三角函数常用公式表

1 1 角 角 1 正角 负角 零角 逆时针方向旋转正角 顺时针方向旋转负角 不做任何旋转零角 2 与终边相同的角 连同角在内 都可以表示为集合 Zkk 360 3 象限的角 在直角坐标系内 顶点与原点重合 始边与 x 轴的非负半轴重合 角的终边落在第几象 限 就是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上 这个角不属于任何象限 2 2 弧度制 弧度制 1 定义 等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 用弧度做单位叫弧度制 2 度数与弧度数的换算 弧度 1 弧度 180 1857 180 3 弧长公式 是角的弧度数 rl 扇形面积 2 2 1 2 1 rlrS 3 3 三角函数 三角函数 1 定义 如图 2 各象限的符号 y r y x r x x r x y r y csccotcos sectansin 3 特殊角的三角函数值 的角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 的弧度 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 2 3 2 sin0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 01 0 cos1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 01 tan0 3 3 13 3 1 3 3 0 0 4 4 同角三角函数基本关系式 同角三角函数基本关系式 平方关系 商数关系 倒数关系 1cossin 22 cos sin tan 1cottan 22 sectan1 sin cos cot 1cscsin 22 csccot1 1seccos 4 同角三角函数的常见变形 活用 1 22 cos1sin 2 cos1sin 22 sin1cos 2 sin1cos 2sin 2 cossin sincos cottan 22 2cot2 2sin 2cos2 cossin sincos tancot 22 2sin1cossin21 cos sin 2 cossin 2sin1 sin x y O x y cos O tan x y O P x y r x 0 0 22 yxr y sec sin cos tan cot csc 1 5 5 诱导公式 诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 公式一 tan 360tan cos 360cos sin 360sin k k k 公式二 公式三 公式四 公式五 tan 180tan cos 180cos sin 180sin tan 180tan cos 180cos sin 180sin tan tan cos cos sin sin tan 360tan cos 360cos sin 360sin 补充 cot 2 tan sin 2 cos cos 2 sin cot 2 tan sin 2 cos cos 2 sin cot 2 3 tan sin 2 3 cos cos 2 3 sin cot 2 3 tan sin 2 3 cos cos 2 3 sin 6 6 两角和与差的正弦 余弦 正切 两角和与差的正弦 余弦 正切 两角和与差的三角函数公式两角和与差的三角函数公式万能公式万能公式 sin sincoscossin sin sincoscossin cos coscossinsin cos coscossinsin tantan tan 1tantan tantan tan 1tantan 2tan 2 sin 1tan2 2 1tan2 2 cos 1tan2 2 2tan 2 tan 1tan2 2 7 7 辅角公式辅角公式 x ba b x ba a baxbxacossincossin 2222 22 sin sincoscos sin 2222 xbaxxba 其中称为辅助角 的终边过点 多用于研究性质 ba a b tan 8 8 二倍角公式 二倍角公式 1 2 降次公式 多用于研究性质 2 S cossin22sin 2 C 22 sincos2cos 2sin 2 1 cossin 1cos2sin21 22 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 sin 2 2 T 2 tan1 tan2 2tan 2 1 2cos 2 1 2 2cos1 cos2 3 二倍角公式的常用变形 sin 22cos1 cos 22cos1 sin 2cos 2 1 2 1 cos 2cos 2 1 2 1 2 2sin 1cossin21cossin 2 2244 2cossincos 44 半角 2 cos1 2 sin 2 cos1 2 cos cos1 cos1 2 tan cos1 sin sin cos1 三角函数的和差化积公式三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式三角函数的积化和差公式 sinsin2sincos 22 sinsin2cossin 22 coscos2coscos 22 coscos2sinsin 22 1 sincossin sin 2 1 cossinsin sin 2 1 coscoscos cos 2 1 sinsincos cos 2 9 9 三角函数的图象性质 三角函数的图象性质 1 函数的周期性 定义 对于函数 f x 若存在一个非零常数 T 当 x 取定义域内的每一个值时 都有 f x T f x 那么函数 f x 叫周期函数 非零常数 T 叫这个函数的周期 如果函数 f x 的所有周期中存在一个最小的正数 这个最小的正数叫 f x 