文数高考专题10——等差数列与等比数列

1 2017 浙江 6 已知等差数列 an 的公差为 d 前 n 项和为 Sn 则 d 0 是 S4 S6 2S5 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 答案 C 考点 等差数列 充分必要性 名师点睛 本题考查等差数列的前项和公式 通过公式的套入与简单运算 可知 结合充分必要性的判断 若 则是的充分条件 465 2SSSd qp p 若 则是的必要条件 该题 故为充要qp p0 d 02 564 SSS 条件 2 2015 高考新课标 1 文 7 已知是公差为 1 的等差数列 为的前 n a n S n a 项和 若 则 84 4SS 10 a A B C D 17 2 19 2 1012 答案 B 公差 解得 1d 84 4SS 11 11 88 74 44 3 22 aa 1 a 1 2 故选 B 101 119 99 22 aad 考点定位 等差数列通项公式及前 n 项和公式 名师点睛 解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义 性质 通项公式 前 n 项和公式 利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程 解出首项与 公差 利用等差数列性质可以简化计算 学 3 2014 高考重庆文第 2 题 在等差数列中 则 n a 135 2 10aaa 7 a 5A 8B 10C 14D 答案 B 试题分析 设等差数列的公差为 由题设知 所以 n ad 1 2610ad 1 102 1 6 a d 所以 故选 B 71 6268aad 考点 等差数列通项公式 名师点睛 本题考查了等差数列的概念与通项公式 本题属于基础题 利用 下标和相等的两项的和相等更能快速作答 4 2014 天津 文 5 设是首项为 公差为的等差数列 为其前 n a 1 a1 n S n 项和 若成等比数列 则 421 SSS 1 a A 2 B 2 C D 2 1 1 2 答案 D 考点 等比数列 名师点睛 本题考查等差数列的通项公式和前项和公式 本题属于基础题 利用等差数列的前项和公式表示出然后依据成等比数列 421 SSS 421 SSS 列出方程求出首项 这类问题考查等差数列和等比数列的基本知识 大多利用通 项公式和前项和公式通过列方程或方程组就可以解出 5 2014 辽宁文 9 设等差数列的公差为 d 若数列为递减数列 n a 1 2 n a a 则 A B C D 0d 0d 1 0a d 1 0a d 答案 C 试题分析 由已知得 即 又 111 22 nn a aa a 1 11 2 1 2 n n a a a a 1n1 a 21 n aa n1 a n ad 故 从而 选 C 1 21 a d 1 0a d 考点定位 1 等差数列的定义 2 数列的单调性 名师点睛 本题考查等差数列的通项公式 数列的性质等 解答本题的关键 是写出等差数列的通项 利用是递减数列 确定得到 得到结论 1 2 n a a 1 11 2 1 2 n n a a a a 本题是一道基础题 在考查等差数列等基础知识的同时 考查考生的计算能力 6 2015 新课标 2 文 5 设是等差数列的前项和 若 则 n S n a 135 3aaa 5 S A B C D 11 答案 A 考点定位 本题主要考查等差数列的性质及前 n 项和公式的应用 名师点睛 本题解答过程中用到了的等差数列的一个基本性质即等差中项的 性质 利用此性质可得高考中数列客观题大多具有小 巧 活的特 153 2 aaa 点 在解答时要注意数列相关性质的应用 尽量避免小题大做 7 2015 新课标 2 文 9 已知等比数列满足 则 n a 1 1 4 a 354 41a aa 2 a A 2B 1 1 C 2 1 D 8 答案 C 试题分析 由题意可得 所以 故 2 35444 412a aaaa 3 4 1 82 a qq a 选 C 21 1 2 aa q 考点定位 本题主要考查等比数列性质及基本运算 名师点睛 解决本题的关键是利用等比数列性质 得到一个关于 2 11nnn aaa 的一元二次方程 再通过解方程求的值 我们知道 等差 等比数列各有五个 4 a 4 a 基本量 两组基本公式 而这两组公式可看作多元方程 利用这些方程可将等差 等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程 组 因此可以说数列中的绝 大部分运算题可看作方程应用题 所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效 的方法 学 8 2014 全国 2 文 5 等差数列的公差是 2 若成等比数列 则 n a 248 a a a 的前项和 n a n S A B C D 1 n n 1 n n 1 2 n n 1 2 n n 答案 A 由已知得 