高中数学所有公式(非常有用)

精品文档 1欢迎下载 高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论 1 元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B 3 包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 集合的子集个数共有 个 真子集有 1 个 12 n a aa 2n2n 非空子集有 1 个 非空的真子集有 2 个 2n2n 5 二次函数的解析式的三种形式 1 一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶点式 2 0 f xa xhk a 3 零点式 12 0 f xa xxxxa 6 闭区间上的二次函数的最值最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处 0 2 acbxaxxf qp a b x 2 及区间的两端点处取得 具体如下 1 当 a 0 时 若 则 qp a b x 2 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a 若 qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 当 a 0 时 若 则 qp a b x 2 min min f xf pf q 若 则 qp a b x 2 max max f xf pf q min min f xf pf q 7 定区间上含参数含参数的二次不等式恒成立恒成立的条件依据 1 在给定区间上含参数的二次不等式 为参数 恒成立 0f x t t 的充要条件是 min 0 f x txL 2 在给定区间上含参数的二次不等式 为参数 恒成立 0f x t t 精品文档 2欢迎下载 的充要条件是 0 man f x txL 3 恒成立的充要条件是或 0 24 cbxaxxf 0 0 0 a b c 2 0 40 a bac 8 四种命题的相互关系 原命题 互逆 逆命题 若 则 若 则 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非 则非 互逆 若非 则非 9 充要条件 1 充分条件 若 则 是 充分条件 pq pq 2 必要条件 若 则 是 必要条件 qp pq 3 充要条件 若 且 则 是 充要条件 pq qp pq 注 如果甲是乙的充分条件 则乙是甲的必要条件 反之亦然 10 函数的单调性单调性 1 设那么 2121 xxbaxx 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是减函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 2 设函数在某个区间内可导 如果 则为增函数 xfy 0 x f xf 如果 则为减函数 0 x f xf 11 奇偶奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y 轴对称 反过来 精品文档 3欢迎下载 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 如果一 个函数的图象关于 y 轴对称 那么这个函数是偶函数 12 对于函数 恒成立 则函数的对称轴 xfy Rx xbfaxf xf 是函数 两个函数与 的图象关于直线 2 ba x axfy xbfy 对称 2 ba x 13 两个函数图象的对称性函数图象的对称性 1 函数与函数的图象关于直线 即 轴 对称 yf x yfx 0 x y 2 函数与函数的图象关于直线对称 yf mxa yf bmx 2 ab x m 3 函数和的图象关于直线 y x 对称 xfy 1 xfy 14 若将函数的图象右移 上移 个单位 得到函数 xfy ab 的图象 若将曲线的图象右移 上移 个单位 baxfy 0 yxfab 得到曲线的图象 0 byaxf 15 几个常见的函数方程 1 正比例函数 f xcx 1 f xyf xf yfc 2 指数函数 x f xa 1 0f xyf x f yfa 3 对数函数 logaf xx 1 0 1 f xyf xf yf aaa 4 幂函数 f xx 1 f xyf x f yf 16 有理指数幂的运算性质 1 0 rsr s aaaar sQ 2 0 rsrs aaar sQ 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 若 a 0 p 是一个无理数 则 ap表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性 质 对于无理数指数幂都适用 17 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 18 对数的换底公式 精品文档 4欢迎下载 且 且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论 且 且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 19 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 3 loglog n aa MnM nR 20 等差等差数列的通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前 n 项和公式为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 21 等比等比数列的通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前 n 项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 22 常见三角不等式 1 若 则 0 2 x sintanxxx 2 若 则 0 2 x 1sincos2xx 3 sin cos 1xx 23 同角三角函数的基本关系式 精品文档 5欢迎下载 