高二合情推理

第 1 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 年年 级级高二学科学科数学 内容标题内容标题合情推理 编稿老师编稿老师李彬 一 学习目标一 学习目标 结合已学过的数学实例和生活中的实例 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比的 方法进行简单的推理 体会并认识合情推理在数学发现中的作用 提高学生学习数学的兴 趣 二 考点分析二 考点分析 1 推理一般由两部分组成 一部分是已知的事实 或假设 叫做前提 一部分是由 已知判断推出的新判断 叫做结论 2 前提为真时 结论可能为真的推理 叫做合情推理 归纳推理和类比推理是数学中 常用的合情推理 3 由某类事物的部分对象具有某些特征 或性质 推出该类事物的全部对象都具有 这些特征 或性质 的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 叫做归纳推理 简 称归纳 归纳推理是由特殊到一般 部分到整体的推理 归纳推理的基础是观察 分析 归纳推理的作用是发现新事实 得出新结论 要注意的是归纳推理的结论不一定成立 注 归纳推理的一般步骤是 1 通过观察个别情况发现某些相同特征 2 从已知的相同特征中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 4 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也 具有这些特征的推理 叫做类比推理 简称类比 类比推理是由特殊到特殊的推理 类 比推理是以旧的知识为基础 推测新的结果 具有发现的功能 类比推理的结论不一定成 立 注 类比推理的一般步骤是 1 找出两类对象之间的类似特征 2 用一类事物的特征去推测另一类事物的特征 得出一个明确命题 猜想 典型例题典型例题 例 1 数一数图中的凸多面体的面数 F 顶点数 V 和棱数 E 然后探求面数 F 顶点数 V 和棱数 E 之间的关系 第 2 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 凸多面体面数 F 顶点数 V 棱数 E 四棱柱6812 三棱锥446 八面体8612 三棱柱569 四棱锥558 尖顶塔9916 猜想凸多面体的面数 F 顶点数 V 和棱数 E 之间的关系式为 F V E 2 例 2 通过计算可得下列等式 11212 22 12223 22 13234 22 12 1 22 nnn 第 3 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 将以上各式分别相加得 nnn 321 21 1 22 即 2 1 321 nn n 类比上述求法 请你求出的值 2222 321n 解 解 1131312 233 1232323 233 1333334 233 133 1 233 nnnn 将以上各式分别相加得 nnnn 321 3 321 31 1 222233 所以 2 1 31 1 3 1 321 32222 n n nnn 12 1 6 1 nnn 例 3 在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间 某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若 干堆 正三棱锥 形的展品 其中第一堆只有一层 就一个乒乓球 第 2 3 4 堆最 底层 第一层 分别按图所示方式固定摆放 从第一层开始 每层的小球自然垒放在下一层 之上 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球 以表示第 n 堆的乒乓球总数 则 nf 3 f 答案用 n 表示 nf 分析 分析 解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系 即下一堆的个数是上一堆的个数加上 其第一层的个数 其次是求出第一层的通项公式 解 解 f 1 1 观察图象可知 f 2 4 f 3 10 f 4 20 下一堆的个数是上 一堆的个数加上其第一层的个数 而第一层的个数满足 1 3 6 10 通项公式是 所以 f n f n 1 2 1 nn 2 1 nn 所以有 f 2 f 1 2 12 2 f 3 f 2 2 13 3 第 4 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 f 4 f 3 2 14 4 f n f n 1 2 1 nn 以上各式相加得 f n f 1 2 443322 2222 nn 2 4321 4321 22222 nn 2 2 1 6 12 1 nnnnn 6 2 1 nnn 所以应该填 10 6 2 1 nnn 点评 点评 求 f n 的通项公式时运用累差法思想求解 可见高考题多数依据课本知识 思想 或方法的设计题目 解决问题的关键是找到相邻两项的关系 例 4 半径为 r 的圆的面积 周长 若将 r 看作上 2 rrS rrC 2 0 的变量 则 式可用语言叙述为 圆的面积函数的导数等于圆的rr 2 2 周长函数 对于半径为 R 的球 若将 R 看作上的变量 请你写出类似于 的式子 0 式可用语言叙述为 解 解 由提供的形式找出球的两个常用量体积 表面积公式 类似写出恰好成立 3 4 3 RRV 2 4 RrS 答案 答案 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 3 4 3 R 4 2 R 点评 点评 主要考查类比意识 考查学生分散思维 注意将圆的面积与周长与球的体积与表面 积进行类比 例 5 在平面上有 n 条直线 任何两条都不平行 并且任何三条都不交于同一点 问 这些直线把平面最多分成多少部分 解析 解析 设 n 条直线分平面为部分 先试验观察特例有如下结果 n S n123456 第 5 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 n S 2471 1 1 6 2 2 与之间的关系发现如下规律 n n S n S 3 2 1 nnSn 这是因为在 n 1 条直线后添加第 n 条直线被原 n 1 条直线截得的 n 段中的任何一段 都将它所在的原平面一分为二 相应地增加 n 部分 所以 即 n SnSn 1n S 1 nSn 从而 2 S2 1 S 3 S3 2 S 4 S4 3 S n S 1 nSn 将上面各式相加有 所以 n SnS 32 1 2 