又因为是公差为 2 的等差数列 故 2 428 aaa n a 解得 所以 2 222 2 6 adaad 2 2 4 a 22 12 aa 2 4a 故 2 2 n aand 2n 1 n 1 2 n n n aa Sn 考点定位 1 等差数列 2 等比数列 名师点睛 本题主要考查了等差数列的通项公式 等比中项的概念 等差数 列的前 n 项和公式 本题属于基础题 解决本题的关健在于熟练掌握相应的公 式 9 2015 高考广东 文 13 若三个正数 成等比数列 其中 52 6a 则 52 6c b 答案 考点定位 等比中项 名师点晴 本题主要考查的是等比中项 属于容易题 解题时要抓住关键字 眼 正数 否则很容易出现错误 解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念 即若 成等比数列 则称为与的等比中项 即 GG 2 Gab 10 2014 高考广东卷 文 13 等比数列的各项均为正数 且 n a 15 4a a 则 2122232425 logloglogloglogaaaaa 答案 由题意知 且数列的各项均为正数 所以 2 153 4a aa n a 3 2a 2 235 1234515243335 2a a a a aa aa aaaaa 5 21222324252123452 logloglogloglogloglog 25aaaaaa a a a a 考点定位 本题考查等比数列的基本性质与对数的基本运算 属于中等偏难题 名师点晴 本题主要考查的是等比数列的性质和对数的基本运算 属于中等 偏难题 解题时要抓住关键字眼 正数 否则很容易出现错误 解本题需要掌 握的知识点是等比数列的性质和对数的基本运算 即等比数列中 若 n a 则 mnpq mpq mnpq a aa a logloglog aaa 0a 1a 0 0 11 2015 高考新课标 1 文 13 数列中为的前 n 项 n a 11 2 2 nnn aaa S n a 和 若 则 126 n S n 答案 6 考点 等比数列定义与前 n 项和公式 名师点睛 解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义 性质 通项公式 前 n 项和公式 利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程 解出首项与 公比 利用等比数列性质可以简化计算 12 2015 高考浙江 文 10 已知是等差数列 公差不为零 若 n ad 2 a 成等比数列 且 则 3 a 7 a 12 21aa 1 a d 答案 2 1 3 由题可得 故有 又因为 2 111 2 6 adad ad 1 320ad 12 21aa 即 所以 1 31ad 1 2 1 3 da 考点定位 1 等差数列的定义和通项公式 2 等比中项 名师点睛 本题主要考查等差数列的定义和通项公式 主要考查学生利用等差 数列的定义以及等比中项的性质 建立方程组求解数列的首项与公差 本题属于 容易题 主要考查学生正确运算的能力 13 2015 高考陕西 文 13 中位数为 1010 的一组数构成等差数列 其末项 为 2015 则该数列的首项为 答案 5 若这组数有个 则 又 所以21n 1 1010 n a 21 2015 n a 1211 2 nn aaa 1 5a 若这组数有个 则 又2n 1 1010 22020 nn aa 2 2015 n a 所以 121nnn aaaa 1 5a 故答案为 5 考点定位 等差数列的性质 名师点睛 1 本题考查等差数列的性质 这组数字有可能是偶数个 也有可 能是奇数个 然后利用等差数列性质 2 本题 mnpq mnpqaaaa 属于基础题 注意运算的准确性 14 2017 江苏 9 等比数列的各项均为实数 其前项的和为 已知 n a n S 则 36 763 44 SS 8 a 答案 32 考点 等比数列通项 名师点睛 在解决等差 等比数列的运算问题时 有两个处理思路 一是利用 基本量 将多元问题简化为一元问题 虽有一定量的运算 但思路简洁 目标明确 二是利用等差 等比数列的性质 性质是两种数列基本规律的深刻体现 是解决 等差 等比数列问题既快捷又方便的工具 应有意识地去应用 但在应用性质时 要注意性质的前提条件 有时需要进行适当变形 在解决等差 等比数列的运 算问题时 经常采用 巧用性质 整体考虑 减少运算量 的方法 15 2017 课标 1 文 17 记 Sn为等比数列的前 n 项和 已知 S2 2 S3 n a 6 1 求的通项公式 n a 2 求 Sn 并判断 Sn 1 Sn Sn 2是否成等差数列 答案 1 2 证明见解 析 2 n n a 3 2 1 3 2 1 n n n S 试题分析 1 由等比数列通项公式解得 2 利用等差中2q 1 2a 项证明 Sn 1 Sn Sn 2成等差数列 试题详细分析 1 设的公比为 由题设可得 解得 n a 1 2 1 1 2 1 