2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：不等式的综合问题（练习+详细解析）大纲人教版

用心 爱心 专心 提能拔高限时训练提能拔高限时训练 2929 不等式的综合问题不等式的综合问题 一 选择题 1 2009 北京西城高三抽样测试 理 1 若集合 A x x 1 0 B x x 2 则集合 A B 等于 A x x 1 B x x 1 或 x 2 C x x 2 或 x 2 D x x 2 或 x 1 解析解析 解 x 1 0 得 x 1 故 A 1 解 x 2 得 x 2 或 x 2 故 B 2 2 所以 A B x x 2 或 x 1 答案答案 D 2 若 a 0 b 0 且 a b 在 a b 之间插入 n 个正数 x1 x2 xn 使之成为等比数列 n 2 n N N 记 n n xxxM 21 2 ba N 则 M 与 N 的大小关系是 A M N B M N C M N D 不能确定 解析解析 易求得abM 而ab ba 2 则有 M N 答案答案 C 3 设 2 1 log 2 2 2 3 1 xx xe xf x 则不等式 f x 2 的解集为 A 1 2 3 B 10 C 1 2 10 D 1 2 解析解析 由 22 2 1x e x 或 2 1 log 2 2 3 x x 得 1 2 x x 或 1010 2 xx x 或 则 1 x 2 或 x 10 即 1 2 10 答案答案 C 4 函数 f x 的图象是两条直线的一部分 如右图所示 其定义域为 1 0 0 1 则不 等式 f x f x 1 的解集为 用心 爱心 专心 A x 1 x 1 且 x 0 B x 1 x 0 C x 1 x 0 或 2 1 x 1 D x 1 x 2 1 或 0 x 1 解析解析 方法一 由图象得 0 1 1 1 0 1 xx xx xf 当 0 x 1 时 原不等式可化为 1 x 1 x 1 即 x 2 3 0 x 1 当 1 x 0 时 原不等式可化为 1 x 1 x 1 即 x 2 1 1 x 2 1 综上 原不等式的解集为 x 1 x 2 1 或 0 x 1 故选 D 方法二 观察已知函数的图象可知函数 f x 为奇函数 故 f x f x 2f x 1 f x 2 1 如图作出直线 2 1 y 易解得 A 的横坐标为 2 1 根据不等式观察图象易知解集为 1 2 1 0 1 答案答案 D 5 已知 a2 x a M logax2 N loga logax P logax 2 则 A M N P B P M N C M P N D N M P 解析解析 a2 a 0 x a 1 logax 1 N loga logax 0 又 2logax logax logax 即 M P M P N 答案答案 C 用心 爱心 专心 6 已知 f x ax g x bx 当 f x1 g x2 3 时 x1 x2 则 a 与 b 的大小关系不可能成立的是 A b a 1 B a 1 b 0 C 0 a b 1 D b 1 a 0 解析解析 x1 loga3 x2 logb3 当 b 1 a 0 时 x1 0 x2 0 与 x1 x2矛盾 选 D 答案答案 D 7 2009 安徽安庆第一学期高三质检 理 12 已知函数 f x logax a 0 且 a 1 满足 3 2 a f a f 则1 1 1 x f的解是 A 0 x a 1 B 0 x a 1 1 C 1 x a 1 D 1 x a 1 1 解析解析 由题意 得 0 a 1 所以1 1 1 x f 同解于 1 1 log x a logaa 即 1 1 0 1 1 a x x 解得 1 x a 1 1 答案答案 D 8 如果函数 f x ax ax 3a2 1 a 0 且 a 1 在区间 0 上是增函数 那么实数 a 的取值 范围是 A 0 3 2 B 3 3 1 C 1 3 D 3 2 解析解析 令 ax t 则 y t2 3a2 1 t 对称轴 2 1 2 13 2 13 22 aa t 当 0 a 1 时 则 0 ax 1 欲使 f x 在 0 上递增 只需 2 13 2 a 1 即 3a2 1 2 即 a2 3 1 a 3 3 或 a 3 3 舍去 当 a 1 时 ax 1 不成立 故选 B 答案答案 B 9 若使不等式 x2 4x 3 0 和 x2 6x 8 0 同时成立的 x 值也满足关于 x 的不等式 2x2 9x a 0 则 A a 9 B a 9 C a 9 D a 9 解析解析 在 x 2 3 上 f x 2x2 9x a 0 用心 爱心 专心 0 3 0 2 f f a 9 答案答案 C 10 若 a b c 0 且 a2 2ab 2ac 4bc 12 则 a b c 的最小值是 A 32 B 3 C 2 D 3 解析解析 由已知得 a 2b a 2c 12 a 0 b 0 c 0 a 2b a 2c 34 2 2 2 caba 即 a b c 32 答案答案 A 二 填空题 11 已知函数 f x sinx 5x x 1 1 若 f 1 a f 1 a2 0 则 a 的取值范围是 解析解析 由 f x 在 1 1 上是单调递增的奇函数 且 f 1 a f 1 a2 0 成立 转化为 111 21111 11 2 2 a aa aa 答案答案 1 2 12 若不等式 x 4 3 x a 的解集是空集 则实数 a 的取值范围为 解析解析 不等式 x 4 3 x a 的解集为 x 3 x 4 a 的解集为 又 x 3 x 4 的最小值为 1 故 a 1 答案答案 1 13 设 n 个实数 x1 x2 