对一道数学高考题的探究

习题精选说题活动 垣曲中学 高三数学组 宁登云 课表要求 了解圆锥曲线的实际背景 感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际 问题中的作用 经历从具体情境中抽象出椭圆 抛物线模型的过程 掌握它们的定义 标准方程 几何图形及简单性质 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道双曲线的有关性质 能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题 直线与圆锥曲 线的位置关系 和实际问题 通过圆锥曲线的学习 进一步体会数形结合的思想 考纲要求 了解圆锥曲线的实际背景 了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 掌握椭圆 抛物线的定义 几何图形 标准方程及简单性质 范围 对称性 定点 离心 率 了解双曲线的定义 几何图形和标准方程 知道它的简单几何性质 范围 对称性 定点 离心率 渐近线 了解曲线与方程的对应关系 理解数形结合的思想 了解圆锥曲线的简单应用 学情分析及对策 抛物线是圆锥曲线中的一种 也是日常生活中常见的一种曲线 学生很早就认识了抛物 线 知道斜抛物体的轨迹是抛物线 一些拱桥的桥拱形状是抛物线 一元二次函数的图像 是抛物线等等 实体拓展及变化 原题再现 过抛物线对称轴上一点的直 2 2 0 ypx p 0 A a 0 a 线与抛物线相交于 M N 两点 自 M N 分别向直线 作垂线 垂足分别为 l xa 1 M 1 N 当时 求证 2 p a 11 AMAN 二 证题分析 当时 点 A 即为抛物线的焦点 直线为抛物线 2 p a 2 2 0 ypx p l xa 的准线 设 则 2 2 0 ypx p 2 1 1 2 y My p 2 2 2 2 y Ny p 11 2 p My 12 2 p Ny 要证明 只需证明 即证明 故只需证 11 AMAN 11 0AMAN 12 0p yp y 明 或者证明 2 12 0y yp 11 2 M AN 三 题根追溯 1 人教版第二册上第 119 页习题 7 过抛物线的焦点的一条直线和 2 2 0 ypx p 此抛物线相交 两个交点的纵坐标分别为 求证 1 y 2 y 2 12 y yp 2 新课标选修 2 1 第 70 页例 5 过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A B 两点 通过 点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点 D 求证 直线 DB 平行于抛物线的对称轴 该题虽然没有要求证明 但是要证明直线 DB 平行于抛物线的对称轴 也 2 12 y yp 就是证明 D B 两点的纵坐标相同 因为 D O A 三点共线 于是可用 A 点的纵坐标表示 D 点的纵坐标 从而得出 A B 纵坐标的关系 四 一题八证 证法一 设 则 于是有 11 M x y 22 N xy 11 2 p My 12 2 p Ny 11 AMp y 12 ANp y x l 1 N 1 M O M N A y 显然直线 的斜率不为 于是可设直线 的方程为 2 p xty 由 得 2 2 2 p xty ypx 22 20yptyp 因为 是方程的两个根 由韦达定理可得 所以 1 y 2 y 22 20yptyp 2 12 y yp 有 即 2 111212 0AMANp yp ypy y 11 AMAN 证法二 设 2 1 1 2 y My p 2 2 2 2 y My p 因为 M A N 三点共线 所以 所以 整理 AMAN 22 12 21 0 2222 yypp yy pp 得 从而有 即 2 12 y yp 2 111212 0AMANp yp ypy y 11 AMAN 证法三 由抛物线的定义可得 11 MNMAANMMNN 设 则 2 1 1 2 y My p 2 2 2 2 y My p 11 2 p My 12 2 p Ny 将代入坐标 得 整理MNMAAN 2222 22 2121 21 2222 yyyy yyp pppp 得 于是有 从而有 22 12 0y yp 2 12 y yp 即 2 111212 0AMANp yp ypy y 11 AMAN 证法四 设 A 点内分 MN 的比为 于是有 消去得 22 12 12 22 12 0 1 yy ppp yy 2 12 y yp 从而有 即 2 111212 0AMANp yp ypy y 11 AMAN 证法五 由新课标选修 2 1 第 70 页例 5 可知 M 的纵坐标相同 由 O 三 1 MN 1 M 点共线 得 即 从而有 2 1 2 p y y 2 12 y yp 即 2 111212 0AMANp yp ypy y 11 AMAN 证法六 设抛物线的参数方程为 为参数 于是可设 2 2 2 xpt ypt t 2 11 2 2 Mptpt 因为 为两个不同的点 所以 2 22 2 2 NptptMN 12 tt 由 M A N 三点共线 可知 于是有 整理得 AMAN 22 121 2 4 0ttp t tp 即 所以 从而有 22 1 2 40p t tp 1 2 1 4 t t 22 12121 2 224y yptptp t tp 即 2 111212 0AMANp yp ypy y 11 AMAN 证法七 以抛物线的焦点为极点 则其极坐标方程为 于是可知 1 cos p 所以 从而有 M N 2 12 sin sin 1 cos1 cos pp y yp 即 2 111212 0AMANp yp ypy y 11 AMAN 证法八 由抛物线的定义可得 于是有 1 MMMA 1 NNNA 11 MM AMAM 11 NN ANAN 因为 所以 即 11 MMNN 11 M MAN NA 于是得 所以 11 2 MAMNAN 11 2 MAMNAN 即 11 2 M AN 11 AMAN 五 证后反思 根据上述题目的证明过程 我们可以得出如下结论 若过抛物线的焦点 F 的直线与此抛物线相交于 A B 两点 过 A B 2 2 0 ypx p 两点分别向抛物线的准线引垂线 垂足分别为 则 等价于 A B 两点 1 A 1 B 11 AFB F 的纵坐标之积为 2 p 根据上述结论 我们猜想 椭圆和双曲线是否也具有上述类似的性质呢 现以椭圆为 例 说明上述性质是抛物线特有的性质 若过椭圆的焦点 F 的直线与该椭圆相交于 A B 两点 过 2 2 22 1 0 xy ab ab A B 两点分别向椭圆的焦点 F 的相应准线引垂线 垂足分别为 1 A 1 B 因为直线 AB 的斜率不能为 0 所以可设直线的方程为 xtyc 由 得 2 2 22 1 xtyc xy ab 2 22224 20b tayb ctyb 若设 则有 11 A x y 22 B xy 2 11 a Ay c 2 12 a By c 若 则有 整理得 由方程 得 11 FAFB 4 1112 2 0 b FA FBy y c 4 12 2 b y y c 于是有 解得 故不存在这样的直线 使 4 12 2 22 b y y b ta 44 2 222 bb b tac 2 1t 得 11 FAFB 若 F 为椭圆的左焦点 我们同样可以证明直线不存在 另外 双曲线也不具有上述类似 的性质 所以 上述性质是抛物线特有的性质 小结 本