高中数学：《数列》知识要点梳理

用心 爱心 专心 数列数列 知识梳理知识梳理 一 数列及其有关概念 1 数列的概念 按一定顺序排列的一列数叫做数列 数列中的每一个数都叫做这个数列的项 各项依 次叫做这个数列的第 1 项 首项 第 2 项 注意 数列与数集是两个不同的概念 数集中的元素具有无序性和互异性 而数列中的数 是按一定顺序排列的 并且可以重复 2 数列的通项公式 如果数列 n a的第n项 n a与序号n之间的关系可以用一个公式 n af n 来表示 那 么这个公式就叫做这个数列的通项公式 注意 1 有的数列没有通项公式 有的数列的通项公式不止一个 2 将12n 代入通项公式 可以求出这个数列的每一项 3 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数 其特殊性主要体现在它的定义域是正整数集 N 或它的有限 子集 12 n 这也决定了数列的图象是一群孤立的点 这些点可以有有限多个 也 可以有无限多个 4 数列的分类 1 按数列的项数 可以将数列分为有穷数列和无穷数列 2 按数列的项与项之间的大小关系 可以分为 递增数列 递减数列 常数列 摆 动数列 二 等差数列 1 等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起 第一项与它们的前一项的差都等于同一个常数 那么这个 数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差列的公差 通常用d表示 2 等差数列的通项公式 如果等差数列 n a的首项为 1 a 公差为d 则它的通项公式为 1 1 n aand 由 此可知 已知等差数列的首项和公差 就可以求出这个数列的任何一项 这个等差数列也 就完全被确定了 通常称首项和公差是等差数列的两个基本量 3 等差数列与函数的关系 1 等差数列的通项公式与函数的关系 由等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad 可知 当0d 时 n a可以看成是关于n的一次函数 当0d 时 1n aa 可知 n a是常数函数 不论d是否为0 n a 的图象都是在同一条直线上的一群孤立的点 用心 爱心 专心 2 等差数列的前n项和公式与函数的关系 由等差数列的前n项和公式 2 11 1 1 222 n dd Snan ndnan 可知 当0d 时 n S可以看成是关于n的二次函数 不含常数项 所以图象所在的抛物线 过原点 当0d 时 1nn Sa nS 可以看成是关于n的一次函数 当 1 0a 时 或为常数函 数 当 1 0a 时 注意 解有关等数列的题时 要注意引用函数的性质 4 等差数列的充要条件 数列 n a是等差数列 1nn aad d为常数 n N n apnq pq 为常数 n N 2 12 2 nnnn aaanSAnBn N AB 为常数n N 5 等差数列的常用性质 已知 n a是等差数列 公差为d 则 1 nm nm aa aanm dd nm 2 若 mnpq mnpq 则 mnpq aaaa 3 下标成等差数列的项 2kk mkm aaa 组成的数列仍为等差数列 公差为md 4 232nnnnn SSSSS 仍为等差数列 5 数列 n ab b 为常数 仍为等差数列 公差为d 三 等比数列 1 等比数列定义 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 那么这个数 列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 通常用q表示 需要特别注意的是 等比数列的每一项及公比都不为 0 2 等比数列的通项公式 如果等比数列 n a的首项为 1 a 公比为q 则它的通项公式为 1 1 n n aa q 由此可知 已知等比数列的首项和公比 就可以求出这个数列的任何一项 这个等比数列也就是完全 被确定了 通常称首项和公比是等比数列的两个基本量 3 等比数列的充要条件 用心 爱心 专心 数列 n a是等比数列 1n n a q a q为常数 n N 2 12nnn aa a A 且 0 n an N 4 等比数列的常用性质 已知 n a是等比数列 公比为q 则 1 n mn m n nm m a aa qq a 2 若 mnpq mnpq N 则 mnpq aaaa AA 3 下标成等差数理的项 2kk mkm aaa 组成的数列仍为等比数列 公比为 m q 4 232nnnnn SSSSS 当各项均不为 0 时 为等比数列 四 几种重要的题型 1 知三求二 型 在等差数列 n a中 若已知 1nn adaSn 五个量中的任意三个量 利用通项公式 与前n项和公式 可以求出其余的两个量 同样地 在等比数列 n a中 若已知 1nn aqaSn 五个量中的任意三个量 利用通项公式与前n项和公式 也可以求出其 余的两个量 这所用的其实就是方程思想 2 求数列的通项公式 1 给出数列的前几项 写出该数列的一个通项公式 解这个类题主要从以下几个方面考虑 负号用 1 n 或 1 1 n 来调节 公式形式的数列 分子 分母要分别找通项 要充分借助分子 分母的关系 对于比较复杂的数列 要借助于等差数列 等比数列和其他方法来解决 有些数列 其构成规律较难发现 若我们能从给出的前面若干项 逐次求出它的差数列 后项减去它的前项所得之差构成的数列 最后得到一个等差或等比数列 则由此倒推回 去 就能找到原数列的通项公式 这种方法称为逐差法 此类问题虽无固定模式 但也有章可循 主要靠观察 观察规律 比较 与已知数列 比较 归纳 转化 转化为等差数列或等比数列 等方法 例 1 求13 61015 的一个通项公式 解 设此数列为 n a 其差数列为 n b 则 n b为 2 3 4 5 即1 n bn 又 1nnn baa 所以 1 1 nn aan 用心 爱心 专心 令n取12 31n 得1n 不等式 将它们相加 得 1 1 2 234 2 n nn aan 而 1 1a 所以 1 2 1 1 22 n nnn n a 2 已知 n S 求 n a 这类问题主要是利用 1 1 1 2 n nn Sn a SSn 求通项公式 特别需注意的是 最后 应验证分段表示的公式是否能合并 即验证2n 时的公式对1n 是否适用 3 已知 n S和 n a的关系式求通项公式 这类问题一般需要由已知关系式 将n变为1n 或1n 再写出一个类似的关系式 将 两个关系式的两边分别相减 从而将关系式中的和