2009年浙江省高考数学试卷(理科)答案与解析

1 2009 年浙江省高考数学试卷 理科 年浙江省高考数学试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 分 1 5 分 2009 浙江 设 U R A x x 0 B x x 1 则 A UB A x 0 x 1 B x 0 x 1 C x x 0 D x x 1 考点 交 并 补集的混合运算 菁优网版权所有 专题 集合 分析 欲求两个集合的交集 先得求集合 CUB 再求它与 A 的交集即可 解答 解 对于 CUB x x 1 因此 A CUB x 0 x 1 故选 B 点评 这是一个集合的常见题 属于基础题之列 2 5 分 2009 浙江 已知 a b 是实数 则 a 0 且 b 0 是 a b 0 且 ab 0 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 菁优网版权所有 专题 简易逻辑 分析 考虑 a 0 且 b 0 与 a b 0 且 ab 0 的互推性 解答 解 由 a 0 且 b 0 a b 0 且 ab 0 反过来 a b 0 且 ab 0 a 0 且 b 0 a 0 且 b 0 a b 0 且 ab 0 即 a 0 且 b 0 是 a b 0 且 ab 0 的充分必要条件 故选 C 点评 本题考查充分性和必要性 此题考得几率比较大 但往往与其他知识结合在一起 考查 3 5 分 2009 浙江 设复数 z 1 i i 是虚数单位 则 z2 A 1 iB 1 i C 1 iD 1 i 考点 复数代数形式的混合运算 菁优网版权所有 专题 数系的扩充和复数 分析 把复数 z 代入表达式化简整理即可 解答 解 对于 故选 D 点评 本小题主要考查了复数的运算和复数的概念 以复数的运算为载体 直接考查了 对于复数概念和性质的理解程度 2 4 5 分 2009 浙江 在二项式的展开式中 含 x4的项的系数是 A 10B 10C 5D 5 考点 二项式定理 菁优网版权所有 专题 二项式定理 分析 利用二项展开式的通项公式求出第 r 1 项 令 x 的指数为 4 求得 解答 解 对于 对于 10 3r 4 r 2 则 x4的项的系数是 C52 1 2 10 故选项为 B 点评 二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具 5 5 分 2009 浙江 在三棱柱 ABC A1B1C1中 各棱长相等 侧棱垂直于底面 点 D 是侧面 BB1C1C 的中心 则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 菁优网版权所有 专题 空间位置关系与距离 分析 本题考查的知识点是线面夹角 由已知中侧棱垂直于底面 我们过 D 点做 BC 的 垂线 垂足为 E 则 DE 底面 ABC 且 E 为 BC 中点 则 E 为 A 点在平面 BB1C1C 上投 影 则 ADE 即为所求线面夹角 解三角形即可求解 解答 解 如图 取 BC 中点 E 连接 DE AE AD 依题意知三棱柱为正三棱柱 易得 AE 平面 BB1C1C 故 ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角 设各棱长为 1 则 AE DE tan ADE ADE 60 故选 C 3 点评 求直线和平面所成的角时 应注意的问题是 1 先判断直线和平面的位置关 系 2 当直线和平面斜交时 常用以下步骤 构造 作出或找到斜线与射影所成的角 设定 论证所作或找到的角为所求的角 计算 常用解三角形的方法求角 结论 点 明斜线和平面所成的角的值 6 5 分 2009 浙江 某程序框图如图所示 该程序运行后输出的 k 的值是 A 4B 5C 6D 7 考点 程序框图 菁优网版权所有 专题 算法和程序框图 分析 根据流程图所示的顺序 逐框分析程序中各变量 各语句的作用可知 该程序的 作用是计算满足 S 100 的最小项数 解答 解 根据流程图所示的顺序 程序的运行过程中各变量值变化如下表 是否继续循环 S K 循环前 0 0 第一圈 是 1 1 第二圈 是 3 2 第三圈 是 11 3 第四圈 是 2059 4 第五圈 否 最终输出结果 k 4 故答案为 A 4 点评 根据流程图 或伪代码 写程序的运行结果 是算法这一模块最重要的题型 其 处理方法是 分析流程图 或伪代码 从流程图 或伪代码 