河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练

专题三专题三 几何图形的折叠与动点问题几何图形的折叠与动点问题 类型一 与特殊图形有关 2018 2018 河南 如图 MAN 90 点 C 在边 AM 上 AC 4 点 B 为边 AN 上一动点 连接 BC A BC 与 ABC 关于 BC 所在直线对称 点 D E 分别为 AC BC 的中点 连接 DE 并延长交 A B 所在直线 于点 F 连接 A E 当 A EF 为直角三角形时 AB 的长为 分析 当 A EF 为直角三角形时 存在两种情况 A EF 90 A FE 90 进行讨论 自主解答 当 A EF 为直角三角形时 存在两种情况 当 A EF 90 时 如解图 A BC 与 ABC 关于 BC 所在直线对称 A C AC 4 ACB A CB 点 D E 分别为 AC BC 的中 点 D E 是 ABC 的中位线 DE AB CDE MAN 90 CDE A EF AC A E ACB A EC A CB A EC A C A E 4 在 Rt A CB 中 E 是斜边 BC 的中点 BC 2A E 8 由勾股定理 得 AB2 BC2 AC2 AB 4 82 42 当 A FE 90 时 如解图 ADF A DFB 90 ABF 90 A BC 与 3 ABC 关于 BC 所在直线对称 ABC CBA 45 ABC 是等腰直角三角形 AB AC 4 综上 所述 AB 的长为 4或 4 3 图 图 1 1 如图 四边形 ABCD 是菱形 AB 2 ABC 30 点 E 是射线 DA 上一动点 把 CDE 沿 CE 折叠 其 中点 D 的对应点为 D 连接 D B 若使 D BC 为等边三角形 则 DE 2 2 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 5 AC 4 E F 分别为 AB AC 上的点 沿直线 EF 将 B 折叠 使点 B 恰好落在 AC 上的 D 处 当 ADE 恰好为直角三角形时 BE 的长为 3 3 2017 2017 河南 如图 在 Rt ABC 中 A 90 AB AC BC 1 点 M N 分别是边 BC AB 上 2 的动点 沿 MN 所在的直线折叠 B 使点 B 的对应点 B 始终落在边 AC 上 若 MB C 为直角三角形 则 BM 的长为 4 4 2018 2018 新乡一模 菱形 ABCD 的边长是 4 DAB 60 点 M N 分别在边 AD AB 上 且 MN AC 垂 足为 P 把 AMN 沿 MN 折叠得到 A MN 若 A DC 恰为等腰三角形 则 AP 的长为 5 5 2017 2017 三门峡一模 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 5 AC 3 点 D 是 BC 上一动点 连接 AD 将 ACD 沿 AD 折叠 点 C 落在点 C 连接 C D 交 AB 于点 E 连接 BC 当 BC D 是直角三角形 时 DE 的长为 6 6 2018 2018 盘锦 如图 已知 Rt ABC 中 B 90 A 60 AC 2 4 点 M N 分别在线段 3 AC AB 上 将 ANM 沿直线 MN 折叠 使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC 上 当 DCM 为直角三角形时 折痕 MN 的长为 7 7 2018 2018 乌鲁木齐 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BC 2 AC 2 点 D 是 BC 的中点 点 E 是 3 边 AB 上一动点 沿 DE 所在直线把 BDE 翻折到 B DE 的位置 B D 交 AB 于点 F 若 AB F 为直角三 角形 则 AE 的长为 8 8 2017 2017 洛阳一模 在菱形 ABCD 中 AB 5 AC 8 点 P 是对角线 AC 上的一个动点 过点 P 作 EF 垂 直 AC 交 AD 于点 E 交 AB 于点 F 将 AEF 折叠 使点 A 落在点 A 处 当 A CD 为等腰三角形时 AP 的长为 9 9 2018 2018 濮阳一模 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 BC 4 