《三角函数的诱导公式》教学设计

1 15 1 3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 名师 杨峻峰 名师 杨峻峰 一 教学目标一 教学目标 一 核心素养 从对称性出发 获得一些三角函数的性质 会选择合适的诱导公式将任意角的三角 函数转化为锐角三角函数 二 学习目标 1 牢固掌握五组诱导公式 2 理解和掌握公式的内涵及结构特征 熟练运用公式进行三角函数的求值 化简 及恒等证明 3 通过诱导公式的推导 培养学生的观察能力 分析归纳能力 4 渗透把未知转化为已知以及分类讨论的数学思想 三 学习重点 熟练 准确地运用公式进行三角函数求值 化简及证明 四 学习难点 相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识 诱导公式的推导 记忆 及符号判断 二 教学设计二 教学设计 一 课前设计 1 阅读教材第 23 页至第 27 页 填空 1 如图 的终边与角的终边关于 原点原点 对称 2 如图 的终边与角的终边关于 x 轴轴 对称 3 如图 的终边与角的终边关于 y 轴轴 对称 4 如图 的终边与角的终边关于 直线直线 y x 对称 2 2 15 5 诱导公式 公式二 sin sin cos cos tan tan 公式三 sin sin cos cos tan tan 公式四 sin sin cos cos tan tan 公式五 sin 2 cos cos 2 sin 公式六 sin 2 cos cos 2 sin 2 预习自测 1 下列选项错误的是 A 利用诱导公式二可以把第三象限的三角函数化为第一象限的三角函数 B 利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数 C sincos 2 D 若为第四象限角 则 sincos 2 答案 C 二 课堂设计 1 知识回顾 3 15 1 任意角的正弦 余弦 正切是怎样定义的 在角的终边上任取一点 则 P x y 22 sin y xy 22 cos x xy tan y x 当为角的终边和单位圆的交点时 有 sin y cos x P tan y x 2 诱导公式一 sin2sin cos2cos tan2tan kk kkZ 3 终边相同的角的同名三角函数值相等 即公式一 利用公式一可以把绝对值较 大的角的三角函数转化为 0 到 360 0 到 内的角的三角函数值 2 对于任何一个内的角 以下四种情况有且只有一种成立 0 2 其中为锐角 0 2 2 3 2 3 2 2 2 当 当 当 当 所以 我们研究 与的同名三角函数即可 2 2 问题探究 探究一 角与角之间的关系 活动 结合图象 探究角与角终边之间的关系 结合图象思考 锐角的终边与角的终边位置关系如何 它们与单位圆的交点的位置关系如何 4 15 任意角与呢 引导学生充分利用单位圆 并和学生一起讨论 无论为锐角还是任意角 的终边都是的终边的反向延长线 角的终边与单位圆的交点关于原点对称 活动 结合定义 辨析角与角三角函数之间的关系 设任意角的终边与单位圆的交点坐标为 由对称可知 角的终边与 1 P x y 单位圆的交点坐标为 由三角函数的定义得 2 Pxy siny cosx tan y x siny cosx tan y x 从而 我们得到诱导公式二 sinsin coscos tantan 探究二 角 与角之间的关系 活动 结合图象 探究角 与角终边之间的关系 结合图象思考 任意角 的终边与角的终边位置关系如何 它们与单位圆的交点的位置关系如何 引导学生充分利用单位圆 并和学生一起讨论 任意角的终边与任意角的终边关于 x 轴对称 与单位圆的交点也关于 x 轴 对称 任意角角的终边与角的终边关于 y 轴对称 与单位圆的交点也关于 y 轴 5 15 对称 活动 类比探究一 辨析角 与角三角函数之间的关系 引导学生类比探究一的方法 得到 公式三 sinsin coscos tantan 公式四 sinsin coscos tantan 探究三 理解公式的内涵及结构特征 活动 互动交流 初步实践 引导学生观察分析公式三的特点 得出公式四的用途 可将求角的三角函数 值转化为求角的三角函数值 让学生分析总结诱导公式的结构特点 概括说明 加强记忆 我们可以用下面一段 话来概括公式一 四 的三角函数值 等于的同名函 2kkZ 数值 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号 进一步简记为 函数名不变 符号看象限 点拨 引导学生注意公式中的是任意角 