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 24 正弦 余弦的诱导公式诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 25 和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin tantan tan 1tantan 辅助角 所在象限由点的象限决定 sincosab 22 sin ab a b tan b a 26 二倍角公式二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 27 三角函数的周期周期公式 函数 x R 及函数 x R A 为常数 sin yx cos yx 且 A 0 0 的周期 2 T 函数 A 为常数 且 A 0 0 tan yx 2 xkkZ 的周期 T 28 正弦定理正弦定理 R 是外接圆的半径 2 sinsinsin abc R ABC 29 余弦定理余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 精品文档 6欢迎下载 30 面积定理面积定理 1 分别表示 a b c 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 31 三角形内角和定理 在 ABC 中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 32 向量的数量积的运算律 1 a a b b b b a a 交换律 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 a a b b c c a a c c b b c c 33 平面向量基本定理 如果 e e1 1 e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平 面内的任一向量 有且只有一对实数 1 2 使得 a a 1e e1 2e e2 不共线的向量 e e1 e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底 34 a a与 b b 的数量积数量积 或内积 a a b b a a b b cos 数量积 a a b b 等于 a a 的长度 a a 与 b b 在 a a 的方 向上的投影 b b cos 的乘积 35 平面向量的坐标运算 1 设 a a b b 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 2 设 a a b b 则 a b a b 11 x y 22 xy 1212 xxyy 3 设 A B 则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 设 a a 则 a a x yR xy 5 设 a a b b 则 a a b b 11 x y 22 xy 1212 x xy y 精品文档 7欢迎下载 36 两向量的夹角公式公式 a a b b 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy 11 x y 22 xy 37 平面两点间的距离公式两点间的距离公式 A B d ABAB AB A B 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 38 向量的平行与垂直平行与垂直 设 a a b b 且 b b 0 0 则 11 x y 22 xy a a b bb b a a 1221 0 x yx y a a b ab a 0 0 a a b b 0 1212 0 x xy y 39 线段的定比分点公式定比分点公式 设 是线段的分点 是实数 且 则 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 12 PPPP 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 40 三角形的重心重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为 则 ABC 11 A x y 22 B x y 33 C x y 的重心的坐标是 123123 33 xxxyyy G 为的重心 OABC 0OAOBOC 41 点的平移公式 xxhxxh yykyyk OPOPPP 注 图形 F 上的任意一点 P x y 在平移后图形上的对应点为 F 且的坐标为 P x y PP h k 精品文档 8欢迎下载 42 按向量平移 的几个结论 1 点按向量 a a 平移后得到点 P x y h k P xh yk 2 函数的图象 按向量 a a 平移后得到图象 则的 yf x C h k C C 函数解析式为 yf xhk 3 图象按向量 a a 平移后得到图象 若 的解析式 C h kCC yf x 则的函数解析式为 C yf xhk 4 曲线 按向量 a a 平移后得到图象 则的方程C 0f x y h k C C 为 0f xh yk 5 向量 m m 按向量 a a 平移后得到的向量仍然为 m m x y h k x y 43 常用不等式 1 当且仅当 a b 时取 号 a bR 22 2abab 2 当且仅当 a b 时取 号 a bR 2 ab ab 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 柯西不等式 22222 abcdacbda b c dR 5 bababa 44 最值定理 积定和最小积定和最小 已知都是正数 则有yx 1 若积是定值 则当时和有最小值 xypyx yx p2 2 若和是定值 则当时积有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 推广 已知 则有Ryx xyyxyx2 22 1 若积是定值 则当最大时 最大 xy yx yx 当最小时 最小 yx yx 2 若和是定值 则当最大时 最小 yx yx xy 当最小时 最大 yx xy 45 指数不等式与对数不等式 1 当时 1a f xg x