2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 函数的最大（小）值与导数课时规范训练 新人教A版选修1-1

1 3 3 33 3 3 函数的最大 小 值与导数函数的最大 小 值与导数 基础练习 1 函数y 的最大值为 ln x x a e 1 b e c e2 d 10 3 答案 a 2 已知函数f x x eln x 则f x 的最小值为 a 0 b e c 1 d 1 答案 a 3 函数f x x 2cos x在上取最大值时 x的值为 0 2 a 0 b 6 c d 3 2 答案 b 4 函数f x x3 3x2 2 在区间 1 1 上的最大值为m 最小值为m 则m m的值为 a 2 b 4 c 4 d 2 答案 c 5 2019 年河北张家口期末 已知函数y x2 2x 3 在区间 a 2 上的最大值为 15 4 则a 答案 1 2 解析 y 2x 2 令y 0 得x 1 函数在 1 上单调递增 在 1 上单调递减 若a 1 则最大值为f a a2 2a 3 解得a 15 4 1 2 若a 1 则最大值为f 1 1 2 3 4 综上知a a 3 2舍去 15 4 1 2 2 6 函数y 在区间上的最小值是 ex x 1 2 e 答案 e 解析 函数y 的导函数为y 令y 0 可得x 1 所以当x ex x xex ex x2 时 y 0 函数是减函数 当x 1 e 时 y 0 函数是增函数 所以函数在 1 2 1 x 1 取得极小值也是最小值f 1 e 7 已知a是实数 函数f x x2 x a 1 当f 1 3 时 求a的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 在区间 0 2 上的最大值 解 1 f x 3x2 2ax 因为f 1 3 2a 3 所以a 0 当a 0 时 f 1 1 f 1 3 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y 1 3 x 1 即 3x y 2 0 2 令f x 0 解得x1 0 x2 2a 3 当 0 即a 0 时 f x 在 0 2 上单调递增 2a 3 从而 f x max f 2 8 4a 当 2 即a 3 时 f x 在 0 2 上单调递减 2a 3 从而 f x max f 0 0 当 0 2 即 0 a 3 时 f x 在上单调递减 在上单调递增 2a 3 0 2a 3 2a 3 2 从而 f x max error 综上所述 f x max error 8 已知函数f x x3 3x2 9x a 1 求f x 的单调递减区间 2 若f x 在区间 2 2 上的最大值是 20 求它在该区间上的最小值 解 1 f x 3x2 6x 9 令f x 0 解得x 1 或x 3 函数f x 的单调递减区间为 1 3 2 f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a f 2 f 2 3 在 1 3 上f x 0 f x 在 1 2 上单调递增 又由于f x 在 2 1 上单调递减 f 2 和f 1 分别是f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 于是有 22 a 20 解得a 2 f x x3 3x2 9x 2 f 1 1 3 9 2 7 即函数f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 能力提升 9 在区间上 函数f x x2 px q与g x 2x 在同一点取得相同的最小值 1 2 2 1 x2 那么f x 在上的最大值是 1 2 2 a b 13 4 5 4 c 8 d 4 答案 d 解析 g x 2 当x 1 时 g x 0 当x 1 时 g x 0 故函数g x 在 2 x3 x 1 处取得最小值 g 1 3 对于函数f x 当x 1 时 函数有最小值 3 error 解得 p 2 q 4 f x x2 2x 4 x 1 2 3 函数f x 的对称轴为x 1 开口向 上 在区间上 函数f x 的最大值为f 2 4 故选 d 1 2 2 10 已知函数f x x4cos x mx2 x m r r 若导函数f x 在区间 2 2 上有最大 值 12 则导函数f x 在区间 2 2 上的最小值为 a 12 b 10 c 8 d 6 答案 b 解析 由已知得f x 4x3cos x x4sin x 2mx 1 令g x 4x3cos x x4sin x 2mx 则g x 是奇函数 由f x 的最大值为 12 知g x 的最大值为 11 最小值为 11 从而f x 的最小值为 11 1 10 11 若不等式 2y2 x2 c x2 xy 对任意满足x y 0 的实数x y恒成立 则实数c的最 大值为 答案 2 4 2 4 解析 由x y 0 2y2 x2 c x2 xy 得c 即c 设t 则t 1 2y2 x2 x2 xy 2 x2 y2 x2 y2 x y x y 令g t 1 g t 2 t2 t2 t t2 t 2 t t2 t 2 t t2 t 当 1 t 2 时 g t 2 t2 t 2t 1 2 t t2 t 2 t2 4t 2 t2 t 22 时 g t 0 所以g t min g 2 2 4 则c 2 4 即实数c的最大值为 2222 2 4 2 12 2019 年湖北孝感模拟 已知函数f x ln x a x 1 当a 0 时 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在 1 e 上的最小值是 求a的值 3 2 解 1 f x ln x 的定义域为 0 f x a a x 1 x a x2 x a x2 0 故f x 在其定义域 0 上单调递增 2 x 1 e 时 分如下情况讨论 当a 1 时 f x 0 f x 单调递增 其最小值为f 1 a 1 与f x 在 1 e 上的最小值是 矛盾 3 2 当 1 a e 时 函数f x 在 1 a