活动 巩固基础 理解升华 例 1 利用公式求下列三角函数值 1 2 cos225 11 sin 3 3 4 16 sin 3 cos2040 知识点 公式一 四 数学思想 化归思想 6 15 解题过程 解 1 2 cos225cos 180 45cos45 2 2 113 sinsin 4sin 3332 3 16163 sinsinsin 5sin 33332 4 1 cos2040cos2040cos120cos 18060cos60 2 思路点拨 利用公式一 四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 答案 1 2 3 4 2 2 3 2 3 2 1 2 通过例 1 运用讲解 引导学生归纳 任意角的三角函数转化为锐角三角函数 的一般步骤 变式训练 化简 1 2sin290 cos430 sin250cos790 知识点 公式一 四 数学思想 解题过程 解 1 2sin290 cos430 sin250cos790 1 2sin 36070cos 36070 sin 18070cos 72070 12sin70 cos70 sin70cos70 cos70sin70 cos70sin70 1 7 15 思路点拨 利用公式一 四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 答案 1 探究四 角与角之间的关系 2 活动 探究角与角之间的关系 2 设任意角的终边与单位圆的交点坐标为 由于角的终边与角的终 1 P x y 2 边关于直线 y x 对称 角的终边与单位圆的交点与点关于直线 y x 对 2 2 P 1 P 称 因此点 从而有 2 Py x cosx siny cos 2 y sin 2 x 所以得到公式五 sincos 2 cossin 2 活动 探究角与角之间的关系 2 我们可以类比探究与角三角函数之间的关系 进行角与角之间 2 2 关系的探究 另一方面 由于 是否可以结合公式四及公式五推 22 导出角与角三角函数之间关系呢 请学生进行推导 2 可以得到公式六 sincos 2 cossin 2 8 15 我们可以用下面一段话来概括公式五 六 正弦 余弦 函数值 分别等于的 余弦 正弦 函数值 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号 进一步可以简记为 函数名改变 符号看象限 活动 探究角与角之间的关系 3 2 例 2 证明 1 3 sincos 2 2 3 cossin 2 知识点 诱导公式四 五 数学思想 解题过程 证明 1 3 sinsinsincos 222 2 3 coscoscossin 222 思路点拨 将变形为利用公式四 五进行转化 3 2 2 答案 1 2 cos sin 学了六组诱导公式及上例的结果后 能否进一步归纳概括诱导公式 诱导公式一 四 函数名称不改变 这些公式左边的角分别是 2kkZ 可看作 其中 0 是横坐标轴上的角 因此 上述公式 0 2k 可归结为横坐标轴上的角 函数名称不改变 而公式五 六及上面的例 2 这 些公式左边的角分别是 其中 是纵坐标轴上的角 因此这些 2 3 2 2 3 2 公式可归结为纵坐标上的角 函数名称要改变 两类诱导公式的符号的考查是 一致的 故而所有的诱导公式可用十个字来概括 纵变横不变 符号看象限 活动 灵活应用 融会贯通 例 3 化简 11 sin 2coscoscos 22 9 cossin 3sinsin 2 a a 知识点 诱导公式一 六 9 15 数学思想 解题过程 解 11 sin 2coscoscos 22 9 cossin 3sinsin 2 a a sincossincos 5 2 cossinsinsin 4 2 2 sincoscos 2 cossinsinsin 2 sin tan cos 思路点拨 合理利用诱导公式 抓住 负化正 大化小 化到锐角终了 的原则 答案 tan 变式训练 已知 求的值 cos1 6 m m 2 sin 3 知识点 诱导公式六 数学思想 解题过程 解 2 362 2 326 2 sin 3 sin 26 cos 6 m 思路点拨 当两个角的和或差是的整数倍时 它们的三角函数值可通过诱导 2 公式联系起来 答案 m 3 课堂总结 有关角的终边对称性 1 的终边与角的终边关于原点对称 2 的终边与角的终边关于 y 轴对称 10 15 3 的终边与角的终边关于 x 轴对称 4 的终边与角的终边关于直线 y x 对称 2 利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数 