 则也是阶正定矩阵 ij Aa ij Bb n ijij Ca b n 性质 10 设为实矩阵 若的秩为 则为正定矩阵 Am n An T A A 我们只给出了部分性质的证明过程 这些性质如果能熟练掌握 并且可以巧妙 运用 有些问题就可以迎刃而解了 下面我们就举例说明正定矩阵的一些性质在解 决不等式证明问题 多元函数极值问题 最优化的凸规划问题以及解线性方程组问 题中的应用 5 4 正定矩阵的若干应用 4 14 1 正定矩阵在不等式证明中的应用正定矩阵在不等式证明中的应用 例 1 证明 其中是不全为零的实数 222 4222xyzxyxz x y z 证明 设二次型 显然的矩阵为 222 2242fxxyxzyz f 111 140 102 A 因的顺序主子式均大于零 所以是正定矩阵 从而二次型AA 222 2242fxxyxzyz 为正定二次型 故 222 4222xyzxyxz 例 2 若是阶正定矩阵 则 An22nAE 证明 因为与都是阶是对称正定矩阵 由性质 7 知A2En 222nAEAE 例 3 设为实可逆方阵 证明不等式 ij n n Aa 2 222 12 1 n iini i Aaaa 证明 已知 当可逆时 由性质 10 知是正定矩阵 再由性质 5 2 T AA A A T A A 知的行列式不大于的主对角线所有元素之积 由于的元素为 T A A T A A T A A i i 1 2222 1212 i i iiniiini ni a a aaaaaa a 故 2 222 12 1 n iini i Aaaa 我们还可以得到更一般的结论 对任何实矩阵 成立 ij m n Aa 2 11 nm T ki ki A Aa 6 4 24 2 正定矩阵在解决多元函数极值问题中的应用正定矩阵在解决多元函数极值问题中的应用 在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题 对此可由二次型的正定 性加以解决 首先给出黑塞矩阵的定义 设元实函数在点具有二阶连续偏导数 则称n 12 n f x xx 001020 n Mxxx 矩阵 222 000 2 1121 222 000 2 02122 222 000 2 12 n n nnn fff MMM xxxxx fff MMM H Mxxxxx fff MMM xxxxx 为在点的黑塞 矩阵 f p 0 MHesse 定理 2 5 极值的充分条件 设元实函数在点的某邻域内nf 001020 n Mxxx 具有二阶连续偏导数 是的稳定点 则当是正定矩阵时 在点取 0 Mf 0 H Mf 0 M 得极小值 当是负定矩阵时 在点取得极大值 当是不定矩阵 0 H Mf 0 M 0 H M 时 在点不取极值 f 0 M 需要注意的是 利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的 方法 但也有一定的局限性 因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的 若条件不 满足 那结论就不一定成立 例 4 求三元函数的极值 222 23246f x y zxyzxyz 解 先求稳定点 由 220 440 660 x y z fx fy fz 得 所以稳定点为 1 1 1xyz 0 1 1 1 P 再求在的黑塞 矩阵 因为f 0 PHesse 7 2 0 0 4 0 6 xxxyxzyyyzzz ffffff 所以 200 040 006 H 可知是正定的 所以在点取得极小值 H f x y z 0 1 1 1 P 1 1 1 6f 当然 此题也可用初等方法求得极小 222 1 2 1 3 1 6f x y zxyz 值 结果一样 6 4 34 3 正定矩阵在最优化的凸规划问题中的应用正定矩阵在最优化的凸规划问题中的应用 在数学规划问题上 如果可行域是凸集 目标函数是凸函数 则所讨论的最优 化问题是一个凸规划问题 对于凸规划问题的具体解法可在相关运筹学书中得到 下面我们主要是介绍如何判定一个函数是凸函数以及如何判定一个数学规划是凸规 划 定义 2 6 令是维欧式空间中的一个点 1 T n xxx n n R f x i gx 和 是定义在上的实值函数 我们称如下形式的数1 ip j hx1 