高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结

第 1 页 共 4 页 第三章第三章 函数的应用函数的应用 一 方程的根与函数的零点 1 函数零点的概念 对于函数 把使成立的实数叫做函 Dxxfy 0 xfx 数的零点 Dxxfy 2 函数零点的意义 函数的零点就是方程实数根 亦即函数 xfy 0 xf 的图象与轴交点的横坐标 xfy x 即 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数0 xf xfy x 有零点 xfy 3 函数零点的求法 代数法 求方程的实数根 1 0 xf 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数的图象联系起 2 xfy 来 并利用函数的性质找出零点 4 基本初等函数的零点 正比例函数仅有一个零点 0 ykx k 反比例函数没有零点 0 k yk x 一次函数仅有一个零点 0 ykxb k 二次函数 0 2 acbxaxy 1 方程有两不等实根 二次函数的图象与轴有 2 0 0 axbxca x 两个交点 二次函数有两个零点 2 方程有两相等实根 二次函数的图象与轴有 2 0 0 axbxca x 一个交点 二次函数有一个二重零点或二阶零点 3 方程无实根 二次函数的图象与轴无交点 2 0 0 axbxca x 二次函数无零点 指数函数没有零点 0 1 x yaaa 且 对数函数仅有一个零点 1 log 0 1 a yx aa 且 幂函数 当时 仅有一个零点 0 当时 没有零点 yx 0n 0n 5 非基本初等函数 不可直接求出零点的较复杂的函数 函数先把转化成 fx 再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数 基本初等函数 这另 0fx 12 y y 个函数图像的交点个数就是函数零点的个数 fx 6 选择题判断区间上是否含有零点 只需满足 a b 0f a f b Eg 试判断方程 0 2 内是否有实数解 并说明理由 在区间012 24 xxx 第 2 页 共 4 页 8 函数零点的性质 从 数 的角度看 即是使的实数 0 xf 从 形 的角度看 即是函数的图象与轴交点的横坐标 xfx 若函数的图象在处与轴相切 则零点通常称为不变号零点 xf 0 xx x 0 x 若函数的图象在处与轴相交 则零点通常称为变号零点 xf 0 xx x 0 x 一元二次方程根的分布的基本类型 设一元二次方程 的两实根为 且 0 2 cbxax0 a 1 x 2 x 21 xx 为常数 则一元二次方程根的分布 即 相对于的位置 或根在区间上的 kk 1 x 2 x k 分布主要有以下基本类型 表一 两根与 0 的大小比较 分布情况分布情况 两个负根即两根都小于两个负根即两根都小于 0 12 0 0 xx 两个正根即两根都大于两个正根即两根都大于 0 12 0 0 xx 一正根一负根即一个根一正根一负根即一个根 小于小于 0 一个大于 一个大于 0 12 0 xx 大致图象大致图象 0 a 得出的结论得出的结论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00 f 大致图象 大致图象 0 a得出的结论得出的结论 0 0 2 00 b a f 0 0 2 00 b a f 00 f 第 3 页 共 4 页 综合结论综合结论 不讨论 不讨论 a 0 0 2 00 b a a f 0 0 2 00 b a a f 00 fa 表二 两根与 的大小比较 k 分布情 况 两根都小于即 k kxkx 21 两根都大于即 k kxkx 21 一个根小于 一个大 k 于即 k12 xkx 大致图象 0 a 得出的结论 0 2 0 b k a f k 0 2 0 b k a f k 0 kf 大致图象 0 a得出的结论 0 2 0 b k a f k 0 2 0 b k a f k 0 kf 综合结论 不讨论 a 0 2 0 b k a a f k 0 2 0 b k a a f k 0 kfa 表三 根在区间上的分布 k k k 第 4 页 共 4 页 分布情况 两根都在内 nm 两根有且仅有一根在 内 有两种情况 只 nm 画了一种 一根在内 另一根在 nm 内 qp qpnm 大致图象 0 a得出的结论 0 0 0 2 f m f n b mn a 0 nfmf 或 0 0 0 0 f m f n fp f q 0 0 f m f n fp f q 大致图象 0 a 得出的结论 0 0 0 2 f