整式的乘法与因式分解知识点

1 整式乘除与因式分解整式乘除与因式分解 一 知识点一 知识点 重点 重点 1 幂的运算性质 am an am n m n 为正整数 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 例 2a 2 3a2 3 2 n m a amn m n 为正整数 幂的乘方 底数不变 指数相乘 例 a5 5 3 nn n baab n 为正整数 积的乘方等于各因式乘方的积 例 a2b 3 练习 1 2 3 yxx 23 25 4 3 2 bab aab 23 4 5 6 22 2zyyz 4 2 232 xyyx 22253 6 3 1 accbaba 4 nm aa am n a 0 m n 都是正整数 且 m n 同底数幂相除 底数不变 指数相减 例 1 x8 x2 2 a4 a 3 ab 5 ab 2 4 a 7 a 5 5 b 5 b 2 5 零指数幂的概念 a0 1 a 0 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l 例 若成立 则满足什么条件 1 32 0 baba 2 6 负指数幂的概念 a p p a 1 a 0 p 是正整数 任何一个不等于零的数的 p p 是正整数 指数幂 等于这个数的 p 指数 幂的倒数 也可表示为 pp n m m n m 0 n 0 p 为正整数 7 单项式的乘法法则 单项式相乘 把系数 同底数幂分别相乘 作为积的因式 对于只在一个 单项式里含有的字母 则连同它的指数作为积的一个因式 例 1 2 22 3 1 23abcabcba 4233 2 2 1 nmnm 8 单项式与多项式的乘法法则 单项式与多项式相乘 用单项式和多项式的每一项分别相乘 再把所得的 积相加 例 1 1 2 2 35 2 22 baabab ababab 2 1 2 3 2 2 3 3 4 4 32 5 22 nmnnm xyzzxyzyx 2 322 9 多项式与多项式的乘法法则 多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项 相乘 再把所得的积相加 例 1 1 2 2 3 3 6 0 1xx 2 yxyx 2 2nm 练习 3 1 计算 2x 3 2xy xy 3的结果是 1 2 2 3 10 8 4 10 4 3 若 n 为正整数 且 x 2n 3 则 3x 3n 2的值为 4 如果 a nb ab m 3 a 9b 15 那么 mn 的值是 5 a 2 2a 3 a 6 4x 2 6x 8 x 2 1 2 7 2n 1 3mn 2 8 若 k 2k 5 2k 1 k 32 则 k 9 3x 2 2x 3y 2x 5y 3y 4x 5y 10 在 ax 2 bx 3 x 2 x 8 的结果中不含 x 3和 x 项 则 a b 1 2 11 一个长方体的长为 a 4 cm 宽为 a 3 cm 高为 a 5 cm 则它的表面积 为 体积为 12 一个长方形的长是 10cm 宽比长少 6cm 则它的面积是 若将长 方形的长和都扩大了 2cm 则面积增大了 10 单项式的除法法则 单项式相除 把系数 同底数幂分别相除 作为商的因式 对于只在被除 式里含有的字母 则连同它的指数作为商的一个因式 例 1 28x4y2 7x3y 2 5a5b3c 15a4b 3 2x2y 3 7xy2 14x4y3 11 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式 再把所得 的商相加 例 练习 1 计算 1 2 22324 7 1 7 3 yxzyx xyxyyx6 63 1 2 5 15105 2 3223 ababbaba 4 22 3 2 2 3 2yxyx 3 4 26 416baba 32 23 24 nn xyyx 5 39 102104 2 计算 1 3 3233 2 1 2 1 16 xyyxyx 2 32 2 3 2 5 1 2 1 5 2 xyyxyx 3 22 221 5 2 4 1 2 5 nnnn bababa 3 计算 1 2345 64yxxyyxyx 2 2 356 16babababa 4 若 ax3my12 3x3y2n 4x6y8 则 a m 易错点 在幂的运算中 由于法则掌握不准出现错误 易错点 