全等三角形动点问题

1 A B C D E F 全等三角形动点问题全等三角形动点问题 一 一 知识回顾 知识回顾 动态几何题 是指以几何知识和几何图形为背景 渗透运动变化观点的一类试题 而通过对几何图形运动变化 使同学们经历由观察 想象 推理等发现 探索的过程 是 中考数学试题中 考查创新意识 创新能力的重要题型 解决这类问题 要善于探索图形 的运动特点和规律 抓住变化中图形的性质与特征 化动为静 以静制动 热身练习 热身练习 1 如图 在等腰 ACB 中 AC BC 5 AB 8 D 为底边 AB 上一动点 不与点 A B 重合 DE AC DF BC 垂足分别为 E F 则 DE DF 2 例题辨析 例题辨析 例 1 如图 在等腰 Rt ABC 中 ACB 90 AC CB AC 8 F 是 AB 边上的中点 点 D E 分别在 AC BC 边上运动 且始终保持 AD CE 连接 DE DF EF 1 求证 ADF CEF 2 试证明 DFE 是等腰直角三角形 3 在此运动变化的过程中 四边形 CDFE 的面积是否保持不变 试 说明理由 4 求 CDE 面积的最大值 例 2 如图 ABC 的边 BC 在直线 上 AC BC 且 AC BC EFP 的边 FP 也在直线 上 边 EF 与边 AC 重合 且 EF FP 2 1 在图 1 中 请你通过观察 测量 猜想并写出 AB 与 AP 所满足的 数量关系和位置关系 2 将 EFP 沿直线 向左平移到图 2 的位置时 EP 交 AC 于点 Q 连 结 AP BQ 猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系 请证 明你的猜想 练习 1 如图 在等腰 Rt ABC 中 C 90 AC 8 F 是 AB 边上的中点 点 D E 分 别在 AC BC 边上运动 且保持 AD CE 连接 DE DF EF 在此运动变化的过程中 下列 结论 DFE 是等腰直角三角形 DE 长度的最小值为 4 四边形 CDFE 的面积保持不 变 CDE 面积的最大值为 8 其中正确的结论是 A B C D 2 2011 湖北随州 18 7 分 在等腰三角形 ABC 中 ABC 90 D 为 AC 边上中点 过 D 点作 DE DF 交 AB 于 E 交 BC 于 F 若 AE 4 FC 3 求 EF 长 3 例 2 在中 交的延长线于点 一等腰直角三角尺按如ABC ABAC CGBA BAG 图 1 所示的位置摆放 该三角尺的直角顶点为 一条直角边与边在一条直线上 另FAC 一条直角边恰好经过点 B 1 在图 1 中请你通过观察 测量与的长度 猜想并写出与满足的数量关BFCGBFCG 系 然后证明你的猜想 2 当三角尺沿方向平移到图2 所示的位置时 一条直角边仍与边在同一直线上 ACAC 另一条直角边交边于点 过点作于点 此时请你通过观察 测量 BCDDDEBA EDE 与的长度 猜想并写出与之间满足的数量关系 然后证明你的猜想 DFCGDEDF CG 3 当三角尺在 的基础上沿方向继续平移到图 3 所示的位置 点在线段上 ACFAC 且点与点不重合 时 中的猜想是否仍然成立 不用说明理由 FC A B C FG 图1 A BC E F G 图2 D A B C D E F G 图3 例 3 如图 在等边 ABC 中 AB 9cm 点 P 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 点以 2cm s 的速 度移动 点 Q 点从 B 点出发沿 BA 边向 A 点以 5cm s 速度移动 P Q 两点同时出发 它们 移动的时间为 t 秒钟 1 你能用 t 表示 BP 和 BQ 的长度吗 请你表示出来 2 请问几秒钟后 PBQ 为等边三角形 3 若 P Q 两点分别从 C B 两点同时出发 并且都按顺时针方向沿 ABC 三边运动 请问经过几秒钟后点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇 4 三 三 归纳总结 归纳总结 动点一般在中考都是压轴题 步骤不重要 重要的是思路 动点类题目一般都有好几问 前一问大都是后一问的提示 就像几何探究类题一样 如果后面的题难了 可以反过去看 看前面问题的结论 四 四 拓展延伸 