第十三讲直线及线性规划

A O x y 第十三讲 直线及线性规划第十三讲 直线及线性规划 1 直线的倾斜角的范围 0 x 轴及平行于 x 轴的直线倾斜角是 0 而不是 y 轴及平 行于 y 轴的直线的倾斜角为 2 而不是没有倾斜角 只是斜率不存在 已知斜率 的范围 会 求倾斜角 的范围 记住 当倾斜角 是锐角时 斜率 k 与 同增同减 当 是钝角时 k 与 也同增同减 斜率的求法 依据直线方程 依据倾斜角 依据两点的坐标 方向向量 以a m n m 0 为方向向量的直线的斜率为 m n 关注斜率在求一类分式函数值域时的 运用 举例 1 已知两点 A 1 5 B 3 2 直线 l 的倾斜角是直线 倾斜角的一半 则 直线 l 的斜率为 解析 记直线 l 的倾斜角为 则直线 AB 的倾斜角为 2 其斜率 tan2 4 3 4 3 tan1 tan2 2 tan 3 或 tan 3 1 而由 tan2 4 3 0 得 2 是锐角 则 0 4 tan 3 1 举例 2 函数 Cos Sin y 3 1 的值域为 解析 记 P cos sin A 3 1 则 y kPA P 点的轨迹是圆心为原点 的单位圆 如右图 当直线 PA 与圆相切时 其斜率分别为 0 和 4 3 来源 新课程教育 www newclasses org y kPA 4 3 0 注 这里存在一个 kPA在 0 与 4 3 之间 还是 之外 的问题 原则是其间是否有斜率不存在的情况 若有则在 之外 若无则在 之间 巩固 1 已知直线l 02cos yx 则l倾斜角的范围是 巩固 2 实数 x y 满足 2 4 0122 22 x y yxyx则的取值范围为 A 3 4 B 3 4 0 C 3 4 D 0 3 4 迁移 点 P 是曲线 3 2 3 xxy上的动点 设点 P 处切线的倾斜角为 则 的取值 范围是 A 2 0 B 4 3 2 0 C 4 3 D 4 3 2 2 点斜式 是直线方程的最基本形式 是其它各种形式的源头 但它不能表示斜率不存在 的直线 解决 直线过定点 的问题多用 点斜式 斜截式 最能体现直线的函数性质 一次函 数 一次项系数是斜率 斜截式 中所含的参数最少 2 个 而其它各种形式中都是 3 个 所以用待定系数法求直线方程时多设为 斜截式 它也不能表示斜率不存在的直线 截距式 最能反映直线与坐标轴的位置关系 注意 截距是坐标而不是距离 在两坐标轴上截 距相等的直线斜率为 1 或过过原点原点 截距式 不能表示斜率为 0 斜率不存在以及过原点的直 线 两点式 完全可以由 点斜式 替代 两点式 不能表示斜率为 0 和斜率不存在的直线 但它的变形 积式 112112 xxyyyyxx 却能表示所有的直线 一般式 能表示所有的直线 它是直线方程的 终极 形式 举例 已知直线l kx y k 2 0 和两点 A 3 0 B 0 1 下列命题正确的是 新课程教育 www newclasses org 来源 新课程教育 www newclasses org 填上所有正确命题的序号 直线l对任意实数 k 恒过点 P 1 2 方程 kx y k 2 0 可以表示所有过点 P 1 2 的直线 当 k 1 及 k 2 时直线l在坐标轴上的截距相等 若1 3 0 0 y x 则直线 1 2 2 1 00 xyyx与直线 AB 及直线l都有公共点 使得直线l与线段 AB 有公共点的 k 的范围是 3 1 使得直线l与线段 AB 有公共点的 k 的范围是 3 1 来源 新课程教育 www newclasses org 解析 直线l y 2 k x 1 恒过 P 1 2 方程 kx y k 2 0 不能表示直线 x 1 当 k 1 时直线l在坐标轴上的截距相反 若1 3 0 0 y x 则点 M x0 y0 在直 线 AB 上 截距式 又点 P 1 2 在直线l 而直线 1 2 2 1 00 xyyx过点 M P 两点式 即与直线 AB 有公共点 M 与直 线l有公共点 P 直线l与线段 AB 有公共点 不宜先解方程组再解不等式组 麻烦 数形结合易见 直线l应在直线 PA 到 PB 之间 而其间有斜率不存在的位置 故命题 正 确 新课程教育 www newclasses org 巩固 已知圆 C x2 y 2 2 1 则在坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线有 条 迁移 对任意实数 m 直线 m 2 x 2m 1 y 3m 4 0 和椭圆1 9 22 m yx 恒有公共点 则 m 的取值范围是 新课程教育 www newclasses org 3 到角 的范围 0 到角公式 就是两角差的正切公式 多用于解决与角平分线有关 的问题 夹角 的范围 0 2 两直线 1 l A1x B1y C1 0 2 l A2x B2y C2 0 平行 垂直的 条件有 比 和 积 两种形式 重合只有 比式 如 1 l 2 l A1A2 B1B2 0 若 1 l 2 l不重 合 则 1 l 2 l A1B2 A2B1 判断两直线位置关系时要特别注意斜率不存在及斜率为 0 的情 形 举例 1 直线 1 l x 1 到直线 2 l 2x y 1 0 的角是 A arctan2 B arctan 2 1 C arctan2 D arctan 2 1 新课程教育 www newclasses org 解析 记直线 1 l到 2 l的角为 直线 2 l的倾斜角为 作图可见 2 tan cot 2 1 故选 B 举例 2 已知 P x0 y0 是直线l f x y 0 外一点 则直线 f x y f x0 y0 0 与直线 l的位置关系是 设 a b c 分别是 ABC 