中既要分析出计算的类 型 又要分析出参与计算的数据 如果参与运算的数据比较多 也可使用表格对数据进行 分析管理 建立数学模型 根据第一步分析的结果 选择恰当的数学模型 解模 7 5 分 2009 浙江 设向量 满足 3 4 0 以 的模为 边长构成三角形 则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 A 3B 4C 5D 6 考点 直线与圆相交的性质 向量的模 平面向量数量积的运算 菁优网版权所有 专题 平面向量及应用 分析 先根据题设条件判断三角形为直角三角形 根据三边长求得内切圆的半径 进而 看半径为 1 的圆内切于三角形时有三个公共点 对于圆的位置稍一右移或其他的变化 能 实现 4 个交点的情况 进而可得出答案 解答 解 向量 a b 0 此三角形为直角三角形 三边长分别为 3 4 5 进而可知 其内切圆半径为 1 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆 此时只有三个交点 对于圆的位置稍一右移或其他的变化 能实现 4 个交点的情况 但 5 个以上的交点不能实现 故选 B 点评 本题主要考查了直线与圆的位置关系 可采用数形结合结合的方法较为直观 8 5 分 2009 浙江 已知 a 是实数 则函数 f x 1 asinax 的图象不可能是 A B C D 考点 正弦函数的图象 菁优网版权所有 专题 三角函数的图像与性质 分析 函数 f x 1 asinax 的图象是一个正弦曲线型的图 其振幅为 a 周期为 周期与振幅成反比 从这个方向观察四个图象 解答 解 对于振幅大于 1 时 三角函数的周期为 a 1 T 2 而 D 不符合要求 它的振幅大于 1 但周期反而大于了 2 5 对于选项 A a 1 T 2 满足函数与图象的对应关系 故选 D 点评 由于函数的解析式中只含有一个参数 这个参数影响振幅和周期 故振幅与周期 相互制约 这是本题的关键 9 5 分 2009 浙江 过双曲线 1 a 0 b 0 的右顶点 A 作斜率为 1 的直线 该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B C 若 则双曲线的离心率是 A B C D 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 双曲线的简单性质 菁优网版权所有 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 分别表示出直线 l 和两个渐近线的交点 进而表示出和 进而根据 求得 a 和 b 的关系 进而根据 c2 a2 b2 求得 a 和 c 的关系 则离心率可得 解答 解 直线 l y x a 与渐近线 l1 bx ay 0 交于 B l 与渐近线 l2 bx ay 0 交于 C A a 0 b 2a c2 a2 4a2 e2 5 e 故选 C 点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题 要求学生有较高地转化数学思想的 运用能力 能将已知条件转化到基本知识的运用 10 5 分 2009 浙江 定义 A B x x A 且 x B 若 P 1 2 3 4 Q 2 5 则 Q P A PB 5 C 1 3 4 D Q 考点 集合的包含关系判断及应用 菁优网版权所有 专题 集合 6 分析 理解新的运算 根据新定义 A B 知道 新的集合 A B 是由所有属于 A 但不属于 B 的元素组成 解答 解 Q P 是由所有属于 Q 但不属于 P 的元素组成 所以 Q P 5 故选 B 点评 本题主要考查了集合的运算 是一道创新题 具有一定的新意 要求学生对新定 义的 A B 有充分的理解才能正确答 二 填空题 共二 填空题 共 7 小题 每小题小题 每小题 4 分 满分分 满分 28 分 分 11 4 分 2009 浙江 设等比数列 an 的公比 前 n 项和为 Sn 则 15 考点 等比数列的性质 菁优网版权所有 专题 等差数列与等比数列 分析 先通过等比数列的求和公式 表示出 S4 得知 a4 a1q3 进而把 a1和 q 代入约 分化简可得到答案 解答 解 对于 点评 本题主要考查了等比数列中通项公式和求和公式的应用 属基础题 12 4 分 2009 浙江 若某个几何体的三视图 单位 cm 如图所示 则该几何体的体 积是 18 cm3 考点 由三视图求面积 体积 