广东省2013届高三数学一轮单元测评训练 第二单元 理

1 单元能力检测单元能力检测 二二 考查范围 第二单元 函数 导数及其应用 时间 120 分钟 分值 150 分 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设a 则使函数y xa的定义域是 R R 且为奇函数的所有a的值 1 1 1 2 3 是 A 1 3 B 1 1 C 1 3 D 1 1 3 2 已知函数f x 是定义在 R R 上的奇函数 其最小正周期为 3 且x 时 f x 3 2 0 log 1 x 则f 2011 f 2013 1 2 A 1 B 2 C 1 D 2 3 若函数f x 的定义域为 R R 则实数m的取值范围是 x 4 mx2 4mx 3 A B 0 3 4 C D 3 4 0 3 4 4 已知函数f x 满足f x 1 f x 且在x 1 1 时 f x 2x 2 x 设 a f b f 2 c f 3 则 2 A c a b B b c a C c b a D a b c 5 函数f x 1 log2x与g x 2 x 1在同一直角坐标系下的图象大致是 图 D2 1 6 已知函数f x 2x 1 a b c 且f a f c f b 则下列结论中 一定 成立的是 A a 0 b 0 c 0 B a 0 b 0 c 0 C 2 a 2c D 2a 2c 2 7 已知函数f x 2x logx 实数a b c满足a b c 且满足f a f b f c 1 2 0 若实数x0是函数y f x 的一个零点 则下列结论一定成立的是 A x0 c B x0 c C x0 a D x0 a 8 已知函数f x 函数g x asin 2a 2 a 0 若存在x1 x2 0 1 6 x 使得f x1 g x2 成立 则实数a的取值范围是 A B 1 2 4 3 0 1 2 2 C D 2 3 4 3 1 2 1 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在答题卡相应位置 9 1 sinx 1 dx 1 10 若函数 y f x x R R 满足f x 2 f x 且x 1 1 时 f x x 则函 数y f x 的图象与y log4x的图象的交点个数为 11 曲线y x2与曲线y 8所围成的封闭图形的面积为 x 12 设函数f x 2 x 1 x 1 则使f x 2的x的取值范围是 2 13 已知f x 为偶函数 当x 0 时 f x x 1 2 1 满足f f a 的实数 1 2 a的个数为 14 给出定义 若m 0 时 f x 2 1 求证 f x 在 R R 上是增函数 2 当f 3 5 时 解不等式f a2 2a 2 2 判断f x 在 2 上的单调性 2 讨论f x 的极值点 19 14 分 已知函数 x a为正常数 a x 1 1 若f x lnx x 且a 求函数f x 的单调增区间 9 2 2 若g x lnx x 且对任意x1 x2 0 2 x1 x2 都有 1 h x e3x 3aex x 0 ln2 求h x 的极小值 3 设F x 2f x 3x2 kx k R R 若函数F x 存在两个零点m n 0 m n 且满 足 2x0 m n 问 函数F x 在 x0 F x0 处的切线能否平行于x轴 若能 求出该切线 方程 若不能 请说明理由 5 单元能力检测 二 1 A 解析 分别验证a 1 1 3 知当a 1 或a 3 时 函数y xa的定义域是 1 2 R R 且为奇函数 2 A 解析 f 2011 f 2013 f 1 f 0 f 1 1 3 D 解析 当m 0 时 分母为 3 定义域为 R R 当m 0 时 由题意 mx2 4mx 3 0 对任意x R R 恒成立 0 0 m 综上 0 m 故正确选项为 D 3 4 3 4 4 D 解析 f x 1 f x f x 2 f x f x 是周期为 2 的周期函 数 a f f 2 b f 2 f 2 2 f 0 c f 3 f 3 2 f 1 22 又 当x 1 1 时 f x 2x 2 x a 2 2 22 0 b f 0 22 2 2 4 4 2 2 0 c f 1 2 0 a b c 故选 D ks5u 1 2 3 2 5 C 解析 函数f x 1 log2x的图象是把函数y log2x的图象向上平移一个单 位得到的 此时与x轴的交点坐标为 选项 B C D 中的图象均符合 函数g x 1 2 0 2 x 1 x 1 是把函数y x的图象向右平移一个单位得到的 此时与y轴的交点坐 1 2 1 2 标是 0 2 选项 C 中的图象符合要求 故正确选项为 C 6 D 解析 作出函数f x 2x 1 的图象如图中实线所示 又a b c 且f a f c f b 结合图象知f a 1 a 0 c 0 0 2a 1 f a 2a 1 1 2a0 函数y x 的值域是 函 6x2 x 1 2x3 x 1 2 2x2 2x 3 x 1 2 2x3 x 1 1 2 1 1 6 1 6 数y x x 的值域是 故函数f x 的值域是 0 1 函数g x 在 0 1 1 3 1 6 0 1 2 0 1 6 上的值域是 根据题意 0 1 故只要 2a 2 3a 2 2 2a 2 3a 2 2 0 2a 2 1 或 0 2 1 或Error 即可 3a 2 解得 a 1 或 a 1 2 2 3 4 3 即只要 a 即可 1 2 4 3 9 2 解析 1 sinx 1 dx x cosx Error 2 1 1 1 10 3 解析 画出函数 y f x 的图象与 y log4x 的图象 发现它们的交点个数为 3 11 解析 两曲线的交点坐标为 0 0 4 16 两曲线所围成的封闭图形的面积 64 3 是 8 x2 dx Error 8 4 0 x 16 3 x3 2 x3 3 16 3 64 