中角 A B C 的对边 则直 线 0sin cayAx与直线0sinsin CBybx的位置关系是 新课程教育 www newclasses org 解析 方程 f x y 0 与 f x y f x0 y0 0 两变量的系数完全相同 而 f x0 y0 0 即常数项不同 故平行 由正弦定理知 0sinsin BaAb 故垂直 巩固 已知直线 l1的方程为 y x 直线 l2的方程为 y ax b a b 为实数 当直线 l1与 l2夹角 的范围为 0 12 时 a 的取值范围是 A 3 3 1 1 3 B 0 1 C 3 3 3 D 1 3 迁移 直线01 2 yax与直线 031 2 byxa互相垂直 Rba 则 ab的最 小值是 A 1B 2C 4D 5 4 点到直线的距离公式在求三角形的面积 判断直线与圆的位置关系 求圆的弦长 解决与 圆锥曲线的第二定义有关的问题等场合均有运用 推导两平行线间的距离公式也是它的一 个运用 举例 已知 5x 12y 60 则 xy 22 的最小值是 A 60 13 B 13 5 C 13 12 D 1 解析 xy 22 表示直线l 5x 12y 60 上的动点到原点的距离 其最小值即原点到直线 l的距离 选 A 注 此题若代入消元 配方求最值则很麻烦 巩固 直线l过点 1 0 且被两平行直线 3x y 6 0 和 3x y 3 0 所截得的线段长为 9 则直线l的方程为 迁移 若动点 P x y 满足 x 2y 3 22 2 1 yx 则 P 点的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 提高 若 a b c 为实数 恒存在实数 x y 使得 ay bx c 22 byax 0 则 a b c 满足 A c2 a2 b2 B c2 a2 b2 C c20 a 0 所表示的区域为直线 ax by c 0 的右侧 不等式 ax by c0 所 表示的区域为直线 ax by c 0 的左侧 a 0 时情况相反 也可以说 不等式 ax by c 0 b 0 所 表示的区域为直线 ax by c 0 的上方 不等式 ax by c0 所表示的区域为直线 ax by c 0 的下方 b 0 时情况相反 目标函数 z mx ny m 0 在 可行域 D 内的最值 令 mx ny 0 在 可行域 D 内平移直线 mx ny 0 使之位于最左侧 此时 z 取得最小值 位于最 右侧 此时 z 取得最大值 m0 也可以说 在 可行域 D 内 平移直线 mx ny 0 使之位于最下方 此时 z 取得最小值 位于最上方 此时 z 取得最大值 n0 取得最小值的最优解 有无穷多个 求 a 的值 解析 要使目标函数取得最小值的最优解 有无穷多个 令 ax y 0 并平移使之与过 点 C 3 4 3 2 可行域中最左侧的点 的边界 重合即可 注意到 a 0 只能和 AC 重合 a 1 举例 2 已知点 P 3 1 和 Q 1 2 直线l ax 2y 1 0 与线段 PQ 有公共点 则实数 a 的取 值范围为 A 1 a 3 B a 1 或 a 3 C a 1 D a 3新课程教育 www newclasses org 解析 本题可参照 3 举例 的做法 确定直线l的斜率的范围 现在用不等式所表 示的区域解决 直线l与线段 PQ 有公共点即点 P Q 在直线l的两侧或在直线l上 记 f x y ax 2y 1 则 f 3 1 f 1 2 0 解得 a 1 或 a 3 选 B 3 举例 也可照 此办理 巩固 1 已知 x y 满足约束条件 2x y 0 x y 2 0 6x 3y 18 且 z ax y 取得最大值的 最优解恰为 2 3 3 则 a 的取值范围是 巩固 2 点 2 t 在直线 2x 3y 6 0 的上方 则 t 的取值范围是 迁移 双曲线 x2 y2 1 右支上一点 P a b 到直线 y x 的距离为2 则 a b 的值是 A 2 1 B 2 1 C 2 1 或 2 1 D 2 或 2 1 新课程教育 www newclasses org 7 关注 线性规划 问题的各种 变式 可行域 由不等式和方程共同确定 为线段或射线 约束条件 由二次方程的 区间根 间接提供 约束条件 非线性 目标函数非线性 如 by ax 斜率 22 byax 距离 等 举例 实系数方程02 2 baxx的一个根大于 0 且小于 1 另一个根大于 1 且小于 2 则 1 2 a b 的取值范围是 新课程教育 www newclasses org 解析 xf baxx2 2 数形结合容易得到使实系数方程 02 2 baxx的两根分别在 0 1 和 1 2 内当且仅当 0 2 0 1 0 0 f f f 0224 021 0 ba ba b 点 P a b 的可行域如右 记 A 1 2 线段 PA 的斜率为 PA k PA k 1 2 a b 4 1 1 巩固 若 x y 满足 x y 3 0 x y 1 0 3x y 5 0 设 y kx 则 k 的取值范围是 提高 已知不等式 ax2 bx a0 的解集是空集 则 a2 b2 2b 的取值范围是 A 简答简答 1 巩固 1 4 0 4 3 巩固 2 A 迁移 B 2 2 巩固 3 迁移 9 9 2 9 3 巩固 C 迁移 B 4 巩固 4x 3y 4 0 或 x 1 迁移 将条件变形为 5 5 32 2 1 22 yx yx 由圆锥曲线的统一定义知 P 点轨迹为双曲线 提高 将条 件变形为 22 byax c bxay 问题转化为 直线crbxay 和圆 222 rbyax 的公共点 于是有 r ba crbaab 22 即 c2 a2 b2 5 5