拓展延伸 例 1 在 Rt ABC 中 AC BC C 90 D 为 AB 边的中点 EDF 90 EDF 绕 D 点 旋转 它的两边分别交 AC CB 或它们的延长线 于 E F 1 当 EDF 绕 D 点旋转到 DE AC 于 E 时 如图 1 易证 1 2 DEFCEFABC SSS 2 当 EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结论是 否成立 若成立 请给予证明 若不成立 S DEF S CEF S ABC又有怎样的数量关系 请 写出你的猜想 不需证明 例 2 2014 德州 第 23 题 10 分 问题背景 如图 1 在四边形 ABC 中 AB AD BAD 120 B ADC 90 E F 分别是 BC CD 上 的点 且 EAF 60 探究图中线段 BE EF FD 之间的数量关系 小王同学探究此问题的方法是 延长 FD 到点 G 使 DG BE 连结 AG 先证明 ABE ADG 再证明 AEF AGF 可得出结论 他的结论应是 EF BE DF 5 探索延伸 如图 2 若在四边形 ABCD 中 AB AD B D 180 E F 分别是 BC CD 上的点 且 EAF BAD 上述结论是否仍然成立 并说明理由 实际应用 如图 3 在某次军事演习中 舰艇甲在指挥中心 O 处 北偏西 30 的 A 处 舰艇乙在指挥 中心南偏东 70 的 B 处 并且两舰艇到指挥中心的距离相等 接到行动指令后 舰艇甲向 正东方向以 60 海里 小时的速度前进 舰艇乙沿北偏东 50 的方向以 80 海里 小时的速度前 进 1 5 小时后 指挥中心观测到甲 乙两舰艇分别到达 E F 处 且两舰艇之间的夹角为 70 试求此时两舰艇之间的距离 例 3 如图 1 一等腰直角三角尺 GEF EGF 90 GEF GFE 45 GE GF 的两条直 角边与正方形 ABCD 的两条边分别重合在一起 现正方形 ABCD 保持不动 将三角尺 GEF 绕 斜边 EF 的中点 O 点 O 也是 BD 中点 按顺时针方向旋转 1 如图 2 当 EF 与 AB 相交于点 M GF 与 BD 相交于点 N 时 通过观察或测量 BM FN 的长度 猜想 FN BM 相等吗 并说明理由 2 若三角尺 GEF 旋转到如图 3 所示的位置时 线段 FE 的延长线与 AB 的延长线相交 于点 M 线段 BD 的延长线与 GF 的延长线相交于点 N 此时 1 中的猜想还成立吗 请 说明理由 6 例 4 在平面内 旋转变换是指某一图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一定的角度而 得到新位置图形的一种变换 活动一 如图 1 在 Rt ABC 中 D 为斜边 AB 上的一点 AD 2 BD 1 且四边形 DECF 是正方形 求阴影部分的面积 小明运用图形旋转的方法 将 DBF 绕点 D 逆时针旋转 90 得到 DGE 如图 2 所示 一眼就看出这题的答案 请你写出阴影部分的面积 活动二 如图 3 在四边形 ABCD 中 AB AD BAD C 90 BC 5 CD 3 过点 A 作 AE BC 垂足为点 E 求 AE 的长 小明仍运用图形旋转的方法 将 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 得到 ADG 如图 4 所 示 则 四边形 AECG 是怎样的特殊四边形 答 AE 的长是 活动三 如图 5 在四边形 ABCD 中 AB AD CD AD 将 BC 按逆时针方向绕点 B 旋 转 90 得到线段 BE 连接 AE 若 AB 2 DC 4 求 ABE 的面积 例 5 已知 在中 为锐角 是射线上一动点 与不重合 以ABC ACB DBCDC 为一边向右侧作等边 与不重合 连接 ADADE CECE 若为等边三角形 当点在线段上时 如图 1 所示 则直线与ABC DBCBD 直线所夹锐角为 度 CE 若为等边三角形 当点在线段的延长线上时 如图 2 所示 你在ABC DBC 中得到的结论是否仍然成立 请说明理由 若不是等边三角形 且 如图 3 所示 试探究当点在线段ABC BCAC D 7 上时 你在 中得到的结论是否仍然成立 若成立 请说明理由 若不成BC 立 