其化简 方向仍为 负化正 大化小 化到锐角终了 纵变横不变 符号看象限 三 课后作业 基础型 自主突破 1 210sin A B C D 2 3 2 1 2 3 2 1 知识点 诱导公式 数学思想 化归思想 解题过程 2 1 30sin 30180sin 210sin 思路点拨 根据诱导公式求值 答案 D 2 240cos A B C D 2 3 2 1 2 3 2 1 知识点 诱导公式 数学思想 化归思想 解题过程 2 1 60cos 60180cos 240cos 240cos 思路点拨 根据诱导公式求值 答案 D 3 6 7 cos A B C D 2 3 2 1 2 3 2 1 知识点 诱导公式 11 15 数学思想 化归思想 解题过程 2 3 6 cos 6 cos 6 7 cos 思路点拨 根据诱导公式求值 答案 C 4 4 11 tan A B C D 2 2 1 2 2 1 知识点 诱导公式 数学思想 化归思想 解题过程 1 4 tan 4 tan 4 5 tan 4 11 4tan 4 11 tan 思路点拨 根据诱导公式求值 答案 B 5 若 则 5 3 2 sin 2 sin 知识点 诱导公式 数学思想 化归思想 解题过程 因为 所以 3 sin cos 25 3 sin cos 25 思路点拨 根据诱导公式求值 答案 3 5 6 已知角终边上的一点 则 2 1 P 450sin 知识点 任意角的三角函数定义 诱导公式 数学思想 化归思想 解题过程 15 sin 450 sin 90 cos 55 思路点拨 根据诱导公式求值 答案 5 5 12 15 能力型 师生共研 7 已知 则 13 5 2 cos sin 知识点 同角三角函数关系 诱导公式 数学思想 化归思想 解题过程 方法一 由 得 所以 13 5 sin 2 cos 13 5 sin 13 5 sin sin 方法二 13 5 2 cos 22 sin sin 思路点拨 根据诱导公式求值 答案 13 5 8 已知 则 3 2 3 cos 6 sin 知识点 同角三角函数关系 诱导公式 数学思想 化归思想 解题过程 3 2 3 cos 3 2 sin 6 sin 思路点拨 观察与关系 根据诱导公式求值 3 6 答案 3 2 探究型 多维突破 9 现有下列三角函数 Nnn 3 4 sin Nnn 3 2sin Nnn 6 12 sin 其中函数值与的值相同的序号是 Nnn 3 12 sin 3 sin 知识点 诱导公式 数学思想 化归思想 13 15 解题过程 为奇数 为偶数 n n n 2 3 2 3 3 4 sin 2 3 3 sin 3 2sin n 2 1 6 5 sin 6 12 sin n 2 3 3 2 sin 3 12 sin n 思路点拨 奇变偶不变 符号看象限 答案 10 已知角是第三象限角 且 sin tan tan 2cos sin af 1 化简 f 2 若 求的值 5 1 sin f 3 若 求的值 6 17 f 知识点 同角三角函数关系 诱导公式 数学思想 化归思想 解题过程 1 sincostan cos tansin f 2 因为 所以 因为角是第三象限角 5 1 sin sin 5 1 sin 所以 5 62 sin1cos 2 f 3 2 3 6 5 cos 6 17 cos cos f 思路点拨 先化简 再求值 答案 1 2 3 cosfa 2 6 5 3 2 自助餐 1 的值为 1 cos 2cos sin2 14 15 A 1 B C 0 D 2 2 sin2 知识点 诱导公式 同角三角函数关系 数学思想 化归思想 解题过程 2222 sin21cossin1 cos 2cos sin 思路点拨 化简 答案 B 2 已知 则 2 tan 2 cos1 1 A B C 2 D 3 2 1 6 5 知识点 诱导公式 同角三角函数关系 数学思想 化归思想 解题过程 因为 2tan tan 所以 2tan 6 5 2tan 1tan cos2sin cossin cos1 1 2 2 22 22 2 a a 思路点拨 1 与转化 22 cossin 答案 D 3 89sin88sin45sin2sin1sin 22222 知识点 同角三角函数关系 诱导公式 数学思想 化归思想 解题过程 89sin88sin45sin2sin1sin 22222 1cos2cos45sin2sin1sin 22222 2 5 2 1 2 思路点拨 观察与关系 1 89 答案 2 5 4 化简 3cos 3sin 21 知识点 诱导公式