北京市各城区二模数学(理科)分类汇编之压轴创新题解答题word版含答案

西城二模西城二模 20 本小题满分 13 分 数列 的各项均为整数 满足 且 n A 12 2 n aaan 1 1 2 i ain 其中 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 1 0a 若 写出所有满足条件的数列 3n 3 A 求的值 1 a 证明 12 0 n aaa 20 本小题满分 13 分 解 满足条件的数列为 3 A1 1 6 1 0 4 1 1 2 1 2 0 3 分 1 1a 4 分 否则 假设 因为 所以 又 因此有 1 1a 1 0a 1 1a 23 1 n a aa 123 1231 2222 nnn nn aaaaa 123 2 1 2 1 2 1 2 1 nnn 123 222211 nnn 这与矛盾 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 所以 1 1a 8 分 先证明如下结论 必有 1 2 1 kn 12 12 2220 nnn k k aaa 否则 令 12 12 2220 nnn k k aaa 注意左式是的整数倍 因此 2n k 12 12 2222 nnn kn k k aaa 所以有 123 1231 2222 nnn nn aaaaa 12 2 1 2 1 2 1 2 1 n kn kn k 12 22221 n kn kn k 1 这与矛盾 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 所以 12 12 2220 nnn k k aaa 10 分 因此有 1 12 123 12 121 23 1221 0 20 420 2220 2220 kk kk nn nn a aa aaa aaaa aaaa 将上述个不等式相加得 1n 12 121 21 21 21 0 nn n aaa 又 123 1231 22220 nnn nn aaaaa 两式相减即得 13 分 12 0 n aaa 海淀二模海淀二模 20 本小题 13 分 如果数列满足 对任意正整数 都存在正整数 使得 n a i j ij k k a i a j a 则称数列具有 性质 已知数列是无穷项的等差数列 公差为 n aP n ad 若 公差 判断数列是否具有 性质 并说明理由 1 2 a 3d n aP 若数列具有 性质 求证 且 n aP 1 0a 0d 若数列具有 性质 且存在正整数 使得 这样的数 n aPk2018 k a 列共有多少个 并说明理由 20 本小题 13 分 解 解 若 公差 则数列不具有性质 1 2a 3d n a P 理由如下 由题知 对于和 假设存在正整数 k 使得 则有 31 n an 1 a 2 a 12k aa a 解得 矛盾 所以对任意的 3 分 312 510k 11 3 k k N12k aa a 若数列具有 性质 P 则 n a 假设 则对任意的 1 0a 0d n N1 1 0 n aand 设 则 矛盾 12k aaa 0 k a 假设 则存在正整数 使得 1 0a 0d t 12312 0 ttt aaaaaa 设 1 11tk a aa 2 12tk a aa 3 13tk a aa 1 121 t tk a aa i k N 则 但数列中仅有 项小于等于 1 2 1it 1231 0 t kkkk aaaa n a t 0 矛盾 假设 则存在正整数 使得 1 0a 0d t 12312 0 ttt aaaaaa 设 1 12ttk aaa 2 13ttk aaa 3 14ttk aaa 1 122 t ttk aaa 则 但数列中仅有 项大 i k N 1 2 1it 1231 0 t kkkk aaaa n a t 于等于 0 矛盾 综上 8 分 1 0a 0d 设公差为的等差数列具有 性质 P 且存在正整数 使得 d n a k 2018 k a 若 则为常数数列 此时恒成立 故对任意的正整数 0d n a2018 n a k 2 12 20182018 k aa a 这与数列具有 性质 P 矛盾 故 n a 0d 设是数列中的任意一项 则 均是数列中的项 设 x n a xd 2xd n a 1 k ax xd 2 2 k ax xd 则 21 21 kk aaxdkkd 因为 所以 即数列的每一项均是整数 0d 21 xkk Z n a 由 知 故数列的每一项均是自然数 且是正整数 1 0a 0d n a d 由题意知 是数列中的项 故是数列中的项 设 2018d n a 2018 2018 d 则 2018 2018 m ad 2018 2018 20182018 20172018 mk aaddmkd 即 2018 2018 2017mkd 因为 故是的约数 2018mk Z d Nd2018 2017 所以 1 2 1009 2017 2 1009 2 2017 1009 2017d 2 1009 2017 当时 得 故 1d 1 2018 1 0ak 1 2 2018 2019k 共 2019 种可能 1 2018 2017 