3 64 3 12 解析 f x 2 x 1 x 1 Error Error 3 4 当 1 x 1 时 f x 是增函数 所以 f x 2 22x 2 22x 2 因此 x 即 22 3 2 3 4 x 3 4 13 8 解析 如图所示 f x 有四个解 1 2 1 1 1 1 ks5u 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 f a 1 或 f a 1 或 f a 1 2 2 2 2 2 2 当 f a 1 时 a 有 2 个值对应 2 2 当 f a 1 时 a 有 2 个值对应 2 2 当 f a 1 时 a 有 4 个值对应 综上可知满足 f f a 的实数 a 有 8 个 2 2 1 2 14 解析 可设 x m t t 0 5 0 5 则 f x x x t 函 数的定义域为 R R 值域为 正确 x m t x 1 m 1 t x 1 m 1 则 0 1 2 7 f x 1 t f x 所以 正确 x m t k x k m t k x k m t k m 则f k x t f x 所以 正确 15 解答 1 证明 设x10 f x2 x1 2 f x f y f x y 2 f x y f x f y 2 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 2 2 f x1 2 f x1 f x 在 R R 上是增函数 2 由题意知f x y f x f y 2 5 f 3 f 1 2 f 2 f 1 2 f 1 f 1 2 f 1 2 3f 1 4 f 1 3 不等式f a2 2a 2 3 等价于f a2 2a 2 f 1 又f x 在 R R 上为增函数 a2 2a 2 1 即a2 2a 3 0 1 a 3 即原不等式的解集为 a 1 a 3 16 解答 1 由f 0 2 可知c 2 又A 1 2 故 1 2 是方程ax2 b 1 x c 0 的两实根 Error 解得a 1 b 2 f x x2 2x 2 x 1 2 1 x 2 2 当x 1 时 m f 1 1 当x 2 时 f x max f 2 10 即M 10 2 由题意知 方程ax2 b 1 x c 0 有两相等实根 x 1 Error 即Error f x ax2 1 2a x a x 2 2 其对称轴方程为x 1 2a 1 2a 1 2a 又a 1 故 1 1 2a 1 2 1 M f 2 9a 2 m f 1 2a 1 2a 1 4a g a M m 9a 1 1 4a 又g a 在区间 1 上单调递增 当a 1 时 g a min 31 4 17 解答 1 R 7 5 1 7 5 2 3 2 所以生产 750 套此种品牌运动装可获得利润 3 2 万元 2 由题意 每生产x 百套 该品牌运动装的成本函数G x x 2 所以利润函数f x R x G x Error 当 05 时 f x 9 7 3 7 故当x 6 时 f x 的最大值为 x 3 9 x 3 3 7 所以生产 600 套该品牌运动装利润最大 是 3 7 万元 18 解答 函数f x 定义域是 2 函数f x 2x k x 2 2x2 4x k x 2 8 1 当k 2 时 式的 16 8k 8 2 k 0 又x 2 0 f x 0 2x2 4x k x 2 f x 在 2 上单调递增 2 当k 2 时 由 知f x 0 2x2 4x k x 2 f x 在 2 上单调递增 故f x 无极值点 当k 2 时 由 2x2 4x k 0 解得x 此时f x 0 2 4 2k 2 当x时 2x2 4x k 0 2 4 2k 2 2 4 2k 2 当 x 时 2x2 4x k 0 2 4 2k 2 2 4 2k 2 当k 0 时 2 2 4 2k 2 故 2 x 时 f x 时 f x 0 2 4 2k 2 2x2 4x k x 2 f x 在上单调递减 在上单调递增 2 2 4 2k 2 2 4 2k 2 x 为极小值点 无极大值点 2 4 2k 2 当 0 k 2 2 4 2k 2 故 2 x时 f x 0 2 4 2k 2 2 4 2k 2 2x2 4x k x 2 x 时 f x 0 2 4 2k 2 2 4 2k 2 2x2 4x k x 2 f x 在上单调递减 在和 2 4 2k 2 2 4 2k 2 2 2 4 2k 2 上单调递增 2 4 2k 2 x 为极大值点 x 为极小值点 综上 k 0 时 x 2 4 2k 2 2 4 2k 2 为极小值点 无极大值点 0 k0 得x 2 或 0 x 9 2 1 2 函数f x 的单调增区间为 2 0 1 2 9 2 1 1 0 g x2 g x1 x2 x1 g x2 g x1 x2 x1 0 1 x2 m x 在 1 2 上是增函数 则当x 2 时 m x 有最大值为 a 27 2 27 2 当 0 x0 ks5u 1 x 1 x2 t x 在 0 1 上是增函数 t x 0 2x 2 当且仅当x 时等号成立 1 x2 2 2 故 min 2 所以a 2 2x 1 x 22 2 由 1 知 1 a 2 令 ex t 则t 1 2 则h x H t t3 3at H t 2 3t2 3a 3 t t aa 由H t 0 得t 或t 舍去 aa a 1 2 2a 1 2 3 4 若 1 t 则H t 0 H t 单调递减 h x 在 0 ln 也单调递减 aa 若0 H t 单调递增 h x 在 ln ln2 也单调递增 aa 故h x 的极小值为h ln 2a aa 3 设F x 在 x0 F x0 处的切线平行于x轴 其中F x 2lnx x2 kx 结合题意 有Error 得 2ln m n m n k m n m n 所以k 2x0 由 得k 2x0 2lnm n m n 2 x0 10 所以 ln m n 2 m