jq n R 学模型为数学规划 简记为 PrminMathematicalogramgMP min 0 1 0 1 i j f x stgxip hxjq 令 0 1 0 1 i n j gxip XxR hxjq 称为的约束集或可行域 对任意的 称为的可行解或可行点 X MPxX x MP 定理 3 6 设是非空开凸集 二阶连续可导 则 是上的凸函 n SR fSR fS 数的充要条件是 的黑塞矩阵是半正定的 当是正定矩阵时 是上的严fHHfS 格凸函数 8 定理 4 6 对于非线性规划 若 皆为上的凸函数 MP i gx1 2 ip n R 皆为线性函数 并且是上的凸函数 则是凸规划 j hx1 2 jq X MP 例 5 设 其中 是一个阶对称正定矩阵 1 2 TT f xx Axb xc n xR An 验证是上的凸函数 称它为二次凸函数 n bR 1 cR f x n R 解 设 此时 ij n n Aa 1 T n bbb 111 1 2 nnn ijijii iji f xa x xb xc 将它对各阶变量求偏导数 有 i x 1 n ijji j i f a xb x 1 2 in 它的各二阶偏导数为 2 ij ij f a x x 1 2 i jn 因此函数的黑赛矩阵为 f x 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa HA aaa 由于是正定矩阵 因此在上是严格凸函数 A f x n R 例 6 验证下列是凸规划 MP 222 1 23123131212 22 1123 2123 3123 min 222 0 16 0 f x x xxxxx xx xxx stg xxxx gxxxx gxxxx 解 将二次目标函数改写为 11 1 231 2322 33 411 1 1201 2 0 2 104 xx f x xxx xxxx xx 9 则的黑塞矩阵为f 411 120 104 H 显然为正定矩阵 因此是严格凸函数 而的黑塞矩阵Hf 1 g x 1 200 020 000 H 显然它是一个半正定矩阵 因而是凸函数 又因其它的不等式约束均为线性的 1 g x 故该非线性规划是一个凸规划 4 44 4 正定矩阵在求解方程组问题中的应用正定矩阵在求解方程组问题中的应用 应用有限元法解结构力学问题 最后归纳为求解线性方程组 这时系数矩阵大 多具有对称正定性质 下面我们就利用对称正定矩阵的三角分解来求解对称正定方 程组 这种方法又称为平方根法 目前在计算机上广泛应用平方根法解此类方程组 定理 5 12 对称正定矩阵的三角分解或分解 如果为阶对称正定CholeskyAn 矩阵 则存在一个实的非奇异下三角阵使得L T ALL 当限定的对角元素为正时 这种分解是唯一的 L 下面用直接分解法来确定计算元素的递推公式 因为为对称正定矩阵 则LA 由上述定理知 存在一个实的非奇异下三角阵使得L T ALL 11 2122 12nnnn l ll lll 11121 222 n n nn lll ll l 其中 0 由矩阵乘法及 当时 得 ii l1 2 in 0 jk l jk 1 11 jn ijik jkik jkjj ij kk al ll ll l 10 于是得到以下解对称正定方程组的平方根法计算公式 Axb 对于 1 2 jn 第 1 步 11 2 2 1 j jjjjjk k lal 第 2 步 1 1 j ijik jk k ij jj al l l l 1 ijn 求解 即求解如下两个三角方程组 Axb 1 求 2 求 Lyb y T L xy x 第 3 步 1 1 i iikk k i ii bl y y l 1 2 in 第 4 步 1 n ikik k i i ii bl x x l 1 1 in n 例 7 解方程组 1 2 3 4 41107 13108 11524 00246 x x x x 我们可以用消元法解此方程组 但我们发现此方程组的系数矩阵为正定矩阵 因此我们又可以运用平方根法解这个方程组 具体解法可以参考 数值分析同步辅 导及习题全解 13 我们这里主要是介绍这种方法 而且理论分析指出 解对称正 定方程组的平方根法是一个稳定的算法 其在工程计算中使用比较广泛 5 结束语 本文主要是介绍了判定正定矩