2 1 0a 当时 得 故 2d 1 20182 1 0ak 1 2 1008 1009 1010k 共 1010 种可能 1 2018 2016 2014 4 2 0a 当时 得 故 1009d 1 2018 1009 1 0ak 1 2 3k 共 3 种可能 1 2018 1009 0a 当时 得 故 2017d 1 20182017 1 0ak 1 2k 共 2 种可能 1 2018 1a 当时 得 故 2 1009d 1 20182018 1 0ak 1 2k 共 2 种可能 1 2018 0a 当时 得 故 2 2017d 1 20182 2017 1 0ak 1k 共 1 种可能 1 2018a 当时 得 故 1009 2017d 1 2018 1009 2017 1 0ak 1k 共 1 种可能 1 2018a 当时 得 故 2 1009 2017d 1 20182 1009 2017 1 0ak 1k 共 1 种可能 1 2018a 综上 满足题意的数列共有 种 n a 2019 1010322 1 1 13039 经检验 这些数列均符合题意 13 分 东城二模东城二模 20 本小题 13 分 设均是正整数 数列满足 a n a 1 aa 1 2 n n n nn a a a aa 是偶数 是奇数 I 若 写出的值 3 3a 5 1 a II 若 为给定的正奇数 求证 若为奇数 则 若为偶数 则1a n a n al n a 2 n al III 在 II 的条件下 求证 存在正整数 使得 2 n n 1 n a 20 共 13 分 解 I 1 或 12 4 分 II 当时 为奇数 成立 为偶数 1 2n 1 1a 1 a 2 1a 2 2a 假设当时 若为奇数 则 若为偶数 则 nk k a k a k a2 k a 那么当时 若是奇数 则是偶数 1nk k a 1kk aa 1 2 k a 若是偶数 k a 1 2 k k a a 此时若是奇数 则满足 若是偶数 满足 1k a 1k a 1k a 1 2 k a 即时结论也成立 1nk 综上 若为奇数 则 若为偶数 则 9 分 n a n a n a2 n a III 由 II 知 中总存在相等的两项 不妨设是相等两项中角标最小 n a rs aa rs 的两项 下证 假设 1r 2r 若 由知和均是由和除以 2 得到 即 rs aa 11 0 0 rs aa r a s a 1r a 1s a 有 与的最小性矛盾 11rs aa r 若 由知和均是由和加上得到 rs aa 11 2 2 rs aa r a s a 1r a 1s a 即有 与的最小性矛盾 11rs aa r 综上 则 1r 1 1 s aa 即若 是正奇数 则存在正整数 使得 13 分1a 2 n n 1 n a 朝阳二模朝阳二模 20 本小题满分 13 分 若无穷数列满足 存在 并且只要 n a pq aap qpq N 就有 为常数 则称具有性质 pq aa p iq i ata t1 2 3 i n a T 若具有性质 且 n aT 1245 4 5 1 5 3 aaata 求 789 36aaa 3 a 若无穷数列的前项和为 且 证明存 n an n S 2 n n Sb b R 在无穷多个 的不同取值 使得数列有性质 b n aT 设是一个无穷数列 数列中存在 且 n b n a pq aap qpq N 1 cos nnn aba n N 求证 为常数列 是 对任意正整数 都具有性质 的充分 n b 1 a n aT 不必要条件 解析 因为具有性质 且 n a T25 5 aa 所以637485963 3 33 315 39 aa aaaaaaa 由 得 所以 经检验符合题意 789 36aaa 3 3 15936a 3 2a 因为无穷数列的前项和为 且 n a n n S 2 n n Sb b R 所以当时 1 2 ab 2n 11 222 nnn n a 若存在则 pq aapq 1q 取 且为常数 1 22 p b p N2 pp 则 对 有 1 2 p pq aa 1 2 p t 11 11 22 1 2 3 p ip p iii aatai 所以数列有性质 且 的不同取值有无穷多个 n aTb 证明 当为常数列时 有 常数 n b n bm 1 cos nn ama n N 对任意正整数 因为存在 则由 必有 1 a pq aa coscos pq mama 11pq aa 进而有 这时 1 2 3 p iq i aai 1t 1 2 3 p iq i atai 所以都具有性质 n aT 所以 为常数列 是 对任意正整数 都具有性质 的充分 n b 1 a n aT 条件 取 对任意正整数 21 2 0 2 n nk b nk k N 1 a 由 11 cos 2 nnn abann N 得 因为为正整数 所以 且 2112 coscos 2 abaa 1 a 2 0a 12 aa 322433 cos0 cos 2 abaaba 当时 3n 0 21 22 2 n nk a nk k N 对任意 则同为奇数或同为偶数 p q p q 若同为偶数 则成立 p q 1 2 3 p iq i aai 若同为奇数 