点 D E 为 AC BC 上两个动 点 若将 C 沿 DE 折叠 点 C 的对应点 C 恰好落在 AB 上 且 ADC 恰好为直角三角形 则此时 CD 的 长为 类型二 点的位置不确定 2016 2016 河南 如图 已知 AD BC AB BC AB 3 点 E 为射线 BC 上一个动点 连接 AE 将 ABE 沿 AE 折叠 点 B 落在点 B 处 过点 B 作 AD 的垂线 分别交 AD BC 于点 M N 当点 B 为线段 MN 的 三等分点时 BE 的长为 分析 根据勾股定理 可得 EB 根据相似三角形的性质 可得 EN 的长 根据勾股定理 可得答 案 自主解答 由翻折的性质 得 AB AB BE B E 当 MB 2 B N 1 时 设 EN x 得 B E 由 B EN AB M 即 x2 BE B E x2 1 EN B M B E AB x 2 x2 1 3 4 5 4 5 1 35 5 当 MB 1 B N 2 时 设 EN x 得 B E B EN AB M 即 x2 22 EN B M B E AB x 1 解得 x2 BE B E 故答案为 或 x2 4 3 1 2 1 2 4 32 2 32 2 35 5 1 1 如图 正方形 ABCD 的边长为 9 将正方形折叠 使 D 点落在 BC 边上的点 E 处 折痕为 GH 若点 E 是 BC 的三等分点 则线段 CH 的长是 2 2 2018 2018 林州一模 在矩形 ABCD 中 AB 4 BC 9 点 E 是 AD 边上一动点 将边 AB 沿 BE 折叠 点 A 的对应点为 A 若点 A 到矩形较长两对边的距离之比为 1 3 则 AE 的长为 3 3 2015 2015 河南 如图 矩形 ABCD 中 AD 5 AB 7 点 E 为 DC 上一个动点 把 ADE 沿 AE 折叠 当点 D 的对应点 D 落在 ABC 的平分线上时 DE 的长为 4 4 2017 2017 商丘模拟 如图 在矩形 ABCD 中 AD 5 AB 8 点 E 为射线 DC 上一个动点 把 ADE 沿直 线 AE 折叠 当点 D 的对应点 F 刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时 则 DE 的长为 5 5 如图 在矩形 ABCD 中 BC 6 CD 8 点 P 是 AB 上 不含端点 A B 任意一点 把 PBC 沿 PC 折叠 当点 B 的对应点 B 落在矩形 ABCD 对角线上时 BP 6 6 2018 2018 河南模拟 如图 ABC 中 AB AC 5 tan A 2 D 是 BC 中点 点 P 是 AC 上一个动 5 点 将 BPD 沿 PD 折叠 折叠后的三角形与 PBC 的重合部分面积恰好等于 BPD 面积的一半 则 AP 的 长为 7 7 在矩形 ABCD 中 AB 6 BC 12 点 E 在边 BC 上 且 BE 2CE 将矩形沿过点 E 的直线折叠 点 C D 的对应点分别为 C D 折痕与边 AD 交于点 F 当点 B C D 恰好在同一直线上时 AF 的长 为 类型三 根据图形折叠探究最值问题 如图 在矩形纸片 ABCD 中 AB 2 AD 3 点 E 是 AB 的中点 点 F 是 AD 边上的一个动点 将 AEF 沿 EF 所在直线翻折 得到 A EF 则 A C 的长的最小值是 分析 以点 E 为圆心 AE 长度为半径作圆 连接 CE 当点 A 在线段 CE 上时 A C 的长取最小值 根据折叠的性质可知 A E 1 在 Rt BCE 中利用勾股定理可求出 CE 的长度 用 CE A E 即可求出结 论 例 3 题解图 自主解答 以点 E 为圆心 AE 长度为半径作圆 连接 CE 当点 A 在线段 CE 上时 A C 的长取最小 值 如解图所示 根据折叠可知 A E AE AB 1 在 Rt BCE 中 BE AB 1 BC 3 B 90 1 2 1 2 CE A C 的最小值 CE A E 1 故答案为 1 BE2 BC2101010 1 1 2019 2019 原创 如图 在边长为 10 的等边三角形 ABC 中 D 是 AB 边上的动点 E 是 AC 边的中点 将 ADE 沿 DE 翻折得到 A DE 连接 BA 则 BA 的最小值是 2 2 在矩形 ABCD 中 AD 12 E 是 AB 边上的点 AE 5 点 P 在 AD 边上 将 AEP 沿 EP 折叠 使得点 A 落在点 A 