在幂的运算中 由于法则掌握不准出现错误 有关多项式的乘法计算出现错误 有关多项式的乘法计算出现错误 误用同底数幂的除法法则 误用同底数幂的除法法则 用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错 用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错 5 乘除混合运算顺序出错 乘除混合运算顺序出错 12 乘法公式 平方差公式 a b a b a2 b2 文字语言叙述 两个数的和与这两个数的差相乘 等于这两个数的平方 差 完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 文字语言叙述 两个数的和 或差 的平方等于这两个数的平方和加上 或减去 这两个数的积的 2 倍 例 1 1 7 6x 7 6x 2 3y x x 3y 3 m 2n m 2n 例 2 1 x 6 2 2 y 5 2 3 2x 5 2 练习 1 43 52 aa 3222323 2 x x yx yxy 2 23234334 28126babababa 3 222 9 xyx 2 235 7 xxx 4 已知 那么 1 5x x 3 3 1 x x 2 1 x x 5 若是一个完全平方式 那么 m 的值是 22 916xmxyy 6 多项式的公因式是 2 12 2223 xxxxxx 7 因式分解 27 8 3 x 8 因式分解 6 22 4 1 24nmnm 9 计算 8002 0 8004 0 8131 0 10 则 Ayxyxyx 22 A 易错点 错误的运用平方差公式和完全平方公式 易错点 错误的运用平方差公式和完全平方公式 13 因式分解 难点 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式 这种变形叫做把这个多项式因 式分解 掌握其定义应注意以下几点 1 分解对象是多项式 分解结果必须是积的形式 且积的因式必须是整 式 这三个要素缺一不可 2 因式分解必须是恒等变形 3 因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形 因式分解是把和差化为积的形式 而整式乘 法是把积化为和差的形式 二 熟练掌握因式分解的常用方法 二 熟练掌握因式分解的常用方法 1 提公因式法 1 掌握提公因式法的概念 2 提公因式法的关键是找出公因式 公因式的构成一般情况下有三部分 系数一各项系数的最大公约数 字母 各项含有的相同字母 指数 相同字母的最低次数 3 提公因式法的步骤 第一步是找出公因式 第二步是提取公因式并确 定另一因式 需注意的是 提取完公因式后 另一个因式的项数与原多项式的 项数一致 这一点可用来检验是否漏项 4 注意点 提取公因式后各因式应该是最简形式 即分解到 底 如果多项式的第一项的系数是负的 一般要提出 号 使括号内的第一 项的系数是正的 7 例 1 2 323 812a bab c 3524 7535x yx y 2 公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用 常用的公式 平方差公式 a2 b2 a b a b 完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 例 1 2 222 0 25a bc 2 9 6 1abba 3 4 422222 44a xa x yx y 22 12 36xyxy zz 练习 1 若是完全平方式 则的值等于 16 3 2 2 xmxm 2 则 22 nxmxx mn 3 与的公因式是 23 2yxyx612 4 若 则 m n nm yx 4222 yxyxyx 5 在多项式中 可以用平方差公式分解因 42242222 94 4 tsyxbanm 式的 有 其结果是 8 6 若是完全平方式 则 m 16 3 2 2 xmx 7 2 2 2 xxxx 8 已知则 01 200520042 xxxx 2006 x 9 若是完全平方式 M 25 16 2 Mba 10 22 3 6 xxx 22 3 9 xx 11 若是完全平方式 则 k 22 9ykx 12 若的值为 0 则的值是 44 2 xx5123 2 xx 13 若则 15 1 15 2 xxaxxa 14 若则 