菁优网版权所有 专题 立体几何 分析 由图可知 图形由两个体积相同的长方体组成 求出其中一个体积即可 解答 解 由图可知 底下的长方体底面长为 3 宽为 1 底面积为 3 1 3 高为 3 因 此体积为 3 3 9 7 上面的长方体底面是个正方形 边长为 3 高为 1 易知与下面的长方体体积相等 因此易得该几何体的体积为 9 2 18 点评 本题考查学生的空间想象能力 是基础题 13 4 分 2009 浙江 若实数 x y 满足不等式组 则 2x 3y 的最小值是 4 考点 简单线性规划 菁优网版权所有 专题 不等式的解法及应用 分析 先由约束条件画出可行域 再求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标 函数 验证即得答案 解答 解 如图即为满足不等式组的可行域 由图易得 当 x 2 y 0 时 2x 3y 4 当 x 1 y 1 时 2x 3y 5 当 x 4 y 4 时 2x 3y 20 因此 当 x 2 y 0 时 2x 3y 有最小值 4 故答案为 4 点评 在解决线性规划的小题时 我们常用 角点法 其步骤为 由约束条件画出可 行域 求出可行域各个角点的坐标 将坐标逐一代入目标函数 验证 求出最优 解 14 4 分 2009 浙江 某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计 价 该地区的电网销售电价表如图 高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表 高峰月用电量 单位 千瓦时 高峰电价 单位 元 千瓦时 低 谷 月 低谷 电价 单 8 用 电 量 单 位 千 瓦 时 位 元 千瓦 时 50 及以下的部分0 56850 及 以 下 的 部 分 0 288 超过 50 至 200 的部分0 598超 过 50 至 200 的 部 分 0 318 超过 200 的部分0 668超 过 200 的 部 分 0 388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时 低谷时间段用电量为 100 千瓦时 则 按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 148 4 元 用数字作答 考点 分段函数的解析式求法及其图象的作法 菁优网版权所有 专题 函数的性质及应用 分析 先计算出高峰时间段用电的电费 和低谷时间段用电的电费 然后把这两个电费 相加 解答 解 高峰时间段用电的电费为 50 0 568 150 0 598 28 4 89 7 118 1 元 低谷时间段用电的电费为 50 0 288 50 0 318 14 4 15 9 30 3 元 本月的总电费为 118 1 30 3 148 4 元 故答案为 148 4 点评 本题考查分段函数的函数值的求法 体现了分类讨论的数学思想 属于中档题 15 4 分 2009 浙江 观察下列等式 观察下列等式 9 C C 23 2 C C C 27 23 C C C C 211 25 C C C C C 215 27 由以上等式推测到一个一般结论 对于 n N C C C C 24n 1 1 n22n 1 考点 二项式定理的应用 菁优网版权所有 专题 二项式定理 分析 通过观察类比推理方法结论由二项构成 第二项前有 1 n 二项指数分别为 24n 1 22n 1 解答 解 结论由二项构成 第二项前有 1 n 二项指数分别为 24n 1 22n 1 因此对于 n N C4n 11 C4n 15 C4n 19 C4n 14n 1 24n 1 1 n22n 1 故答案为 24n 1 1 n22n 1 点评 本题考查观察 类比 归纳的能力 16 4 分 2009 浙江 甲 乙 丙 3 人站到共有 7 级的台阶上 若每级台阶最多站 2 人 同一级台阶上的人不区分站的位置 则不同的站法总数是 336 考点 排列 组合及简单计数问题 菁优网版权所有 专题 排列组合 分析 由题意知本题需要分组解决 共有两种情况 对于 7 个台阶上每一个只站一人 若有一个台阶有 2 人另一个是 1 人 根据分类计数原理得到结果 解答 解 由题意知本题需要分组解决 对于 7 个台阶上每一个只站一人有 A73种 若有一个台阶有 2 人另一个是 1 人共有 C31A72种 根据分类计数原理知共有不同的站法种数是 A73 C31A72 336 种 故答案为 336 点评 