的位置 如图 当 A 与点 D 的距离最短时 A PD 的面积为 3 3 如图 在边长为 4 的正方形 ABCD 中 E 为 AB 边的中点 F 是 BC 边上的动点 将 EBF 沿 EF 所在直线 折叠得到 EB F 连接 B D 则当 B D 取得最小值时 tan BEF 的值为 4 4 2017 2017 河南模拟 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 4 BC 6 点 D 是边 BC 的中点 点 E 是 边 AB 上的任意一点 点 E 不与点 B 重合 沿 DE 翻折 DBE 使点 B 落在点 F 处 连接 AF 则线段 AF 的长 取最小值时 BF 的长为 参考答案 类型一 针对训练 1 1 或 2 2 解析 1 当点 E 在边 AD 上时 过点 E 作 EF CD 于 F 如解图 设 CF x 33 第 1 题解图 ABC 30 BCD 150 BCD 是等边三角形 DCD 90 由折叠可知 ECD D CE 45 EF CF x 在直角三角形 DEF 中 D 30 DE 2x DF x CD CF DF x x 2 解得 x x 1 DE 2x 2 2 3333 2 当 E 在 DA 的延长线上时 如解图 第 1 题解图 过点 B 作 BF DA 于点 F 根据折叠可知 ED C D 30 又 三角形 BD C 是等边三角形 D E 垂直平分 BC AD BC D E AD ABC 30 BAF 30 又 AB 2 AF 令 3 D E 与 BC 的交点为 G 则易知 EF BG BC 1 AE 1 DE 1 综上所述 DE 的长度 1 233 为 1 或 2 2 33 2 或 解析 在 Rt ABC 中 C 90 AB 5 AC 4 BC 3 沿直线 EF 将 B 折叠 使点 15 8 15 7 B 恰好落在 BC 上的 D 处 当 ADE 恰好为直角三角形时 根据折叠的性质 BE DE 设 BE x 则 DE x AE 5 x 当 ADE 90 时 则 DE BC 解得 x 当 DE CB AE AB x 3 5 x 5 15 8 AED 90 时 则 AED ACB 解得 x 故所求 BE 的长度为 或 DE BC AE AC x 3 5 x 4 15 7 15 8 15 7 3 或 1 解析 如解图 当 B MC 90 B 与 A 重合 M 是 BC 的中点 BM BC 1 22 1 2 1 2 1 2 如解图 当 MB C 90 A 90 AB AC C 45 CMB 是等腰直角 2 1 2 三角形 CM MB 沿 MN 所在的直线折叠 B 使点 B 的对应点为 2 B BM B M CM BM BC 1 CM BM BM BM 1 BM 1 综上所述 2222 若 MB C 为直角三角形 则 BM 的长为 或 1 1 22 1 2 图 图 第 3 题解图 4 或 2 2 解析 如解图 当 A D A C 时 A DC A CD 30 4 333 AA D 60 又 CAD 30 ADA 90 在 Rt ADA 中 AA 由折叠可得 AP AA AD cos 30 4 3 2 8 33 1 2 4 33 图 图 第 4 题解图 如解图 当 CD CA 4 时 连接 BD 交 AC 于 O 则 Rt COD 中 CO CD cos 30 4 2 AC 4 AA AC A C 4 4 由折叠可得 AP AA 2 2 故答案 3 2333 1 23 为或 2 2 4 333 5 或 解析 如解图 所示 点 E 与点 C 重合时 在 Rt ABC 中 BC 4 由翻折的 3 2 3 4AB2 AC2 性质可知 AE AC 3 DC DE 则 EB 2 设 DC ED x 则 BD 4 x 在 Rt DBE 中 DE2 BE2 DB2 即 x2 22 4 x 2 解得 x DE 3 2 3 2 图 图 第 5 题解图 如解图 所示 EDB 90 时 由翻折的性质可知 AC AC C AC D 90 C AC D CDC 90 四边形 ACDC 为矩形 又 AC AC 四边形 ACDC 为正方 形 CD AC 3 DB BC DC 4 3 1 DE AC BDE BCA 即 解得 DE AC DB CB 1 4 ED 3 1 4 DE 点 D 在 CB 上运动 DBC 90 故 DBC 不可能为直角 故答案为 或 3 4 3 2 3 4 6 或 解析 分两种情况 