的最小正周期 2 函数的奇偶性 定义 对于函数 f x 的定义域内的任意一个 x 都有 f x f x 则称 f x 是奇函数 f x f x 则称 f x 是偶函数 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y 轴对称 奇函数 偶函数的定义域关于原点对称 3 正弦 余弦 正切函数的性质 Zk 函数定义域值域周期性奇偶性递增区间递减区间 xysin Rx 1 1 2 T奇函数 kk2 2 2 2 kk2 2 3 2 2 xycos Rx 1 1 2 T偶函数 kk2 12 12 2 kk xytan 2 kxx T奇函数 kk 2 2 图象的五个关键点 0 0 1 0 1 0 xysin 2 2 3 2 图象的五个关键点 0 1 0 1 0 1 xycos 2 2 3 2 0 1 1 x y 2 2 2 3 2 xysin o 2 2 2 3 2 3 x y xytan 的对称中心为 对称轴是直线 的周期 xysin 0 k 2 kx sin xAy 2 T 的对称中心为 对称轴是直线 的周期 xycos 0 2 k kx cos xAy 2 T 的对称中心为点 和点 的周期 xytan 0 k 0 2 k tan xAy T 4 函数的相关概念 0 0 sin AxAy 函数定义域值域振幅周期频率相位初相图象 sin xAy Rx A A A 2 T 2 1 T f x 五点法 的图象与的关系 sin xAyxysin 振幅变换 xysin xAysin 周期变换 xysin xy sin 相位变换 xysin sin xy 平移变换 xAy sin sin xAy 常叙述成 常叙述成 把上的所有点向左 时 或向右 时 平移 个单位得到xysin 0 0 sin xy 再把的所有点的横坐标缩短 或伸长 到原来的倍 纵坐标不 sin xy1 01 1 变 得到 再把的所有点的纵坐标伸长 或缩短 sin xy sin xy1 A 到原来的倍 横坐标不变 得到的图象 01 A A sin xAy 先平移后伸缩的叙述方向 先平移后伸缩的叙述方向 sin xAy 当 A时 图象上各点的纵坐标伸长到原来的 A 倍1 当A时 图象上各点的纵坐标缩短到原来的 A 01 倍当 时 图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍1 1 当时 图象上各点的纵坐标伸长到原来的 01 倍 1 当时 图象上的各点向左平移个单位倍0 当时 图象上的各点向右平移个单位倍0 当时 图象上的各点向左平移个单位倍0 当时 图象上的各点向右平移个单位倍0 0 1 1 x y 2 2 2 3 2 xycos 先平移后伸缩的叙述方向 先平移后伸缩的叙述方向 sin sin xAxAy 1010 三角函数求值域 三角函数求值域 1 一次函数型 例 BxAy sin5 12 3sin 2 xyxxycossin 用辅助角公式化为 例 xbxaycossin sin 22 xbaxxycos3sin4 2 二次函数型 二倍角公式的应用 xxy2cossin 代数代换 xxxxycossincossin 第五章 平面向量第五章 平面向量 1 1 空间向量 空间向量 1 定义 既有大小又有方向的量叫做向量 向量都可用同一平面内的有向线段表示 2 零向量 长度为 0 的向量叫零向量 记作 零向量的方向是任意的 0 3 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量 与向量平行的单位向量 a a a e 4 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量 记作 规定与任何向量平ba 0 行 5 相等向量 长度相同且方向相同的向量叫相等向量 零向量与零向量相等 任意两个相等的非零向量 都可以用同一条有向线段来表示 并且与有向线段的起点无关 2 2 向量的运算 向量的运算 1 向量的加减法 2 实数与向量的积 定义 实数与向量的积是一个向量 记作 aa 它的长度 aa 它的方向 当 与向量的方向相同 当 与向量的方向相反 当时 0 a a0 a a0 a 0 3 3 平面向量基本定理 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线的向量 那么对平面内的任一向量 有且 21 e ea 只有一对实数 使 21 2211 eea b a a ba b ba ba b a 三角形法则平行四边形法则 向量的加法向量的加法 首位连结 ba b a b a 指向被减数 向量的减法向量的减法 不共线的向量叫这个平面内所有向量的一组基向量 叫基底 21 e e 21 e e 4 4 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 运算性质 aaacbacbaabba 00 坐标运算 设 则 2211 yxbyxa 2121 yyxxba 设 A B 两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 1212 yyxxAB 3 实数与向量的积的运算律 设 则 yxa yxyxa 4 平面向量的数量积 定义 00 1800 0 0cos bababa00 a 平面向量的数量积的几何意义 向量的长度 与在的方向上的投影 的乘积 aabab cos 坐标运算 设 则 2211 yxbyxa 2121 yyxxba 向量的模 模 aaaaa 2 22 yx a 22 yx 设是向量的夹角 则 2211 yxbyxa 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 cos yxyx yyxx a b0 ba 5 5 重要结论 重要结论 1 两个向量平行的充要条件 baba R 设 则 2211 yxbyxa ba 0 1221 yxyx 2 两个非零向量垂直的