aaf xg x 精品文档 9欢迎下载 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 2 当时 01a f xg x aaf xg x 0 log log 0 aa f x f xg xg x f xg x 46 斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 47 直线的五种方程 1 点斜式 直线 过点 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 斜截式 b 为直线 在 y 轴上的截距 ykxb l 3 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 12 xx 4 截距式 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 0ab 5 一般式 其中 A B 不同时为 0 0AxByC 48 两条直线的平行和垂直 若 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1212 1llk k 49 到 的倒角公式倒角公式 1 l 2 l 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 50 两种常用直线系方程 1 平行直线系方程 与直线平行的直线系方程是0AxByC 精品文档 10欢迎下载 是参变量 0AxBy 0 2 垂直直线系方程 与直线 A 0 B 0 垂直的直0AxByC 线系方程是 是参变量 0BxAy 51 点到直线的距离点到直线的距离 点 直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 52 或所表示的平面区域0AxByC 0 设直线 则或所表示的平面区域是 0l AxByC 0AxByC 0 1 若 当 与同号时 表示直线 的上方的区域 当0B BAxByC l 与异号时 表示直线 的下方的区域 简言之 同号在上 异BAxByC l 号在下 2 若 当 与同号时 表示直线 的右方的区域 当0B AAxByC l 与异号时 表示直线 的左方的区域 简言之 同号在右 异AAxByC l 号在左 53 圆的四种方程 1 圆的标准方程 222 xaybr 2 圆的一般方程 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 圆的参数方程圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 圆的直径式方程 圆的直径的端点 1212 0 xxxxyyyy 是 11 A x y 22 B xy 54 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 0 交交rd 0 交交rd 0 交交rd 其中 22 BA CBbAa d 精品文档 11欢迎下载 55 椭圆椭圆的参数方程是 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 椭圆焦半径公式 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 c a xePF 2 2 x c a ePF 椭圆的的内外部 1 点在椭圆的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在椭圆的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 56 双曲线双曲线的焦半径公式 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 1 a PFe x c 2 2 a PFex c 双曲线的内外部 1 点在双曲线的内部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 点在双曲线的外部 00 P xy 22 22 1 0 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 若双曲线方程为渐近线方程渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 若渐近线方程为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 若双曲线与有公共渐近线 可设为 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 0 57 抛物线抛物线的焦半径公式pxy2 2 抛物线焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 精品文档 12欢迎下载 过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 58 直线与圆锥曲线相交的弦长公式弦长公式 2222 211212 1 1tan 1tABkxxxxyyco 弦端点 A 由方程 消去 y 得到 2211 yxByx 0 y x F bkxy 0 2 cbxax 为直线的倾斜角 为直线的斜率 0 ABk 59 证明直线与直线的平行直线与直线的平行的思考途径 1 转化为判定共面二直线无交点 2 转化为二直线同与第三条直线平行 3 转化为线面平行 4 转化为线面垂直 5 转化为面面平行 证明直线与平面的平行直线与平面的平行的思考途径 1 转化为直线与平面无公共点 2 转化为线线平行 3 转化为面面平行 证明平面与平面平行平面与平面平行的思考途径 1 转化为判定二平面无公共点 2 转化为线面平行 3 转化为线面垂直 证明直线与直线的垂直直线与直线的垂直的思考途径 1 转化为相交垂直 2 转化为线面垂直 3 转化为线与另一线的射影垂直 4 转化为线与形成射影的斜线垂直 证明直线与平面垂直直线与平面垂直的思考途径 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 精品文档 13欢迎下载 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 