分类要做到不重不漏 分类后再分别对每一类进行计数 最后用分类加法计数原 理求和 得到总数 分步要做到步骤完整 完成了所有步骤 恰好完成任务 10 17 4 分 2009 浙江 如图 在长方形 ABCD 中 AB 2 BC 1 E 为 DC 的中点 F 为线段 EC 端点除外 上一动点 现将 AFD 沿 AF 折起 使平面 ABD 平面 ABC 在 平面 ABD 内过点 D 作 DK AB K 为垂足 设 AK t 则 t 的取值范围是 1 考点 平面与平面垂直的性质 棱锥的结构特征 菁优网版权所有 专题 空间位置关系与距离 空间角 立体几何 分析 此题的破解可采用二个极端位置法 即对于 F 位于 DC 的中点时与随着 F 点到 C 点时 分别求出此两个位置的 t 值即可得到所求的答案 解答 解 此题的破解可采用二个极端位置法 即对于 F 位于 DC 的中点时 可得 t 1 随着 F 点到 C 点时 当 C 与 F 无限接近 不妨令二者重合 此时有 CD 2 因 CB AB CB DK CB 平面 ADB 即有 CB BD 对于 CD 2 BC 1 在直角三角形 CBD 中 得 BD 又 AD 1 AB 2 再由勾股定理可得 BDA 是直角 因此有 AD BD 再由 DK AB 可得三角形 ADB 和三角形 AKD 相似 可得 t 因此 t 的取值的范围是 1 故答案为 1 点评 考查空间图形的想象能力 及根据相关的定理对图形中的位置关系进行精准判断 的能力 三 解答题 共三 解答题 共 5 小题 满分小题 满分 72 分 分 18 14 分 2009 浙江 在 ABC 中 角 A B C 所对应的边分别为 a b c 且满足 3 求 ABC 的面积 若 b c 6 求 a 的值 考点 二倍角的余弦 平面向量数量积的运算 余弦定理 菁优网版权所有 专题 解三角形 分析 利用二倍角公式利用 求得 cosA 进而求得 sinA 进而根据 求得 bc 的值 进而根据三角形面积公式求得答案 根据 bc 和 b c 的值求得 b 和 c 进而根据余弦定理求得 a 的值 解答 解 因为 11 又由 得 bccosA 3 bc 5 对于 bc 5 又 b c 6 b 5 c 1 或 b 1 c 5 由余弦定理得 a2 b2 c2 2bccosA 20 点评 本题主要考查了解三角形的问题 涉及了三角函数中的倍角公式 余弦定理和三 角形面积公式等 综合性很强 19 14 分 2009 浙江 在 1 2 3 9 这 9 个自然数中 任取 3 个数 求这 3 个数中 恰有一个是偶数的概率 记 为这三个数中两数相邻的组数 例如 若取出的数 1 2 3 则有两组相邻的 数 1 2 和 2 3 此时 的值是 2 求随机变量 的分布列及其数学期望 E 考点 等可能事件的概率 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 组合及组合数公式 菁优网版权所有 专题 概率与统计 分析 I 由题意知本题是一个古典概型 试验发生包含的所有事件是从 9 个数字中选 3 个 而满足条件的事件是 3 个数恰有一个是偶数 即有一个偶数和两个奇数 根据概率 公式得到结果 2 随机变量 为这三个数中两数相邻的组数 则 的取值为 0 1 2 当变量为 0 时表 示不包含相邻的数 结合变量对应的事件写出概率和分布列 算出期望 解答 解 I 由题意知本题是一个古典概型 试验发生包含的所有事件是 C93 而满足条件的事件是 3 个数恰有一个是偶数共有 C41C52 记 这 3 个数恰有一个是偶数 为事件 A II 随机变量 为这三个数中两数相邻的组数 则 的取值为 0 1 2 当变量为 0 时表示不包含相邻的数 P 0 P 1 P 2 的分布列为 0 1 2 p 的数学期望为 12 点评 本题考查离散型随机变量的分布列 求离散型随机变量的分布列和期望是近年来 理科高考必出的一个问题 题目做起来不难 运算量也不大 只要注意解题格式就问题不 大 20 14 分 2009 浙江 如图 平面 PAC 平面 ABC ABC 是以 AC 为斜边的等腰直 角三角形 E F O 分别为 PA PB AC 的中点 AC 16 PA PC 10 设 G 是 OC 的中点 证明 FG 平面 BOE 证明 在 ABO 内存在一点 M 使 FM 平面 BOE 并求点 M 到 OA OB 的距 离 考点 直线与平面平行的判定 点 线 面间的距离计算 菁优网版权所有 专题 空间位置关系与距离 空间角 空间向量及应用 