xn的算术平均数是x 若 a 是不等于x的任意实数 并记 p x1 x 2 x2 x 2 xn x 2 q x1 a 2 x2 a 2 xn a 2 则 p 与 q 的大小关系是 解析解析 p q 2x x1 x2 x3 xn nx 2 2a x1 x2 xn na2 2nx 2 nx2 2anx na2 n x 2 2ax a2 n x a 2 a x n N N n x a 2 0 故 p q 答案答案 p q 14 在下列四个命题中 函数 x xxf 9 的最小值为 6 不等式 1 2 x x 1 的解集是 x 1 x 1 若 a b 1 则 b b a a 11 若 a 2 b 1 则 a b 1 用心 爱心 专心 正确命题的序号是 注 把你认为正确的命题序号都填上 解析解析 当 x 0 时 x xxf 9 6 当 x 0 时 x xxf 9 6 不正确 由 1 2 x x 1 得 1 1 x x 0 得 1 x 1 正确 若 a b 1 则 1 a 1 b 0 b b a a 11 若成立 只需 a ab b ab 即 a b 显然成立 正确 若 a 2 b 1 则 a b a b 2 1 3 不正确 正确的命题有 答案答案 三 解答题 15 集合 A 是由适合以下性质的函数 f x 组成的 对于任意的 x 0 f x 2 4 且 f x 在 0 上是增函数 1 判断函数2 1 xxf及 x xf 2 1 64 2 x 0 是否在集合 A 中 若不在集合 A 中 试 说明理由 2 对于 1 中你认为是集合 A 中的函数 f x 不等式 f x f x 2 2f x 1 是否对于任意的 x 0 总成立 证明你的结论 解解 1 x 49 0 f1 49 5 而 5 2 4 2 1 xxf不在集合 A 中 x 0 x x 2 1 1 6 x 2 1 6 0 从而 2 x 2 1 64 4 f2 x 2 4 又 x xf 2 1 64 2 在 0 上为增函数 x xf 2 1 64 2 在集合 A 中 2 由 1 知 f x f2 x 当 x 0 时 f x f x 2 2f x 1 12 2 1 128 2 1 64 2 1 64 xxx 0 4 1 2 1 6 2 1 2 2 1 1 2 1 6 2 xx f x f x 2 2f x 1 对任意的 x 0 总成立 16 已知 f x 是定义在 1 1 上的奇函数 且 f 1 1 若 a b 1 1 a b 0 时 有 0 ba bfaf 1 判断函数 f x 在 1 1 上是增函数还是减函数 并证明你的结论 用心 爱心 专心 2 解不等式 1 1 2 1 x fxf 3 若 f x m2 2am 1 对所有 x 1 1 a 1 1 恒成立 求实数 m 的取值范围 解解 1 函数 f x 在 1 1 上是增函数 证明 设 x1 x2 1 1 且 x1 x2 f x1 f x2 f x1 f x2 0 21 21 21 xx xx xfxf f x1 f x2 f x 在 1 1 上是增函数 2 f x 在 1 1 上是增函数 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 x x x x 解得不等式的解集为 2 3 1 3 f x 在 1 1 上是增函数 f x f 1 1 依题意有 m2 2am 1 1 对 a 1 1 恒成立 即 m2 2am 0 恒成立 令 g a 2ma m2 它的图象是一条直线 那么 0 2 1 02 1 2 2 mmg mmg 解得 m 2 或 m 2 或 m 0 因此所求 m 的取值范围为 m 2 或 m 2 或 m 0 数学参考例题数学参考例题 志鸿优化系列丛书志鸿优化系列丛书 例 1 设函数 f x x2 2bx c c b 1 f 1 0 且方程 f x 1 0 有实根 1 证明 3 c 1 2 证明 b 0 3 若 m 是方程 f x 1 0 的一个实根 判断 f m 4 的正负并加以证明 1 证明 证明 f 1 0 1 2b c 0 2 1 c b 又 1 b c 故 1 2 1 c c 3 c 3 1 方程 f x 1 0 有实根 即 x2 2bx c 1 0 有实根 故 4b2 4 c 1 0 即 c 1 2 4 c 1 0 c 3 或 c 1 又 1 b c 得 3 c 1 2 证明 证明 由 2 1 c b 知 b 0 3 解 解 f m 4 的符号为正 用心 爱心 专心 证明如下 f x x2 2bx c x2 c 1 x c x c x 1 f m 1 0 c m 1 c 4 m 4 3 c f m 4 m 4 c m 4 1 0 f m 4 的符号为正 例 2 已知抛物线 y ax2 1 上存在关于直线 l x y 0 成轴对称的两点 试求实数 a 的取值范 围 解法一 设抛物线上关于直线 l 对称的两相异点为 P x1 y1 Q x2 y2 线段 PQ 的中点为 M x0 y0 设直线 PQ 的方程为 y x b 由于 P Q 两点存在 所以方程组 1 2 axy bxy 有两组不 同的实数解 即得方程 ax2 x 1 b 0 判别式 1 4a 1 b 0 由 得 a xx x 2 1 2 21 0 b a bxy 2 1 00 M 1 b aa yx 2 1 2 1 0 00 即 a b 1 代入 解得 a 4 3 解法二 设同解法一 由题意 得 xxyy xx yy axy axy 0 22 1 1 1 2121 21 21 2 22 2 11 将 代入 并注意到 a 0 x1 x2 0 得 aa xx a xx 21 1 2 2 2 2 1 21 由二元均值不等式 易得 2