如解图 当 CDM 90 CDM 是直角三角形 在 Rt 23 4 36 ABC 中 B 90 A 60 AC 2 4 C 30 AB AC 2 由折叠可得 3 1 23 MDN A 60 BDN 30 BN DN AN BN AB AN 2BN DNB 60 ANM DNM 60 1 2 1 2 1 3 3 2 3 23 3 4 3 ANM 60 AN MN 如解图 当 CMD 90 时 CDM 是直角三角形 由题可得 23 4 3 CDM 60 A MDN 60 BDN 60 BND 30 BD DN AN BN BD 又 1 2 1 23 AB 2 AN 2 BN 过 N 作 NH AM 于 H 则 ANH 30 AH AN 1 HN 由 33 1 23 折叠可得 AMN DMN 45 MNH 是等腰直角三角形 HM HN MN 故答案为 36 或 23 4 36 图 图 第 6 题解图 7 3 或 解析 C 90 BC 2 AC 2 tan B B 30 14 53 AC BC 2 23 3 3 AB 2AC 4 点 D 是 BC 的中点 沿 DE 所在直线把 BDE 翻折到 B D E 的位置 B D 交 AB 于点 F DB DC EB EB DB E B 30 设 AE x 则 BE 4 x EB 4 x 当 3 AFB 90 时 在 Rt BDF 中 cos B BF cos 30 EF 4 x x 在 BF BD3 3 2 3 2 5 2 Rt B EF 中 EB F 30 EB 2EF 则 4 x 2 x 解得 x 3 此时 AE 为 3 5 2 第 7 题解图 当 FB A 90 时 作 EH AB 于 H 连接 AD 如解图 DC DB AD AD Rt ADB Rt ADC AB AC 2 AB E AB F EB F 90 30 120 EB H 60 在 Rt EHB 中 B H B E 4 x EH B H 4 x 在 Rt AEH 中 1 2 1 23 3 2 EH2 AH2 AE2 4 x 2 4 x 2 2 x2 解得 x 此时 AE 为 综上所述 AE 的长为 3 3 4 1 2 14 5 14 5 或 14 5 8 或 解析 四边形 ABCD 是菱形 3 2 39 16 AB BC CD AD 5 DAC BAC EF AA EPA FPA 90 EAP AEP 90 FAP AFP 90 AEP AFP AE AF A EF 是由 AEF 翻折 AE EA AF FA AE EA A F FA 四边形 AEA F 是菱形 AP PA 当 CD CA 时 AA AC CA 3 AP AA 当 A C A D 时 A CD A DC DAC 1 2 3 2 A CD DAC A C AA 8 AP AA 故答案为 或 A C AD DC AC 25 8 25 8 39 8 1 2 39 16 3 2 39 16 9 或 解析 如解图 当 ADC 90 时 ADC C 12 7 4 3 第 9 题解图 DC CB ADC ACB 又 AC 3 BC 4 设 CD C D x 则 AD 3 x AD DC 3 4 解得 x 经检验 x 是所列方程的解 CD 如解图 当 DC A 90 时 3 x x 3 4 12 7 12 7 12 7 DCB 90 第 9 题解图 由折叠可得 C DC E 90 C B 与 CE 重合 由 C AC D 90 A A 可得 ADC ABC 在 Rt ABC 中 AB 5 设 CD C D x 则 AD 3 x 解 AD C D AB CB 5 4 3 x x 5 4 得 x CD 综上所述 CD 的长为或 4 3 4 3 12 7 4 3 类型二 针对训练 1 4 或 解析 设 CH x 则 DH EH 9 x 当 BE EC 2 1 时 BC 9 CE BC 3 在 Rt 5 2 1 3 ECH 中 EH2 EC2 CH2 即 9 x 2 32 x2 解得 x 4 即 CH 4 当 BE EC 1 2 时 CE BC 6 在 2 3 Rt ECH 中 EH2 EC2 CH2 即 9 x 2 62 x2 解得 x 即 CH 故 CH 的长为 4 或 5 2 5 2 5 2 2 或 解析 如解图 过点 A 作 A M AD 于 M 交 BC 于 N 则四边形 ABNM 是矩形 47 7 415 5 AB MN 4 若点 A 到矩形较长两对边的距离之比为 1 3 A M 1 A N 