如何由递推公式求通项公式

浅谈由递推公式求数列通项公式浅谈由递推公式求数列通项公式 数列部分知识是高考必考部分 有许多学生感觉自己等差 等比 数列还学的可以但许多时候数列部分题不会求数列通项公式式 而已 知数列递推关系求通项公式是高考的热点之一 是一类考查思维能力 的题型 要求考生进行严格的逻辑推理 想找到数列的通项公式 重 点是递推的思想 从一般到特殊从特殊到一般 化归转换思想 通过 适当的变形 转化成等差数列或等比数列 将复杂的转为简单 达到 化陌生为熟悉的 那么下面我就已知递推关系求数列通项的基本类型 作一简单归纳 类型一 类型一 或或 1 nnaaf n 1 n n a g n a 分析 我们可用 累加 或 累积 的方法即 或112211 nnnnnaaaaaaaa 12 1 121 nn n nn aaa aa aaa 例 1 1 已知数列满足 求数列的通项公 na11 2 11 2 nnaaa nn na 式 2 已知数列满足 求数列的通项公式 na1 1 1 2 n n na as na 解 1 由题知 1 2 1111 1 1 nnaa nnn nnn 112211 nnnnnaaaaa a aa 1111111 121122nnnn 31 2n 2 2 1 nnsna 112 2 nnsnan 两式相减得 12 1 2 nnnananan 即 1 2 1 n n an n an 12 1 121 nn n nn aaa aa aaa 12 1 121 nn nn n 类型二 类型二 1 1 0 nnapaqp qpq p 其中为常数 分析 把原递推公式转为 再利用换元法1 1 nn q atp at p 其中t 转化为等比数列求解 例 2 已知数列中 求的通项公式 na11 123nnaaa na 解 由 可转化为 123nnaa 132 3 nnaa 令3 nnba 11n 1n则b a 3 4且b 2b nb 1是以b 4为首项 公比为q 2的等比数列 即 11 4 22 nn bn 1 23 n na 类型三 类型三 1 n n n f n a a g n ah n 分析 这种类型一般是等式两边取倒数后再换元可转化为类型二 例 3 已知数列满足 求的通项公式 na 1 1 1 1 31 n n n a aa a na 解 原式两边取倒数得 1 11 1311 3 n nnn a aaa 1 1 na n nn 11设b 则b b 3 且b 1 3 nb 1是b 为首项 公差d 2的等差数列 即 1 1 332bnnn 1 32 na n 类型四 类型四 1 0 0 r nnnapapa 分析 这种类型一般是等式两边取对数后得 1lglglgnnarap 再进行求解 例 4 设数列中 求的通项公式 na 2 11 1 1 0 nnaaaa a na 解 由 两边取对数得 2 1 1 nnaa a 1 1 lg2lglgnnaa a 设展开后与上式对比得 1lg2 lg nnatat 1 lgt a 令 则 11 2 lglg naa aa n 1原式可转化为l g l g 1 lglg nnba a 1 1 nnbb a 且b1 l g 1 nb a 1是b l g为首项 公比q 2的等比数列 即 也即 11 2lg n bn a 1 11 lglg2lg n na aa 1 1 2n naa 类型五 类型五 1 nnapaf n 其中p为常数 分析 在此只研究两种较为简单的情况 即是多项式或指数 n f 幂的形式 1 是多项式时转为 再利用换 n f1 1 nnaA nBp aAnB 元法转为等比数列 2 是指数幂 n f 1 1 0 n nnaparqpqr 若时则转化为 再利用换元法转化为等差数列pq 1 1 nn nn aa r qq 若时则转化为pq 1 1 nn nn qr atqp atqt pq 其中 例 5 1 设数列中 求的通项公式 na111 321nnaaan na 2 设数列中 求的通项公式 na111 32nnnaaa na 解 1 设1 1 3 nnaA nBaAnB 1322nnaaAnBA 用待定系数法得 221 211 AA BAB 即1 1 13 1 nnanan 令1 nnban n 1n11则b 3b 且b a 1 1 3 nb 1是b 3为首项 公比q 3的等比数列 1 333 31 nn n n n ba n 即 1 3 33 nn nb 31 n nan 即 2 设 1 123 2 nn nnatat 即 13t2nnnaa