清北学堂2010十一特训代数测试解答数学

20102010 十一特训代数测试十一特训代数测试 第一试 时间第一试 时间 8080 分钟 满分分钟 满分 120120 分 分 一 填空题 共一 填空题 共 8 8 小题 每小题小题 每小题 8 8 分 满分分 满分 6464 分 请直接将答案写在题中的横线上 分 请直接将答案写在题中的横线上 1 设函数定义在上 给出下述三个命题 xfR 满足条件的函数图象关于点对称 4 2 2 xfxf 2 2 满足条件的函数图象关于直线对称 2 2 xfxf 2 x 函数与在同一坐标系中 其图象关于直线对称 2 xf 2 xf2 x 其中 真命题的个数是 3 解 1 用代替中的 得 2 x4 2 2 xfxfx4 4 xfxf 如果点在的图象上 则 即点关于点的 yx xfy 4 4xfy yx 2 2 对称点也在的图象上 反之亦然 故 是真命题 yx 4 4 xfy 2 用代替中的 得 2 x 2 2 xfxf x 4 xfxf 如果点在的图象上 则 即点关于点的对 yx xfy 4 xfy yx 2 x 称点也在的图象上 故 是真命题 yx 4 xfy 3 由 是真命题 不难推知 也是真命题 2 方程的实数解的个数是 2 22 322311xxxx 解 原方程为 12311xxx 当时 方程为 它的两个根都大于 此时无解 3x 2 2120 xx 3 当时 方程为 所以满足题意 31x 5511x 6 5 x 当时 方程为 所以 此时无解 12x 5511x 16 2 5 x 当时 方程为 所以 其中的一个根满足题意 2x 2 2120 xx 197 4 x 综上所述 满足方程的实数解有 2 个 3 设函数对任意实数 都有 f xxy 2 2 5 3 21f xfxyxyfxyx 则的值为 10 f49 解 令 得 10 x 5y 10 25 250 25 200 1fff 10 49f 4 已知实数 a 使得只有一个实数 x 满足关于 x 的不等式 则满 2 232xaxa 足条件的所有的实数 a 的个数是 2 解 令 由知 函数 f x 的图像经过 2 23f xxaxa 39 24 f 点 3 9 24 欲使得不等式只有一个解 则抛物线的 2 232xaxa 2 23f xxaxa 图像必须与直线相切 2y 方程 即的判别 2 232xaxa 2 2320 xaxa 式 2 44 32 0aa 解得 a 1 2 5 设有多项式20112011201120112011P xxxxxxx 则 2010 2 20112011xx 2010 P 解 15141313121132 20112010 20112010 20112010 P xxxxxxxxxxx 1311 1 2010 1 2010 1 2010 xxxxxxx xxx 1311 1 2010 xxxxxx 2010 2010P 6 若 则 n n n xaxaxaax 2 210 1 n naaaa 210 212 1 n n 解 等式两边对求导 x 1 21 1 21 n n n xnaxaaxn 令 则1 x n n naaan 21 1 22 又 1 0 a122 1 210 n n nnaaaa 7 已知 且 44 yxRa 02sin 2 1 4 02sin 3 3 ayy axx 则 yx2cos1 解 由原方程组得 ayy axx 22sin2 2sin 3 3 设 则在上是单调增函数 tttfsin 3 tf 2 2 又 且 即 2 2 2 yx yfxf2 yx2 02 yx 12cos yx 8 已知则的最小值是 1 abba ba ba 22 22 解 记 则 tba 0 t ba ba 22 22 22 2 t t t t 当且仅当时取等号 6262 2 22 tab 即 二 解答题 共二 解答题 共 3 3 小题 每题分别为小题 每题分别为 1616 2020 2020 分 满分分 满分 5656 分 要求写出解题过程 分 要求写出解题过程 9 求最小的正实数 k 使得不等式 对所有的正实 111 9abbccak abc 数 都成立 abc 解 当时 可得 1abc 2k 下面证明不等式对所有的正实数 a b c 都成立 111 29abbcca abc 由平均不等式得 3 111 1 33abab aba b 同理可得 11 3bc bc 11 3ca ca 把上面 3 个不等式相加 得 111 29abbcca abc 综上所述 k 的最小值为 2 10 设是不同的正实数 证明 是一个等比数列的充分 123 xxx 123 xxx 必要条件是 对所有整数 都有 2 n n 222 1 11 22 1 2121 n nn k kk xxxx xx xxx 证明 必要性 若是一个等比数列 设 则 123 xxx 1k k xar 2222 1 2 1 11 22 2 11 21222 11 2121 11 1 1 nn nn n nn k kk kk xxxxrr rr xx xrrrxx 充分性 当时 两边都等于 1 2n 当时 由 化简得 3n 2222 33311 22 2122321 xxxxx xx xx xxx 2 132 x xx 故成等比数列 123 xxx 假设成等比数列 记 121n xxx 4n 1k k xar 1 21kn 则 nn xau 由条件知 22 32522 11111 1 nn nn n uu rrrrrur 两边同乘以 得 224 1 n rr 2242632224 1 1 1 nnn nnn urrrrurur 21324 0 nnn