6 aq aqq 2q 1 2a 故的通项公式为 n a 2 n n a 2 由 1 可得 1 1 1 22 133 1 nn n n aq S q 由于 321 21 42222 2 2 3 1 33 1 3 nnn nn nnn SSS 故 成等差数列 1n S n S 2n S 考点 等比数列 名师点睛 等差 等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现 是解决 等差 等比数列问题既快捷又方便的工具 应有意识地去应用 但在应用性质 时要注意性质的前提条件 有时需要进行适当变形 在解决等差 等比数列的 运算问题时 经常采用 巧用性质 整体考虑 减少运算量 的方法 16 2017 课标 II 文 17 已知等差数列的前项和为 等比数列的 n a n S n b 前项和为 n T 1122 1 1 2abab 1 若 求的通项公式 33 5ab n b 2 若 求 3 21T 3 S 答案 当时 当时 2 1 5 3 21 4 3 6 试题详细分析 1 设的公差为 d 的公比为 q 则 由得 1 2 2 2 d q 3 1 由得 3 3 5 2 2 6 联立 和 解得 舍去 3 0 因此的通项公式 2 1 2 由得 2 20 0 解得 当时 由 得 则 5 8 3 21 当时 由 得 则 4 1 3 6 考点 等差 等比数列通项与求和 名师点睛 在解决等差 等比数列的运算问题时 有两个处理思路 一是利用 基本量 将多元问题简化为一元问题 虽有一定量的运算 但思路简洁 目标明确 二 是利用等差 等比数列的性质 性质是两种数列基本规律的深刻体现 是解决等 差 等比数列问题既快捷又方便的工具 应有意识地去应用 但在应用性质时要 注意性质的前提条件 有时需要进行适当变形 在解决等差 等比数列的运算 问题时 经常采用 巧用性质 整体考虑 减少运算量 的方法 17 2015 高考北京 文 16 本小题满分 13 分 已知等差数列满足 n a 12 10aa 43 2aa I 求的通项公式 n a II 设等比数列满足 问 与数列的第几项相等 n b 23 ba 37 ba 6 b n a 答案 I II 与数列的第项相等 22 n an 6 b n a63 试题详细分析 设等差数列的公差为 n ad 因为 所以 43 2aa 2d 又因为 所以 故 12 10aa 1 210ad 1 4a 所以 42 1 22 n ann 1 2 n 设等比数列的公比为 n b 因为 23 8ba 37 16ba 所以 2q 1 4b 所以 6 1 6 4 2128b 由 得 12822n 63n 所以与数列的第项相等 6 b n a63 考点 等差数列 等比数列的通项公式 名师点晴 本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式 属于中档题 本题通过求等差数列和等比数列的基本量 利用通项公式求 解 解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式 即等差数列的通项公式 等比数列的通项公式 1 1 n aand 1 1 n n aa q 18 2015 高考广东 文 19 本小题满分 14 分 设数列的前项和为 n a n S 已知 且当n 1 1a 2 3 2 a 3 5 4 a 2n 时 211 458 nnnn SSSS 1 求的值 4 a 2 证明 为等比数列 1 1 2 nn aa 3 求数列的通项公式 n a 答案 1 2 证明见解 析 3 7 8 1 1 21 2 n n an 再将数列的通项公式转化为数列是等差数列 进而可得数 1 1 2 nn aa 1 2 n n a 列的通项公式 n a 试题详细分析 1 当时 即2n 4231 458SSSS 解得 4 35335 4 15 18 11 24224 a 4 7 8 a 2 因为 所以 211 458 nnnn SSSS 2n 即 因为 2111 4444 nnnnnn SSSSSS 2n 21 44 nnn aaa 2n 所以 因为 312 5 44164 4 aaa 21 44 nnn aaa 所以数列 21 21111 111 1 1 424221 2 1 42422 22 2 nn nnnnnnn nnnnnn nn aa aaaaaaa aaaaaa aa 是以为首项 公比为的等比数列 1 1 2 nn aa 21 1 1 2 aa 1 2 3 由 2 知 数列是以为首项 公比为的等比数 1 1 2 nn aa 21 1 1 2 aa 1 2 列 所以 1 1 11 22 n nn aa 即 所以数列是以为首项 公差为的等差数列 1 1 4 11 22 nn nn aa 1 2 n n a 1 2 1 2 a 所以 即 所以 21442 1 2 n n a nn 1 11 4221 22 nn n ann 数列的通项公式是 n a 1 1 21 2 n n an 