椭圆的定义及标准方程的教学设计

1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 的教学设计的教学设计 一 教材分析一 教材分析 1 1 椭圆定义的分析 椭圆定义的分析 椭圆是常见的圆锥曲线 通过日常生活的体验 学生对椭圆已 有一定的认识 为了使学生掌握椭圆的本质特征 得到椭圆的定义 教材介绍了一种画椭圆的方法 通过画图过程揭示椭圆上的点所要 满足的条件 在讲解椭圆定义时 对 常数 加上了一个条件 即常数要大 于 F1F2 这样规定是为了避免出现两种特殊情况 即轨迹为一条线 段或无轨迹 对于这两种情况 教学中可以及时加以说明 学生是 不难理解的 而且可以加深对 常数要大于 F1F2 的理解 另一方 面 还可以通过在 MF1F2中 两边之和大于第三边来理解 当然这 样做的弊端是忽略特殊情况 即点 M 位于椭圆长轴端点的情形 在椭圆定义的教学中 一定要充分展示椭圆的产生过程 引导 学生分析椭圆上的点所满足的几何条件 从而为坐标系的选择和椭 圆方程的建立奠定基础 2 2 椭圆标准方程建立的分析 椭圆标准方程建立的分析 首先要建立坐标系 曲线上同一个点在不同的坐标系中的坐标 不同 曲线的方程也不同 为了使方程简单 坐标系的选择要恰当 怎样选择恰当的坐标系 要跟剧具体情况来确定 一般情况下 应 注意使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单 在求椭圆的标准方 程时 注意到图形的对称性 不难想到使 x 轴经过两个定点 F1 F2 并且使坐标原点与线段 F1F2的中点重合 这样 两个定点 的坐标比较简单 便于推导方程 在求方程时 设椭圆的焦距为 2c c 0 椭圆上任意一点到两 个焦点的距离的和为 2a a 0 当然 a c 这是为了使焦点及长轴的 两个端点的坐标不出现分式 以便导出的椭圆方程形式简单 带根式的方程的化简是学生感到困难的 是教学难点 特别是 2 由点 M 适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非零常数 的形式 化简时要进行两次平方 方程中字母超过 3 个 且次数高 项数多 初中代数中没有做过这样的题目 我们教学时 要注意说 明这类方程化简的方法 一般来说 1 方程中只有一个根式时 需将它单独留在方程的一边 把 其他的各项移到另一边 2 方程中有两个根式时 需将它们分散 放在方程的两边 使其中一边只有一个根式 求得椭圆的方程 指 以后 教科书指出 2 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 从上述过程可以看到 椭圆上任意一点的坐标都满足方程 以 2 方程的解为坐标的点都在椭圆上 由曲线与方程的关系可知 方 2 程是椭圆的方程 我们把它叫做椭圆的标准方程 目的是进一步 2 加深对 曲线与方程 关系的认识 在求出椭圆的标准方程后教科书提出一个思 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 考题 如果焦点 F1 F2在 y 轴上 且点 F1 F2的坐标分别为 0 c 0 c a b 的意义同上 那么椭圆的标准方程时什么 稍加思索 学生不难发现 应该把方程中 0 1 2 2 2 2 ba b y a x x y 顺序对换 得到椭圆的另一个标准方程 这 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 样一来 椭圆的标准方程有两个 3 3 对椭圆标准方程认识的分析 对椭圆标准方程认识的分析 在给出椭圆的两个标准方程以后 应向学生指出一下几点 来 1 在椭圆的两种标准方程中 都有 a b 0 2 椭圆的焦点总在长轴上 如果焦点在 x 轴上 那么焦 点坐标为 c 0 c 0 如果焦点在 y 轴上 那么焦点坐标 为 0 c 0 c 3 a b c 始终满足关系式 222 bac 二 学情分析二 学情分析 在学习本节内容以前 通过对必修 3 直线与圆 以及选修 2 1 2 1 曲线与方程 的学习 学生已经学习了直线和圆的方程 初 步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤 对曲线的方程的概 3 念有一定的了解 这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础 同时 经过一年零两个月的高中学习 学生的计算能力 分析解决 问题的能力 归纳概括能力 建模能力都有了一定的提高 使得进 一步探究学习本节内容成为可能 但是 在本节课的学习过程中 椭圆定义的归纳概括 方程的推导化简对学生是一个考验 可能会 有一部分学生探究学习受阻 教师要适时予以指导 三 教学目标分析三 教学目标分析 1 1 知识与技能目标 知识与技能目标 准确理解椭圆的定义 掌握椭圆的标准方程及 其推导 2 2 过程与方法目标 过程与方法目标 通过引导学生亲自动手尝试画图 发现椭圆 的形成过程进而归纳出椭圆的定义 培养学生观察 辨析 归纳问题 的能力 3 3 情感态度和价值观目标 情感态度和价值观目标 1 充分发挥学生在学习中的主体地位 引导学生观察 思考 探 究 合作 归纳 促进合作意识 2 通过对椭圆定义的严密描述 培养学生求实严谨的科学作风来 3 通过经历椭圆方程的化简 增强学生战胜困难的品质并体会数 学的简洁美 对称美 四 教学重点 难点分析四 教学重点 难点分析 1 1 重点 重点 掌握椭圆的标准方程 理解坐标法的基本思想 2 2 难点 难点 