nn urrur 13 0 nn nn urur 结合 可得 即 从而成等比数列 0 n u 1n n ur 1n n xar 12n xxx 由数学归纳法知 是一个等比数列 123 xxx 11 解方程组 73 8 3 2 1 333 222 zyx zxyzxyzyx xyz 解 令 则 uxyz vxyyzzx wxyz 2 2222 3 3333 32 22 3333 83373 223 1 77 1 22 xyzxyzxyyzzxuv xyzxyzxyzxyyzzxxyzuuvw uuvwuvv w uvw 所以为关于 的三次方程的三个根 x y zt 32 77 10 22 ttt 易见一根为 再求得另两根为 1 1t 23 1 2 2 tt 又原方程组关于是对称的 所以共有六组解 分别为 x y z x y z 111111 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 222222 x y z 第二试 时间第二试 时间 150150 分钟 满分分钟 满分 180180 分 分 一 在数列中 是给定的非零整数 n a 1 a 2 a 21nnn aaa 1 若 求 1 2a 2 1a 2009 a 2 证明 从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列 n a 解 1 1 2a 2 1a 3 3a 4 4a 5 1a 6 3a 7 2a 8 1a 9 1a 10 0a 11 1a 12 1a 13 0a 自第 8 项起 每三个相邻的项周期地取值 1 1 0 故 1 2009 a 2 首先证明数列必在有限项后出现零项 假设中没有零项 n a n a 由于 所以时 都有 21nnn aaa 3n 1 n a 当时 1nn aa 211 1 nnnn aaaa 3n 当时 1nn aa 21 1 nnnn aaaa 3n 即的值要么比至少小 1 要么比至少小 1 2n a 1n a n a 令 则 212122 2 22122 nnn n nnn aaa b aaa 1 2 n 1 01 nn bb 由于是确定的正整数 这样下去 必然存在某项 这与矛盾 从而 1 b0 k b 0 k b 中必有零项 n a 若第一次出现的零项为 记 则自第项开始 每三个相邻的 n a 1 0 n aMM n 项周期地取值 即 0 M M 3 31 32 0 nk nk nk a aM aM 0 1 2 k 所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列 n a 二 设 i 1 2 3 是实数列 其中每一项 记且数 i x 1 i x 21nn xxxb 列无上界 证明 当 k 充分大时 成立着不等式 n b 12 111 2010 k k xxx 证明 令令 0 1 b 11 1 1 11 1 2 1 2 i iii iij j iii bbb cidc i bbx 显然故递增 下证无界 0 i c n d n d 由柯西不等式 2 1 1 k ii k ij ik ij iii ij bb c b bb 2 1 1 2 11 kj k iiikjj ij bb b bbbbb 2 1 1 22 11 2 1 kj j kjkj bbb bbbb 若则 1 3 kj bb 1 1 2 1 1 2 k j j ij kj b c bb 无界 故必存在 n b 1211 3 3 3 nn iiiii bbbbb 则 12 11 1111 2 nn n n iiii ijjjj jjj ij i n bcccc 故无上界 使又递增 n dpN 2010 p d n d 故有 即 kp 11 1 20101 kk ki jj j dc x 1 1 2010 k i i k x 三 设定义在 0 2 上的函数满足下列条件 f x 对于 总有 且 0 2 x 2 fxf x 1f x 1 3f 对于 若 则 1 2 x y 3xy 2 1f xf yf xy 证明 1 12 1 33 nn f nN 2 时 1 2 x 1 136f xx 证明 由知 函数图像关于直线对称 则根据 可知 2 fxf x f x1x 对于 若 则 0 1 x y 1xy 1f xyf xf y 设 且 则 12 0 1 x x 12 xx 21 0 1 xx 2112111211 1 f xf xf xxxf xf xf xxf x 21 10f xx 在 0 1 上是不减函数 f x 1 1 11111111 13 2 33333333 nnnnnnnn fffff 1222 11121122 33333333 nnn fff 1122 3333 nn nn f 1 112 11 333 nnn 2 对于任意 则必存在正整数 使得 0 1 x n 1 11 33 nn x 因为在 0 1 上是不减函数 所以 f x 1 11 33 nn ff xf 由 1 知 11 121 16161 333 nnn fx 由 可得 在 中 令 得 2 1f 2xy 2 1f 2 1f 而 又 2 0 ff 0 1f 1 0 3n ff 1 1 3n f 时 0 1 x 1 61f xx 时 且 1 2 x 2 0 1 x 2 f xfx 1 2 6 2 1136fxxx 因此 时 1 2 x 1 136f xx 四 设 x y z 为正实数 求函数 的最小值 12344321 xyxyzz f x yz xyz 解 在取定 y 的情况下 2 123486433 864