则成立 p q 1 2 3 p iq i aai 所以若对于任意满足 则取 p q pq aa 1t 1 p iq i aa 故具有性质 但不为常数列 n aT n b 所以 为常数列 是 对任意正整数 都具有性质 的不必 n b 1 a n aT 要条件 证毕 丰台二模丰台二模 20 本小题共 本小题共 13 分 分 已知数列的前项和为 当时 n an n S 1 0 a 2 am2n 1 1 1 n n n n akt S akt n akt 其中 是数列的前项中的数对的个数 是数列的前项中kn 1ii aa 1 ii a a tn 的数对的个数 1ii aa 1 ii a a 1 2 3 1 in 若 求 的值 5m 3 a 4 a 5 a 若为常数 求的取值范围 n a 3 n m 若数列有最大项 写出的取值范围 结论不要求证明 n am 20 本小题共 13 分 解 因为 所以 所以 1 1 0 a 2 5 a 12 aa 32 14aa 分 因为 所以 2 分 23 aa 123 4 3 4 1 aaa a 因为 所以 4 分 34 aa 54 1 4aa 所以 3 4a 4 3a 5 4a 当 时 5 分0m 3 0a 4 0a 当 时 因为 所以 0m 12 aa 322 11aama 所以 123 4 21 33 aaam a 因为 所以 所以 7 分 34 aa 21 1 3 m m 2m 当 时 因为 所以 0m 12 aa 322 11aama 所以 123 4 21 33 aaam a 因为 所以 所以 9 分 34 aa 21 1 3 m m 2m 所以 时 为常数的必要条件是 3n 1nn aa 2 0 2 m 当时 2m 34 1aa 因为当 时 都有 3 3 nk k 1 n a 1 02 11 1 n n S a nn 所以当 符合题意 同理 和也都符合题意 2m 2m 0m 10 分 所以的取值范围是 m 2 0 2 或 13 分 2m m 02 m 若用其他方法解题 请酌情给分 若用其他方法解题 请酌情给分 昌平二模昌平二模 20 本小题 13 分 已知正项数列中 若存在正实数 使得对数列中的任意一项 也 n ap n a k a k p a 是数列中的一项 称数列为 倒置数列 是它的 倒置系数 n a n ap I 若数列 是 倒置系数 为的 倒置数列 求和的值 1 4 9 9 x x p x p II 若等比数列的项数是 数列所有项之积是 求证 数列是 n a m n a T n a 倒置数列 并用和表示它的 倒置系数 mT p III 是否存在各项均为整数的递增数列 使得它既是等差数列 又是 倒置数列 n a 如果存在 请写出一个满足条件的数列 如果不存在 请说明理由 20 共 13 分 解 I 因为数列 是 倒置系数 为的 倒置数列 1 4 9 9 x x p 所以也是该数列的项 且 94 p p p p x94 ppp p x 故 1 4 9 pp x 即 3 分 36xp II 因为数列是项数为项的有穷正项等比数列 取 n a m1 0 m pa a 对数列中的任意一项 n a 1 i aim 也是数列中的一项 11 1 mimi mi iii a aa ap a aaa n a 由 倒置数列 的定义可知 数列是 倒置数列 n a 又因为数列所有项之积是 n a T 所以即 2 1231211 m m mmmmm Ta a aaa aaaa ap 2 m pT 9 分 III 假设存在这样的等差数列为 倒置数列 设它的公差为 倒置 n a 0 d d 系数 为 p 因为数列为递增数列 所以 n a 123n aaaa 则 123n pppp aaaa 又因为数列为 倒置数列 则正整数也是数列中的一项 n a i p a n a 1 2 i 故数列必为有穷数列 不妨设项数为项 n a n 则 1 11 ini pa ain 则 得 121nn a aa a 11 nn a aadad 即由 故 与矛盾 2 2 0nd 3n 0d 0d 所以 不存在满足条件的数列 使得它既是等差数列 又是 倒置数列 n a 13 分 顺义二模顺义二模 20 本小题满分 13 分 已知数列 如果数列满足 12 nn Aa aa 12 nn Bb bb 其中 则称为的 陪伴数列 1n ba 11kkkk bbaa 2 3 kn n B n A 写出数列的 陪伴数列 4 3 1 2 5 A 4 B 若的 陪伴数列 是 试证明 成等差数列 9 A 9 B 991 b a a 若为偶数 且的 陪伴数列 是 证明 n n A n B 1n ba 20 解 3 分 4 5 1 4 3 B 证明 对于数列及其 陪伴数列 n A n B 因为 19 ba 1212 bbaa 2323 bbaa 8989 bbaa 将上述几个等式中的第这 4 个式子都乘以 2 4 6 8 1 相加得 1122389122389 n bbbbbbbaaaaaaa 即 991991 2baaaaa 故 991 2aba 所以成等差数列 8 分 991 b a a 证明 因为 1n ba 1212 bbaa 2323 bbaa 11nnnn bbaa 由于为偶数 将上述个等