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. . . . .阶段检测试题(二)(时间:120分钟满分:150分)【选题明细表】知识点、方法题号三角函数的化简、求值1,7三角函数的图象与性质2,8,11,15解三角形5,13平面向量的线性运算4平面向量基本定理及应用9平面向量的数量积运算3,6,10,12,14,16综合应用问题17,18,19,20,21,22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.sin 15cos 15等于(A)(A)14(B)34(C)12(D)32解析:sin 15cos 15=12sin 30=14.2.(2016四川广元三模)下面四个函数中,以为最小正周期,且在区间(2,)上为减函数的是(B)(A)y=cos2x(B)y=2|sin x|(C)y=(13)cos x(D)y=tan x解析:y=cos2x=1+cos2x2在(2,)上为增函数,排除A;由以为最小正周期,排除C;由y=tan x在(2,)上为增函数,排除D;由图象知y=2|sin x|在(2,)上为减函数,故选B.3.(2016湖南怀化二模)已知平面向量a=(2,0),b=(-4,0),则向量b在向量a方向上的投影为(B)(A)4(B)-4(C)14(D)-14解析:设a与b的夹角为,因为a=(2,0),b=(-4,0),所以=,且|b|=4,所以向量b在向量a方向上的投影为|b|cos =4cos =-4.故选B.4.(2016山东潍坊一模)在ABC中,P,Q分别是AB,BC的三等分点,且AP=13AB,BQ=13BC,若AB=a,AC=b,则PQ等于(A)(A)13a+13b(B)-13a+13b(C)13a-13b(D)-13a-13b解析:BC=AC-AB=b-a.因为AP=13AB,BQ=13BC,所以PB=23AB=23a,BQ=13BC=13b-13a.所以PQ=PB+BQ=13a+13b.故选A.5.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=3,a=3,b=1,则c等于(B)(A)1(B)2(C)3-1(D)3解析:由a2=b2+c2-2bccos A得3=1+c2-2c1cos 3=1+c2-c,所以c2-c-2=0,所以c=2或-1(舍去).6.(2016广东梅州二模)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量a+b与a-2b垂直,则实数的值为(A)(A)-17(B)17(C)-16(D)16解析:因为a=(-3,2),b=(-1,0),向量a+b与a-2b垂直,所以(a+b)(a-2b)=0,即(-3-1,2)(-1,2)=0,所以3+1+4=0,所以=-17.故选A.7.(2016广西桂林、北海、崇左一模)已知tan =2(0,),则cos(52+2)等于(D)(A)35(B)45(C)-35(D)-45解析:因为tan =2,(0,),则cos(52+2)=cos(2+2)=-sin 2=-2sin cos =-2sincossin2+cos2=-2tantan2+1=-44+1=-45,故选D.8.(2016湖南郴州一模)函数f(x)=sin(x+3)(0)相邻两个对称中心的距离为2,以下哪个区间是函数f(x)的单调增区间(A)(A)-3,0(B)0,3(C)12,2(D)2,56解析:因为函数f(x)=sin(x+3)(0)相邻两个对称中心的距离为2,所以122=2,解得=2,所以f(x)=sin(2x+3).令-2+2k2x+32+2k,kZ,可得-512+kx12+k,kZ.当k=0时,x-512,12,且-3,0-512,12,所以区间-3,0是函数f(x)的单调增区间.故选A.9.导学号 49612144在ABC中,点D满足AD=34AB,P为ABC内一点,且满足AP=310AB+25AC,则SAPDSABC等于(A)(A)310(B)920(C)635(D)935解析:如图,作AE=310AB,AF=25AC,以AE,AF为邻边作平行四边形AEPF,因为E在AB上,AE=310AB,PE=25AC,且PEAC,所以SAPE=31025SABC=650SABC.又AE=310AB,AD=34AB,所以ED=920AB,又PE=25AC,PEAC,所以SPDE=92025SABC=950SABC,所以SAPD=(650+950)SABC=310SABC,所以SAPDSABC=310.故选A.10.如图,在等腰三角形ABC中,底边BC=2,AD=DC,AE=12EB,若BDAC=-12,则CEAB等于(A) (A)-43(B)43(C)-32(D)32解析:AD=DCD是AC的中点BD=12(BA+BC),BDAC=-1212(BA+BC)(BC-BA)=-12,BC2-BA2=-1BA2=5|BA|=5,cosABC=15,CEAB=(BE-BC)AB=(23BA-BC)(-BA)=BCBA-23BA2=2515-235=2-103=-43.11.(2016江西上饶一模)设函数f(x)=sin(2x+3),则下列结论正确的是(A)f(x)的图象关于直线x=3对称f(x)的图象关于点(4,0)对称f(x)的图象向左平移12个单位,得到一个偶函数的图象f(x)的最小正周期为,且在0,6上为增函数(A)(B)(C)(D)解析:因为23+3=,x=3不是正弦函数的对称轴,故错误;因为24+3=56,(4,0)不是正弦函数的对称中心,故错误;f(x)的图象向左平移12个单位,得到y=sin2(x+12)+3=sin(2x+2)=cos 2x的图象,y=cos 2x为偶函数,故正确;由x0,6,得2x+33,23,因为3,23不是正弦函数的单调递增区间,故错误;故选A.12.如图,边长为1的正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴,y轴正半轴上移动,则OBOC的最大值是(A) (A)2(B)1+2(C)(D)4解析:令OAD=,由于AD=1,故OA=cos ,OD=sin ,BAx=2-,AB=1,故xB=cos +cos(2-)=cos +sin ,yB=sin(2-)=cos ,故OB=(cos +sin ,cos ),同理可求得C(sin ,cos +sin ),即OC=(sin ,cos +sin ),所以OBOC=(cos +sin ,cos )(sin ,cos +sin )=1+sin 2,OBOC=1+sin 2的最大值是2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2016山东菏泽一模)a,b,c分别是ABC角A,B,C的对边,ABC的面积为3,且b=2,sin C=12,则c=.