5 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 证明平面与平面的垂直平面与平面的垂直的思考途径 1 转化为判断二面角是直二面角 2 转化为线面垂直 60 平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和 等于以这三个向 量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量 61 共线共线向量定理 对空间任意两个向量 a a b b b b 0 0 a a b b存在实数 使 a a b b 三点共线三点共线 PAB APAB APtAB 1 OPt OAtOB 共线且不共线且不共线 AB CD AB CD ABCD ABtCD ABCD 62 共面共面向量定理 向量 p p 与两个不共线的向量 a a b b 共面的存在实数对 使 x y paxby 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的存在有序实数对 使 x y 或对空间任一定点 O 有序实数对 使MPxMAyMB x y OPOMxMAyMB 63 对空间任一点 和不共线的三点 A B C 满足O 则当时 对于空间任一点 总有OPxOAyOBzOC xyzk 1k O P A B C 四点共面 当时 若平面 ABC 则 P A B C 四点1k O 共面 若平面 ABC 则 P A B C 四点不共面 O 四点共面四点共面与 共面 C AB D AD AB AC ADxAByAC 平面 ABC 1 ODxy OAxOByOC O 64 空间向量基本定理 精品文档 14欢迎下载 如果三个向量 a a b b c c 不共面 那么对空间任一向量 p p 存在一 个唯一的有序实数组 x y z 使 p p xa a yb b zc c 推论 设 O A B C 是不共面的四点 则对空间任一点 P 都存 在唯一的三个有序实数 x y z 使 OPxOAyOBzOC 65 向量的直角坐标运算 设a a b b 则 123 a a a 123 b b b 1 a a b b 112233 ab ab ab 2 a a b b 112233 ab ab ab 3 a a R 123 aaa 4 a a b b 1 1223 3 aba ba b 设 A B 则 111 x y z 222 xyz ABOBOA 212121 xx yy zz 66 空间的线线平行或垂直 设 则 111 ax y z r 222 bxyz r a a b b 0 ab b rr rr 12 12 12 xx yy zz ab rr 0a b r r 12121 2 0 x xy yz z 67 夹角公式 设a a b b 则 123 a a a 123 b b b cos a a b b 1 1223 3 222222 123123 aba ba b aaabbb 推论 此即三维柯西不等式 2222222 1 1223 3123123 aba ba baaabbb 68 异面直线异面直线所成角 cos cos a b r r 精品文档 15欢迎下载 12121 2 222222 111222 x xy yz za b abxyzxyz r r rr 其中 为异面直线所成角 分别表示异面直线 090 oo a b a b r r 的方向向量 a b 69 直线与平面所成角AB 为平面 的法向量 sin AB m arc AB m m 70 二面角的平面角l 或 为平面 的法向量 cos m n arc m n cos m n arc m n m n 71 空间两点间的距离公式 若 A B 则 111 x y z 222 xyz A B d ABAB AB 222 212121 xxyyzz 72 点 到直线 距离Ql 点 在直线 上 直线 的方向向量 a a 向量 22 1 ha ba b a PllPA b b PQ 73 异面直线间的距离 是两异面直线 其公垂向量为 分别是上 CD n d n 12 l ln CD 12 l l 任一点 为间的距离 d 12 l l 74 点 到平面 的距离 B 为平面 的法向量 是经过面 的一条斜线 AB n d n n AB A 75 异面直线上两点距离公式 精品文档 16欢迎下载 222 2cos dhmnmnEA AF 两条异面直线 a b 所成的角为 其公垂线段的长度为 h 在直 AA 线 a b 上分别取两点 E F AEm AFn EFd 76 三个向量和的平方公式 222 2 222abcabca bb cc a 222 2 cos 2 cos 2 cos abcaba bbcb ccac a 77 面积射影定理 cos S S 平面多边形及其射影的面积分别是 它们所在平面所成锐二面S S 角的为 78 欧拉定理 欧拉公式 简单多面体的顶点数 V 棱数 E 和面数 F 2VFE 1 各面多边形边数和的一半 特别地 若每个面的边数为 的多边En 形 则面数 F 与棱数 E 的关系 1 2 EnF 2 若每个顶点引出的棱数为 则顶点数 V 与棱数 E 的关系 m 1 2 EmV 79 球的半径是球的半径是 R R 则 则 其体积其体积 3 4 3 VR 其表面积其表面积 2 4SR 是锥体的底面积 是锥体的高 1 3 VSh 锥体 Sh 80 组合数公式 N N 且 m n C m n m m A Am mnnn 21 1 1 mnm n nmN mn 性质 1 m n C mn n C 精品文档 17欢迎下载 2 m n C 1 m n C m n C 1 注 规定 1 0 n C 3 nn n r nnnn CCCCC2 210 81 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 1 kkn k nn P kC PP 82 离散型随机变量的分布列的两个性质 1 0 1 2 i Pi 2 12 1PP 83 数学期望 1 122nn Ex Px Px P 数学期望的性质 1 E abaEb 2 若 则 B n pEnp 3 若 服从几何分布 且 则 1 k Pkg k pqp 1 E p 84 方差方差 222 1122nn DxEpxEpxEp 标准差