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09级-研-矩阵论试题及参考答案一（15分）设实数域上的多项式，（1）求线性空间的一组基和维数；（2）求多项式在你所求基下的坐标。解：（1）是的一组基，； （2），的坐标为。或：x3+1 , x2 , x+1.这三个基形式是最简单的。坐标为（1，4，0）。二（15分）(1)设,其中是矩阵变量，求；（2）设，是向量变量，求.解 （1），；(2) ，。三（15分）已知微分方程组，（1）求矩阵的Jordan标准形和可逆矩阵使（2）求矩阵的的最小多项式（3）计算矩阵函数；（4）求该微分方程组的解。解：（1），对应两个线性无关的特征向量的Jordan标准形，其中（不唯一）（2）由的Jordan标准形知（3）（方法不限）如用代定系数法：由可求得（4）四（15分）已知矛盾方程组（1）求的满秩分解（2）求的广义逆；（3）求该方程组的最小二乘解。解 （1）是列秩的，故，（不唯一）（2），；（3）五（10分）设，（1）写出A的4个盖尔圆；（2）应用盖尔圆定理证明矩阵A至少有两个实特征值。解（1）（2）它们构成两个连通部分，且均关于实轴对称，故中只有一个特征值且必为实数，中有三个特征值，故至少有一个实特征值。六（10分）设，用Schmidt正交方法求的QR分解。解：见教材P118例题七（10分）设矩阵的奇异值分解为,证明:（1）写出的表达式；（2）证明解 (1) （2）设，由即，这说明为的基础解系，得证。八（10分）设n阶矩阵满足，证明：（1）列空间，；（2）矩阵秩不等式。(提示：用维数定理)证：（1）设，则有 所以，；因的列都是由的列的线性组合，又，所以的列也
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