请指出当满足什么条件时 能使 中的结论成立 并说明理由 ACB 1 F E DCB A 2 BCDF A E 3 BCF A 问题 1 中结论不成立 当 ACB 60 时 能使直线 BD 与直线 CE 所夹锐角为 60 证明 当 CD AC 时 在 CB 上截取一点 G 使得 CG CA 连接 AG 如图所示 ACB 60 GAC 是等边三角形 AC AG AGC GAC 60 ADE 是等边三角形 AE AD DAE 60 DAE CAD GAC CAD 从而 CAE GAD ACE AGD SAS ACE AGD 60 ECF 180 ACB ACE 60 此时直线 BC 与直线 CE 所夹锐角为 60 当 CD AC 时 点 C 与点 E 重合 不符合题意 当 CD AC 时 延长 EC 到 H 在 CB 上截取一点 G 使得 CG CA 连接 AG 如图所示 同 1 可证 ACE AGD ACE AGD 180 AGC 120 HCF DCE 120 ACB 60 此时直线 BC 与直线 CE 所夹锐角为 60 点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质 根据已知进行分类讨论当 CD AC 时 当 CD AC 时 当 CD AC 时得出答案是解题关键 例 6 在等边的两边 所在直线上分别有两点为外一点 且ABC ABACMND ABC 探究 当点分别爱直线上移动60MDN 120BDC BDCD MN AB AC 时 之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系 BMBN MN AMN QABC L 8 M N D CB A M N D C B A N M D C B A 如图 当点在边上 且时 之间的MN AB AC DMDN BMNC MN 数量关系式 此时 Q L 如图 当点在边上 且时 猜想 1 问的两个结论MN AB AC DMDN 还成立吗 写出你的猜想并加以证明 如图 当点分别在边的延长线上时 若 则MN AB CA ANx 用表示 Q x L 5 5 课后作业 课后作业 1 如图 在等边的顶点 A C 处各有一只蜗牛 它们同时出发 分别以每分钟 1 各ABC 单位的速度油 A 向 B 和由 C 向 A 爬行 其中一只蜗牛爬到终点时 另一只也停止运动 经 过 t 分钟后 它们分别爬行到 D E 处 请问 1 在爬行过程中 CD 和 BE 始终相等吗 2 若蜗牛沿着 AB 和 CA 的延长线爬行 EB 与 CD 交于点 Q 其他条件不变 如图 2 所示 蜗牛爬行过程中 的大小条件不变 求证 CQE 60CQE 9 3 如果将原题中 由 C 向 A 爬行 改为 沿着 BC 的延长线爬行 连接 DE 交 AC 于 F 其他条件不变 则爬行过程中 DF 始终等于 EF 是否正确 2 如图 1 ABC 为等边三角形 动点 D 在边 CA 上 动点 P 边 BC 上 若这两点分别从 C B 点同时出发 以相同的速度由 C 向 A 和由 B 向 C 运动 连接 AP BD 交于点 Q 两点 运动过程中 AP BD 成立吗 请证明你的结论 2 如果把原题中 动点 D 在边 CA 上 动点 P 边 BC 上 改为 动点 D P 在射线 CA 和射 线 BC 上运动 其他条件不变 如图 2 所示 两点运动过程中 BQP 的大小保持不 变 请你利用图 2 的情形 求证 BQP 60 3 如果把原题中 动点 P 在边 BC 上 改为 动点 P 在 AB 的延长线上运动 连接 PD 交 BC 于 E 其他条件不变 如图 3 则动点 D P 在运动过程中 DE 始终等于 PE 吗 写出 证明过程 图 1 图2 图 3 10 3 如图如图 点 点A E F C在一条直线上 在一条直线上 AE CF 过点 过点E F 分别作分别作DE AC BF AC 连接 连接B D交交AC于点于点G 若 若 AB CD 1 试说明 试说明BD平分平分EF 2 若将 若将 DEC的边的边EC沿沿AC方向移动到如图方向移动到如图 所示位置时 其所示位置时 其 余条件不变 上述结论是否成立 试说明理由 余条件不变 上述结论是否成立 试说明理由 4 如图 1 中 垂足为 D AF 平 分 交于点 E 交 CB 于点 F 11 1 求