6 4 22 yxyx xy 15 方程 的解是 04 2 xx 易错点 用提公因式法分解因式时易出现漏项 丢系数或符号错误 易错点 用提公因式法分解因式时易出现漏项 丢系数或符号错误 分解因式不彻底 分解因式不彻底 9 中考考点解读 中考考点解读 整式的乘除是初中数学的基础 是中考的一个重点内容 其考点主要涉及以下几个方面 考点考点 1 幂的有关运算 幂的有关运算 例例 1 2009 年湘西 在下列运算中 计算正确的是 A 326 aaa B 2 35 aa C 824 aaa D 2224 aba b 分析分析 幂的运算包括同底数幂的乘法运算 幂的乘方 积的乘方和同底数幂的除法运算 幂的运算是整式乘除运算的基础 准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则 解解 根据同底数幂的乘法运算法则知 所以 A 错 根据幂的乘 52323 aaaa 方运算法则知 所以 B 错 根据同底数幂的除法法则知 63232 aaa 所以 C 错 故选 D 62828 aaaa 例例 2 2009 年齐齐哈尔 已知 则 102 m 103 n 32 10 mn 分析分析 本题主要考查幂的运算性质的灵活应用 可先逆用同底数幂的乘法法则 将指数相加化为幂相乘的形式 再逆用幂的乘方的法则 将指数 mnm n aaa mnmn aa 相乘转化为幂的乘方的形式 然后代入求值即可 解解 32 10 mn 323232 1010 10 102372 mnmn 考点考点 2 整式的乘法运算 整式的乘法运算 例例 3 2009 年贺州 计算 3 1 2 1 4 aa 分析分析 本题主要考查单项式与多项式的乘法运算 计算时 按照法则将其转化为单项式与 单项式的乘法运算 注意符号的变化 10 解解 1 4 1 2 3 aa1 2 4 1 2 3 aaaaa2 2 1 4 考点考点 3 乘法公式 乘法公式 例例 4 2009 年山西省 计算 2 312xxx 分析分析 运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算 然后合并同类项 解解 2 312xxx 22 69 22 xxxxx 22 6922xxxxx 97x 例例 5 2009 年宁夏 已知 化简的结果是 3 2 ab 1ab 2 2 ab 分析分析 本题主要考查多项式与多项式的乘法运算 首先按照法则进行计算 然后灵活变形 使其出现 与 以便求值 ab ab 解解 2 2 ab 422 baab4 2 baab24 2 3 21 考点考点 4 利用整式运算求代数式的值 利用整式运算求代数式的值 例例 6 2009 年长沙 先化简 再求值 22 2ab ababa 其中 1 3 3 ab 分析分析 本题是一道综合计算题 主要在于乘法公式的应用 解解 22 2ab ababa 22222 22abaabba 2ab 当3a 1 3 b 时 1 22 3 3 ab 2 考点考点 5 整式的除法运算 整式的除法运算 例例 7 2009 年厦门 计算 2x y 2x y y y 6x 2x 分析分析 本题的一道综合计算题 首先要先算中括号内的 注意乘法公式的使用 然后再进行 整式的除法运算 解解 2x y 2x y y y 6x 2x 4x2 y2 y2 6xy 2x 4x2 6xy 2x 2x 3y 考点考点 6 定义新运算 定义新运算 11 例例 8 2009 年定西 在实数范围内定义运算 其法则为 22 abab 求 方程 4 3 24x 的解 分析分析 本题求解的关键是读懂新的运算法则 观察已知的等式 22 abab 可知 在 本题中 定义的是平方差运算 即用 前边的数的平方减去 后边的数的 平方 解解 22 abab 2222 43 43 77xxxx 22 724x 2 25x 5x 考点考点 7 乘法公式 乘法公式 例 3 1 2009 年白银市 当31xy 时 代数式 2 xy xyy 的值是 2 2009 年十堰市 已知 a b 3 ab 2 求 a2 b2的值 解析 问题 1 主要是对乘法的平方差公式的考查 原式 x 2 y 2 y 2 x 2 3 2 9 问题 2 考查了完全平方公式的变形应用 222 2 bababa 52232 2222 abbaba 说明 乘法公式应用极为广泛 理解公式的本质 把握公式的特征 熟练灵活地使用 乘法公式