【步步高】(广东专用)2015届高考数学二轮复习 专题训练七 第1讲 排列、组合与二项式定理 理

第第 1 1 讲讲 排列 组合与二项式定理排列 组合与二项式定理 考情解读 1 高考中对两个计数原理 排列 组合的考查以基本概念 基本方法 如 在 不在 问题 相邻问题 相间问题 为主 主要涉及数字问题 样品问题 几何问题 涂 色问题 选取问题等 对二项式定理的考查 主要是利用通项求展开式的特定项 利用二项 式定理展开式的性质求有关系数问题 主要考查分类与整合思想 转化与化归思想 补集思 想和逻辑思维能力 2 排列 组合 两个计数原理往往通过实际问题进行综合考查 一般以 选择 填空题的形式出现 难度中等 还经常与概率问题相结合 出现在解答题的第一或第 二个小题中 难度也为中等 对于二项式定理的考查 主要出现在选择题或填空题中 难度 为易或中等 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成 则要用分类加法计数原理将方法种数相加 如果需要 通过若干步才能将规定的事件完成 则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘 2 排列与组合 1 排列 从n个不同元素中取出m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个排列 从n个不同元素中取出m个元素的排列数公式是 A n n 1 n 2 n m 1 或写成 A m nm n n n m 2 组合 从n个不同元素中取出m m n 个元素组成一组 叫做从n个不同元素中取出m个 元素的一个组合 从n个不同元素中取出m个元素的组合数公式是 C 或写成 C m n n n 1 n 2 n m 1 m m n n m n m 3 组合数的性质 C C m nn mn C C C mn 1m nm 1n 3 二项式定理 1 二项式定理 a b n C anb0 Can 1b Can 2b2 Can rbr Ca0bn r 0 1 2 n 0n1n2nr nn n 2 二项展开式的通项 Tr 1 Can rbr r 0 1 2 n 其中 C 叫做二项式系数 r nr n 3 二项式系数的性质 对称性 与首末两端 等距离 两项的二项式系数相等 即 C C C C C C 0nn n1nn 1nk nn kn 最大值 当n为偶数时 中间的一项的二项式系数取得最大值 当n为奇数时 中间 2 n n C 的两项的二项式系数 相等 且同时取得最大值 1 2 n n C 1 2 n n C 各二项式系数的和 a C C C C C 2n 0n1n2nk nn n b C C C C C C 2n 2n 1 0n2n2r n1n3n2r 1n 1 2 热点一 两个计数原理 例 1 1 将 1 2 3 9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中 要求每一行从左到右 每一 列从上到下分别依次增大 当 3 4 固定在图中的位置时 填写空格的方法为 A 6 种 B 12 种 C 18 种 D 24 种 2 如果一个三位正整数 a1a2a3 满足a1 a2且a30 即x2 m 0 在区间 上恒成立 5 2 5 2 2 22 5 2 2 22 所以m x2 max 在区间 上 易知当x 时 x2有最大值 最大值为 5 所以 5 2 2 222 5 2 m 5 即实数m的取值范围是 5 推荐时间 60 分钟 一 选择题 1 2014 安徽 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对 其中所成的角为 60 的共 有 A 24 对 B 30 对 C 48 对 D 60 对 答案 C 解析 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 与面对角线AC成 60 角的面对 角线有B1C BC1 A1D AD1 AB1 A1B D1C DC1 共 8 条 同理与DB成 60 角的面对角线也有 8 条 因此一个面上的 2 条面对角线与其相邻的 4 个面上的 8 条对角线共组成 16 对 又正方体共有 6 个面 所以共有 16 6 96 对 又因为每对被计算了 2 次 因此成 60 角的面对角线有 96 48 对 1 2 2 在 x 5的二项展开式中 x2的系数为 2 x A 40 B 40 C 80 D 80 答案 A 解析 x 5的展开式的通项为 2 x Tr 1 Cx5 r r 2 rC r5 2 xr5 3 5 2 r x 令 5 2 得r 2 故展开式中x2的系数是 2 2C 40 故选 A 3r 22 5 3 从 8 名女生和 4 名男生中 抽取 3 名学生参加某档电视节目 如果按性别比例分层抽样 则不同的抽取方法数为 A 224 B 112 C 56 D 28 答案 B 解析 根据分层抽样 从 8 个人中抽取男生 1 人 女生 2 人 所以取 2 个女生 1 个男生的方 法 C C 112 2 8 1 4 4 若 1 2x 5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5 则a0 a1 a3 a5的值为 A 122 B 123 C 243 D 244 答案 B 解析 在已知等式中分别取x 0 x 1 与x 1 得 a0 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 35 a0 a1 a2 a3 