考点 1 等比数列的定义 2 等比数列的通项公式 3 等差数列的通项公式 名师点晴 本题主要考查的是等比数列的定义 等比数列的通项公式和等差 数列的通项公式 属于难题 本题通过将的递推关系式转化为的递推关系式 利用等比数列的定义进行 n S n a 证明 进而可得通项公式 根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解 解 题时一定要注意关键条件 否则很容易出现错误 解本题需要掌握的2n 知识点是等比数列的定义 等比数列的通项公式和等差数列的通项公式 即等 比数列的定义 常数 等比数列的通项公式 等差数列 1n n a q a 1 1 n n aa q 的通项公式 1 1 n aand 19 2016 高考新课标 2 文数 等差数列 中 n a 3457 4 6aaaa 求 的通项公式 n a 设 求数列的前 10 项和 其中表示不超过的最 nn ba n b xx 大整数 如 0 9 0 2 6 2 答案 24 23 5 n n a 试题分析 题目已知数列 是等差数列 根据通项公式列出关于 n a 1 a 的方程 解方程求得 从而求得 根据条件表示不超过d 1 ad n a x 的最大整数 求 需要对分类讨论 再求数列的前 10 项和 x n bn n b 当1 2 3 时 n 23 12 1 5 n n b 当4 5 时 n 23 23 2 5 n n b 当6 7 8 时 n 23 34 3 5 n n b 当9 10 时 n 23 45 4 5 n n b 所以数列的前 10 项和为 n b1 32 23 34 224 考点 等差数列的性质 数列的求和 名师点睛 求解本题会出现以下错误 对 表示不超过的最大整数 xx 理解出错 20 2016 高考北京文数 本小题 13 分 已知是等差数列 是等差数列 且 n a n b3 2 b9 3 b 11 ba 414 ba 1 求的通项公式 n a 2 设 求数列的前n项和 nnn bac n c 答案 1 2 21 n an 1n 2 31 2 n n 试题分析 求出等比数列的公比 求出 的值 根据 n b 11 ba 414 ba 等差数列的通项公式求解 根据等差数列和等比数列的前项和公式求数列的前项和 n c 试题详细分析 I 等比数列的公比 n b 3 2 9 3 3 b q b 所以 2 1 1 b b q 43 27bb q 设等差数列的公差为 n ad 因为 11 1ab 144 27ab 所以 即 1 1327d 2d 所以 21 n an 1n 1 1 3211 33n n Sn 1211 3 21 3 n nn 2 31 2 n n 考点 等差 等比数列的通项公式和前 n 项和公式 考查运算能力 名师点睛 1 数列的通项公式及前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函数 是 函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲 数列的问题 最终归结为对数列通 项的研究 而数列的前 n 项和 Sn可视为数列 Sn 的通项 通项及求和是数列中最 基本也是最重要的问题之一 2 数列的综合问题涉及到的数学思想 函数与方 程思想 如 求最值或基本量 转化与化归思想 如 求和或应用 特殊到一般 思想 如 求通项公式 分类讨论思想 如 等比数列求和 或 等 1 q1 q 21 2015 高考四川 文 16 设数列 an n 1 2 3 的前 n 项和 Sn满足 Sn 2an a3 且 a1 a2 1 a3成等差数列 求数列的通项公式 设数列的前 n 项和为 Tn 求 Tn 1 n a 由已知 Sn 2an a1 有 an Sn Sn 1 2an 2an 1 n 2 由 得所以 Tn 11 2n n a 2 11 1 1111 22 1 1 2222 1 2 n nn 考点定位 本题考查等差数列与等比数列的概念 等比数列通项公式与前 n 项和等基础知识 考查运算求解能力 名师点睛 数列问题放在解答题第一题 通常就考查基本概念和基本运算 对于已知条件是 Sn与 an关系式的问题 基本处理方法是 变更序号作差 这 种方法中一定要注意首项 a1是否满足一般规律 代入检验即可 或者根据变换过 程中 n 的范围和递推关系中的表达式判断 数列求和时 一定要注意首项 公比 和项数都不能出错 同时注意 对于较为简单的试题 解 析步骤一定要详细具 体 不可随意跳步 属于简单题 22 2016 高考四川文科 本小题满分 12 分 已知数列 的首项为 1 为数列的前 n 项和 其中 n a n S n a 1 1 nn SqS q 0 nN 若 成等差数列 求的通项公式 2323 a a aa n a 设双曲线 的离心率为 且 求 2 2 2 1 n y x a n e 2 2e 222 12n eee 答案 1 n n aq 1 31 2 n n 试题分析 已知的递推式 一般是写出当时