3 或 A M 3 A N 1 当 A M 1 A N 3 时 在 Rt BA N 中 BN AM BN 42 3277 由 A EM BA N EM AE 当 A M 3 A N 1 EM A N A M BN EM 3 1 7 37 7 47 7 时 同理可得 AE 415 5 第 2 题解图 第 3 题解图 3 或 解析 如解图 连接 BD 过 D 作 MN AB 交 AB 于点 M CD 于点 N 作 D P BC 交 BC 于 5 2 5 3 点 P 点 D 的对应点 D 落在 ABC 的平分线上 MD PD 设 MD x 则 PD BM x AM AB BM 7 x 又由折叠图形可得 AD AD 5 x2 7 x 2 25 解得 x 3 或 4 即 MD 3 或 4 在 Rt END 中 设 ED a 当 MD 3 时 AM 7 3 4 D N 5 3 2 EN 4 a a2 22 4 a 2 解得 a 即 DE 当 MD 4 时 5 2 5 2 AM 7 4 3 D N 5 4 1 EN 3 a a2 12 3 a 2 解得 a 即 DE 综上所述 DE 的长 5 3 5 3 为 或 5 2 5 3 4 或 10 解析 分两种情况 如解图 当点 F 在矩形内部时 点 F 在 AB 的垂直平分线 MN 上 5 2 AN 4 AF AD 5 由勾股定理得 FN 3 FM 2 设 DE 为 x 则 EM 4 x FE x 在 EMF 中 由勾股定理 得 x2 4 x 2 22 x 即 DE 的长为 5 2 5 2 图 图 第 4 题解图 如解图 当点 F 在矩形外部时 同 的方法可得 FN 3 FM 8 设 DE 为 y 则 EM y 4 FE y 在 EMF 中 由勾股定理 得 y2 y 4 2 82 y 10 即 DE 的长为 10 综上所述 点 F 刚好落在线段 AB 的垂直平分线上时 DE 的长为 或 10 5 2 5 3 或 解析 点 A 落在矩形对角线 BD 上 如解图 在矩形 ABCD 中 9 2 AB 8 BC 6 ABC 90 AC BD AC BD 10 根据折叠的性质 得 62 82 PC BB PBD BCP BCP ABD 即 解得 BP 点 A 落在矩形对角 BP AD BC AB BP 6 6 8 9 2 线 AC 上 如解图 根据折叠的性质 得 BP B P B PB C 90 AB A 90 APB ACB 即 解得 BP 3 故答案为 3 或 B P BC AP AC BP 6 8 BP 10 9 2 图 图 第 5 题解图 6 2 或 5 解析 分两种情况 当点 B 在 AC 的下方时 如解图 D 是 BC 中点 S 5 BPD S PDC S PDF S BPD S PDF S PDC F 是 PC 的中点 DF 是 BPC 的中位线 1 2 1 2 DF BP BPD PDF 由折叠得 BPD B PD B PD PDF PB B D 即 PB BD 过 B 作 BE AC 于 E 在 Rt ABE 中 tan A 2 AB AE 1 BE 2 EC 5 1 4 由勾股定理 得 BE AE5 BC 2 D 为 BC 的中点 BD PB BD 在 Rt BPE 中 BE2 EC222 42555 PE 1 AP AE PE 1 1 2 图 图 第 6 题解图 当点 B 在 AC 的上方时 如解图 连接 B C 同理得 F 是 DC 的中点 F 是 PB 的中点 DF FC PF FB 四边形 DPCB 是平行四边形 PC B D BD AP 5 综上所述 55 AP 的长为 2 或 5 5 7 8 2或 8 2 解析 由折叠的性质得 EC D C 90 C E CE 点 33 B C D 在同一直线上 BC E 90 BC 12 BE 2CE BE 8 C E CE 4 在 Rt BC E 中 2 C BE 30 当点 C 在 BC 的上方时 如解图 过 E 作 EG AD 于 G 延长 BE C E EC 交 AD 于 H 则四边形 ABEG 是矩形 EG AB 6 AG BE 8 C BE 30 BC E 90 BEC 60 由折叠的性质得 C EF CEF 60 AD BC HFE CEF 60 EFH 是等边三角形 在 Rt EFG 中 EG 6 GF 2 AF 8 2 当点 C 在 BC 的下方时 33 如解图 过 F 作 FG AD 于 G D F 交 BE 于 H 同 可得 四边形 A