a4 a5 1 因此有 2 a1 a3 a5 35 1 244 a1 a3 a5 122 a0 a1 a3 a5 123 故选 B 5 2014 四川 在x 1 x 6的展开式中 含x3项的系数为 A 30 B 20 C 15 D 10 答案 C 解析 因为 1 x 6的展开式的第r 1 项为Tr 1 Cxr x 1 x 6的展开式中含x3的项为 r6 Cx3 15x3 所以系数为 15 2 6 6 计划展出 10 幅不同的画 其中 1 幅水彩画 4 幅油画 5 幅国画 排成一列 要求同一 品种的画必须连在一起 并且水彩画不放在两端 那么不同的排列方式的种数有 A A A B A A A 4 4 5 53 3 4 4 3 5 C C A A D A A A 1 3 4 4 5 52 2 4 4 5 5 答案 D 解析 先把 3 种品种的画看成整体 而水彩画受限制应优先考虑 不能放在头尾 故只能放 在中间 又油画与国画有 A 种放法 再考虑国画与油画本身又可以全排列 故排列的方法 2 2 有 A A A 种 2 2 4 4 5 5 7 二项式 n的展开式中第 4 项为常数项 则常数项为 x 1 3 x A 10 B 10 C 20 D 20 答案 B 解析 由题意可知二项式 n的展开式的常数项为T4 C n 3 3 1 3C x 1 3 x3nx 1 3 x3n 315 6 n x 令 3n 15 0 可得n 5 故所求常数项为T4 1 3C 10 故选 B 3 5 8 有A B C D E五位学生参加网页设计比赛 决出了第一到第五的名次 A B两位学 生去问成绩 老师对A说 你的名次不知道 但肯定没得第一名 又对B说 你是第三 名 请你分析一下 这五位学生的名次排列的种数为 A 6 B 18 C 20 D 24 答案 B 解析 由题意知 名次排列的种数为 C A 18 1 3 3 3 9 在二项式 x2 n的展开式中 所有二项式系数的和是 32 则展开式中各项系数的和为 1 x A 32 B 32 C 0 D 1 答案 C 解析 依题意得所有二项式系数的和为 2n 32 解得n 5 因此 令x 1 则该二项展开式中的各项系数的和等于 12 5 0 故选 C 1 1 10 用红 黄 蓝 白 黑五种颜色涂在 田 字形的 4 个小方格内 每格涂一种颜色 相 邻两格涂不同的颜色 如果颜色可以反复使用 则所有涂色方法的种数为 A 60 B 80 C 120 D 260 答案 D 解析 如图所示 将 4 个小方格依次编号为 1 2 3 4 如果使用 2 种颜色 则只 能是第 1 4 个小方格涂一种 第 2 3 个小方格涂一种 方法种数是 C A 20 2 5 2 2 如果使用 3 种颜色 若第 1 2 3 个小方格不同色 第 4 个小方格只能和第 1 个 小方格相同 方法种数是 C A 60 若第 1 2 3 个小方格只用 2 种颜色 则第 4 个方格只能 3 5 3 3 用第 3 种颜色 方法种数是 C 3 2 60 如果使用 4 种颜色 方法种数是 C A 120 根 3 54 5 4 4 据分类加法计数原理 知总的涂法种数是 20 60 60 120 260 故选 D 二 填空题 11 雾霾治理 光盘行动 网络反腐 法治中国 先看病后付费 成为 2013 年社会关 注的五个焦点 小王想利用 2014 五一 假期的时间调查一下社会对这些热点的关注度 若 小王准备按照顺序分别调查其中的 4 个热点 则 雾霾治理 作为其中的一个调查热点 但 不作为第一个调查热点的调查顺序总数为 答案 72 解析 先从 光盘行动 网络反腐 法治中国 先看病后付费 这 4 个热点选出 3 个 有 C 种不同的选法 在调查时 雾霾治理 安排的调查顺序有 A 种可能情况 其余三个 3 41 3 热点调查顺序有 A 种 故不同调查顺序的总数为 C A A 72 3 33 4 1 3 3 3 12 x 1 4x2 4 3的展开式中的常数项为 1 x2 答案 160 解析 x 1 4x2 4 3 x 1 2x 6 其中 2x 6展开式的第r 1 项为Tr 1 C 1 x2 1 x 1 x 2x 6 r r 1 r C 26 r x6 2r r6 1 xr6 令r 3 可得T4 1 3C 23 160 3 6 所以二项式 x 1 4x2 4 3的展开式中常数项为 1 160 160 1 x2 13 2014 北京 把 5 件不同产品摆成一排 若产品A与产品B相邻 且产品A与产品C不 相邻 则不同的摆法有 种 答案 36 解析 将产品A与B捆绑在一起 然后与其他三种产品进行全排列 共有 A A 种方法 将 2 2 4 4 产品A B C捆绑在一起 且A在中间 然后与其他两种产品进行全排列 共有 A A 种方 2 2 3 3 法 于是符合题意的排法共有 A A A A 36 种 2 2 4 42 2 3 3 14 2014 课标全国 x a 10的展开式中 x7的系数为 15 则a 用数字填 写答案 答案 1 2 解析 设通项为Tr 1 Cx10 rar 令 10 r 7 r10 r 3 x7的系数为 Ca3 15 a3 a 3 10 1 8 1 2 15 某工厂将甲 乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间 每个车间至少分配一名员工 且甲 乙两名员工必须分到同一个车间 则不同分法的种数为 答案 36 解析 若甲 乙分到的车间不再分人 则分法有 C A C 18 种 若甲 乙分到的车间 1 32 21 3 再分一人 则分法有 3 C A 18 种 所以满足题意的分法共有 1