立体几何 分析 由于 PAC 平面 ABC ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形 O 为 AC 的中 点 AC 16 PA PC 10 所以 PO OB OC 是两两垂直的三条直线 因此可以考虑用空间向量解决 连接 OP 以 O 为坐标原点 分别以 OB OC OP 所在直 线为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 O xyz 对于 I 只需证明向量 FG 与平面 BOE 的一个法向量垂直即可 而根据坐标 平面的一 个法向量可求 从而得证 对于 II 在第一问的基础上 课设点 M 的坐标 利用 FM 平面 BOE 求出 M 的坐标 而其道 OA OB 的距离就是点 M 横纵坐标的绝对值 解答 证明 I 如图 连接 OP 以 O 为坐标原点 分别以 OB OC OP 所在直线 为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 O xyz 则 O 0 0 0 A 0 8 0 B 8 0 0 C 0 8 0 P 0 0 6 E 0 4 3 F 4 0 3 3 分 由题意得 G 0 4 0 因 因此平面 BOE 的法向量为 得 又直线 FG 不在平面 BOE 内 因此有 FG 平面 BOE 6 分 II 设点 M 的坐标为 x0 y0 0 则 因为 FM 平面 BOE 所以有 因此有 13 即点 M 的坐标为 8 分 在平面直角坐标系 xoy 中 AOB 的内部区域满足不等式组 经检验 点 M 的坐标满足上述不等式组 所以在 ABO 内存在一点 M 使 FM 平面 BOE 由点 M 的坐标得点 M 到 OA OB 的距离为 12 分 点评 本题考查直线与平面的平行的判定以及距离问题 建立了空间坐标系 所有问题 就转化为向量的运算 使得问题简单 解决此类问题时要注意空间向量的使用 21 15 分 2009 浙江 已知椭圆 C1 a b 0 的右顶点 A 1 0 过 C1的焦点且垂直长轴的弦长为 1 求椭圆 C1的方程 设点 P 在抛物线 C2 y x2 h h R 上 C2在点 P 处的切线与 C1交于点 M N 当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时 求 h 的最小值 考点 圆锥曲线的综合 椭圆的标准方程 菁优网版权所有 专题 圆锥曲线的定义 性质与方程 圆锥曲线中的最值与范围问题 分析 I 根据题意 求出 a b 的值 然后得出椭圆的方程 II 设出 M N P 的坐标 将直线代入椭圆 联立方程组 根据 判断最值即可 解答 解 I 由题意得 所求的椭圆方程为 II 不妨设 M x1 y1 N x2 y2 P t t2 h 则抛物线 C2在点 P 处的切线斜率为 y x t 2t 直线 MN 的方程为 y 2tx t2 h 将上式代入椭圆 C1的方程中 14 得 4x2 2tx t2 h 2 4 0 即 4 1 t2 x2 4t t2 h x t2 h 2 4 0 因为直线 MN 与椭圆 C1有两个不同的交点 所以有 1 16 t4 2 h 2 t2 h2 4 0 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3 则 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4 则 由题意得 x3 x4 即有 t2 1 h t 1 0 其中的 2 1 h 2 4 0 h 1 或 h 3 当 h 3 时有 h 2 0 4 h2 0 因此不等式 1 16 t4 2 h 2 t2 h2 4 0 不成立 因此 h 1 当 h 1 时代入方程 t2 1 h t 1 0 得 t 1 将 h 1 t 1 代入不等式 1 16 t4 2 h 2 t2 h2 4 0 成立 因此 h 的最小值为 1 点评 本题考查圆锥图象的综合利用 椭圆方程的应用 通过构造一元二次方程 利用 根的判别式计算 属于中档题 22 15 分 2009 浙江 已知函数 f x x3 k2 k 1 x2 5x 2 g x k2x2 kx 1 其 中 k R 设函数 p x f x g x 若 p x 在区间 0 3 上不单调 求 k 的取值范 围 设函数是否存在 k 对任意给定的非零实数 x1 存在惟 一的非零实数 x2 x2 x1 使得 q x2 q x1