椭圆标准方程的推导与化简 坐标法的应用 五 教法与学法分析五 教法与学法分析 1 1 教法设计 教法设计 探究式教学方法 教师为主导 设置情境 问题诱导 4 学生为主体 直观观察 动手操作 探究讨论 归纳抽象 总 结规律 2 2 学法设计 学法设计 本节课给学生提供以下四种机会 1 提供观察 思考的机会 2 提供操作 尝试 合作的机会 3 提供表达 交流的机会 4 提供成功的机会 3 3 教具准备 教具准备 多媒体课件 细绳 白纸 笔 六 教学过程设计分析六 教学过程设计分析 一一 引入新课引入新课 我们知道平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆 那么平面内到两个定点的距离等于定长的点的轨迹是什么呢 请同 学们拿出画图工具以小组为单位画图 看看能得到什么样的图形 二二 讲授新课讲授新课 1 1 归纳总结椭圆的定义 归纳总结椭圆的定义 椭圆 平面内与两个定点F1 F2的距离的和等于常数 2 大于 的点 12 FF 的集合叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点 两个焦点F1 F2间的距离叫做 椭圆的焦距 2c 注 为什么 2a 必须大于 12 FF 当 2a 时 集合是椭圆 12 FF 当 2a 时 集合是线段F1F2 12 FF 当 2a 时 轨迹不存在 12 FF 2 2 推导椭圆的方程推导椭圆的方程 5 1 复习用坐标法求动点轨迹方程的一般步骤 建系设点 写出 满足某种条件的动点的集合 列出方程 化简方程 证明等价性 2 2 如何建立坐标系使求出的方程形式最简单 学生讨论 复 习建立适当直角坐标系的一般原则 以已知直线为坐标轴 兼顾图 形的对称性 这里我们以经过椭圆两焦点所在的直线为 轴 12 F Fx 以线段的垂直平分线为 轴 建立平面直角坐标系 12 FFyxoy 为椭圆上任意一点 动点与两个焦点的距离之和为 M x yM 12 FF 焦距为 则 20a a 20c c 12 0 0FcFc 根据椭圆的定义 椭圆就是集合 将上述 12 2AM MFMFa 集合坐标化得 化简上述方程 化简 22 22 2xcyxcya 椭圆方程是本节课的难点 突破难点的方法是引导学生思考如何去 根号 方法方法 移项后两次平方去掉根号 22 22 22 22 2 222222 2 2 44 xcyxcya xcyaxcy xcyaaxcyxcy 2 22 22222224222 22 axcyacx a xa cxa ca yaa cxc x 22222222 22 2222 222 1 acxa yaac xy acac aac 2 引导学生分析的几何意义 令b 得到焦点在 轴上的椭圆的标准方程为x 22 22 10 xy ab ab 3 3 对于焦点在 y 轴上椭圆的标准方程的处理 为避免重复劳动 进行繁琐的化简 我们按以下方法进行处理 6 方法 先让学生猜想方程的形式 一般来说会有部分学生能说出正 确答案 学生猜想后我再给出正确答案即 只需把焦点在 x 轴上的 标准方程中的 x y 的位置对换 得到焦点在 轴上的椭圆的标准方y 程为 具体过程让学生在课后自己推导 作业 22 22 10 yx ab ab 三三 例题分析 例题分析 例题 1 如果椭圆上一点到焦点的距离为 8 那么点 22 1 10036 xy P 1 F 到另一个焦点的距离是多少 P 2 F 解 因为 所以10a 12 220PFPFa 即 8 20 所以 12 即点到另一个焦点的距离为 12 2 pF 2 pFP 2 F 例题 2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 并且经过点 2 0 2 0 求其标准方程 53 22 解法一 因为椭圆的焦点在 x 轴上 所以设它的标准方程为 1 由椭圆的定义知 2 2 a x 2 2 b y 0 ba 所以 2222 5353 2 2 2 2 10 2222 a 10a 又因为 所以2c 222 1046 bac 故所求椭圆的标准方程为 22 1 106 xy 解法二 因为椭圆的焦点在 x 轴上 所以设它的标准方程为 1 2 2 a x 2 2 b y 0 ba 22 22 22 1 4 ab ab 根据题意有 7 推出 a2 10 b2 6 故所求椭圆的标准方程为 22 1 106 xy 其中 例 1 是教材第 42 页练习题的第一题变式 例 2 是教材第 40 页的例 1 通过这两个例题 我们要强调对定义在解题中的应用 在用待定系数法求椭圆的标准方程时需注意两点 首先要根据题意 判断焦点位置 再设出相应的方程 其次注意充分运用三者之 a b c 间的关系 222 abc 四四 课堂练习 课堂练习 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 a 4 b 3 焦点在 x 轴上 2 焦点在 轴上4 15ac y 2 求下列椭圆的焦点坐标 1 2 22 1 312 xy 22 24xy 五五 课堂小结 课堂小结 1 椭圆的定义 2 椭圆的两个标准方程 注意方程形式与焦点的位置的关系 标准方程 1 2 2 a x 2 2 b y 0 ba 1 2 2 a y 2 2 b x 0 ba 图形 a b c 关系 222 abc 222 abc x y 1 F 2 F M Ox y 1 F 2 F M O 8 焦点坐标 12 0 0 FcF c 12 0 0 Fc Fc 焦点位置在 x 轴上在 y 轴上 六六 布置作业布置作业 1 推导焦点在 y 轴上的椭圆的标