解析:因为S=12absin C,所以3=122a12,所以a=23.由sin C=12得cos C=32.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=12+4-2232(32)=4或28.即c=2或27.答案:2或2714.(2016江西南昌一模)已知向量a=(1,3),向量a,c的夹角是3,ac=2,则|c|等于.解析:|a|=12+(3)2=2,ac=|a|c|cos 3=2,即2|c|12=2,所以|c|=2.答案:215.函数f(x)=Asin(x+)(A,为常数,A0,0,0)的图象如图所示,则A=,=,f(3)=.解析:由题图可得A=2,34T=1112-6=34,所以T=2,所以=2,由五点作图相对应可知,26+=2,所以=6,所以f(x)=2sin(2x+6),f(3)=2sin(23+6)=1.答案:22116.(2015辽宁沈阳高三一模)已知a,b是单位向量,ab=0,若向量c满足|c-2a-2b|=1,则|c|的取值范围是.解析:依题意设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则c-2a-2b=(x-2,y-2),又|c-2a-2b|=1,所以(x-2)2+(y-2)2=1,所以向量c的终点在以(2,2)为圆心,半径为1的单位圆上,又圆心到原点的距离为22,所以|c|的最大值为22+1,最小值为22-1,所以|c|的取值范围是22-1,22+1.答案:22-1,22+1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)(2015江西一模)在平面直角坐标系xOy中,角的终边经过点P(3,4).(1)求sin(+4)的值;(2)若P关于x轴的对称点为Q,求OPOQ的值.解:(1)因为角的终边经过点P(3,4),所以sin =45,cos =35,所以sin(+4)=sin cos 4+cos sin 4=4522+3522=7102.(2)因为P(3,4)关于x轴的对称点为Q,所以Q(3,-4).所以OP=(3,4),OQ=(3,-4),所以OPOQ=33+4(-4)=-7.18.(本小题满分12分)(2016陕西西安三模)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b=acos C+3bsin (B+C).(1)若cb=3,求角A;(2)在(1)的条件下,若ABC的面积为3,求a的值.解:(1)在ABC中,过B作BDAC,则b=AD+CD=acos C+ccos A.因为b=acos C+3bsin (B+C)=acos C+3bsin A,所以3bsin A=ccos A,所以cb=3tan A=3,所以tan A=33,A=6.(2)因为SABC=12bcsin A=14bc=3,所以bc=43,因为c=3b,所以b=2,c=23.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=4+12-12=4.所以a=2.19.(本小题满分12分)导学号 49612145已知向量a=(2,sin )与b=(1,cos )互相平行,其中(0,2).(1)求sin 和cos 的值;(2)若sin(-)=1010,02,求cos 的值.解:(1)因为向量a=(2,sin )与b=(1,cos )互相平行,所以sin =2cos ,由sin2+cos2=1,又(0,2),则sin =255,cos =55.(2)因为sin(-)=1010,02,(0,2),则-2-0)的最小正周期为4.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足(2a-c)cos B=bcos C,求函数f(A)的取值范围.解:(1)f(x)=3sin xcos x+cos2x-12=sin(2x+6),因为T=22=4,所以=14,所以f(x)=sin(12x+6),所以f(x)的单调递增区间为4k-43,4k+23(kZ).(2)因为(2a-c)cos B=bcos C,所以2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,所以cos B=12,所以B=3.因为f(A)=sin(12A+6),0A23,所以6A2+62,所以f(A)(12,1).21.(本小题满分12分)(2016广西桂林、北海、崇左一模)在ABC中,内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c,且满足c(acos B-12b)=a2-b2.(1)求角A;(2)求sin B+sin C的最大值.解:(1)因为c(acos B-12b)=a2-b2.所以由余弦定理可得a2+c2-b2-bc=2a2-2b2,可得a2=c2+b2-bc,所以cos A=b2+c2-a22bc=12,因为A(0,),所以A=3.(2)sin B+sin C=sin B+sin (A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B=32sin B+32cos B=3sin(B+6),因为B(0,23),所以B+6(6,56),sin(B+6)(12,1,所以sin B+sin C的最大值为3.22.(本小题满分12分)(2016河南焦作一模)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,ccos B-(2a-b)cos C=0(1)求角C的大小;(2)设函数f(x)=sin x2cos x2+cos2 x2,当f(B)=2+12时,若a=6+2,求b的值.解:(1)因为在ABC中ccos B-(2a-b)cos C=0,所以ccos B-2acos C+bcos C=0,由正弦定理可得sin Ccos B-2sin Acos C+sin Bcos C=0,所以2sin Acos C=sin Ccos B+sin Bcos C=sin (B+C)=sin A,约掉sin A可得cos C=12,所以角C=3.(2)f(x)=sin x2cos x2+cos2 x2=12sin x+12cos x+12=22sin(x+4)+12,所以f(B)=22sin(B+4)+12=2+12,所以sin(B+4)=1,结合B的范围可得B=4,由正弦定理可得b=asinBsinA=asinBsin(B+C)=(6+2)222212+2232=22.1. 若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2. 若不是心宽似海，哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世