2 3 n 1 1 2 n 1 n SnS 32 1 1 2 1 nn 注意 也可由如下观察发现 由上表知 n S11 1 S211 2 S 1 1 2 3 4 依此类推 便可猜想到 3211 3 S 4 S 1 2 3 n 1 n S 1 2 1 nn 点评 点评 运用归纳推理需要考查部分对象的情形 从而归纳猜想出一般规律 这样往往有时 计算量大 易出偏差 且内部潜在的规律性有时难于看出来 就用 递推法 取代 经验 归纳法 转向考查问题每递进一步所反映的规律 即探求递推关系 最后用初始值及递推 关系来寻找一般规律 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 一 选择题一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 数列 中的等于 2 5 11 20 47 xx A B C D 28323327 2 观察下列数 1 3 2 6 5 15 14 x y z 122 中 x y z 的值依次是 A 42 41 123 B 13 39 123 C 24 23 123 D 28 27 123 3 一同学在电脑中打出如下若干个圈 若将此若干个圈依此规律继续下去 得 到一系列的圈 那么在前 120 个圈中的 有 个 A 12B 13C 14D 15 4 下面使用类比推理正确的是 第 6 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 A 若 则 类推出 若 则 33ab ab 00ab ab B 若 类推出 ab cacbc a b cac bc C 若 类推出 c 0 ab cacbc abab ccc D 类推出 nn aa b n b nn aab n b 5 设 n N 则 sin 010 xfxfxxf 21 fxfx 1 nn fxfx 2007 fx A B C D sin xsin xcosxcosx 6 在十进制中 那么在 5 进制中数码 2004 0123 20044 100 100 102 10 折合成十进制为 A 29 B 254C 602D 2004 二 填空题二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 7 从中得出的一般性结论是 222 576543 3432 11 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8 若数列中 则 n a 1234 1 35 79 11 13 15 17 19 aaaa 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 10 a 9 观察 1 110tan60tan60tan20tan20tan10tan 2 15tan75tan75tan10tan10tan5tan 通过观察上述两等式的规律 则一般性的命题为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 10 若数列的通项公式 记 n a 1 1 2 Nn n an 试通过计算的值 推测出 1 1 1 21n aaanf 3 2 1 fff nf 三 解答题三 解答题 本大题共 4 题 共 50 分 11 已知 2 3 150sin90sin30sin 222 2 3 125sin65sin5sin 222 第 7 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 通过观察上述两等式的规律 请你写出一般性的命题 并给出证明 12 自然状态下鱼类是一种可再生资源 为持续利用这一资源 需从宏观上考察其再 生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响 用表示某鱼群在第年年初的总量 n xn Nn 且 0 不考虑其它因素 设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比 死亡量与 1 xn n x 成正比 这些比例系数依次为正常数 2 n xcba 求与的关系式 1 n x n x 猜测 当且仅当 满足什么条件时 每年年初鱼群的总量保持不变 1 xcba 不要求证明 13 在DEF 中有余弦定理 拓展到 DFEEFDFEFDFDE cos2 222 空间 类比三角形的余弦定理 写出斜三棱柱 ABC 的 3 个侧面面积与其中两个侧 111 CBA 面所成二面角之间的关系式 并予以证明 14 已知数列 其中是首项为 1 公差为 1 的等差数列 3021 aaa 1021 aaa 是公差为的等差数列 是公差为的等差数列 201110 aaa d 302120 aaa 2 d0 d 1 若 求 40 20 ad 2 试写出关于的关系式 并求的取值范围 30 ad 30 a 3 续写已知数列 使得是公差为的等差数列 依次类推 403130 aaa 3 d 把已知数列推广为无穷数列 提出同 2 类似的问题 2 应当作为特例 并进行研究 你能得到什么样的结论 第 8 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 试题答案试题答案 一 选择题一 选择题 1 B 解析 推出523 11 56 20 119 2012 32xx 2 A 3 C 4 C 5 D 6 B 二 填空题二 填空题 7 注意左边共有项 2 1 212 32 21 nnnnnnnN 21n 8 解析 前项共使用了个奇数 1000101234 1055 由第个到第个奇数的和组成 10 a4655 即 10 10 91 109 2 46 1 2 47 1 2 55 1 1000 2 a 9 若都不是 且 则 90 90 tantantantantantan1 10 2 22 n f n n 解析 222 111 1 1 1 23 1 f n n 111111 1 1 1 1 1 1 223311 1324322 223341122 nn nnn nnn 三 解答题三 解答题 11 解 一般性的命题为 222 3 sin 60 sinsin 60 2 证明 左边 2 1202cos1 2 2cos1 2 1202cos1 1202cos2cos1202 cos 2 3 第 9 页 版权所有版权所有 不得复制不得复制 2 3 所以左边等于右边 12 解 I 从第 n 年初到第 n 1 年初 鱼群的繁殖量为 axn 被捕捞量为 bxn 死亡 量为 2 n cx II 若每年年初鱼群总量保持不变 则 xn恒等于 x1 n 从而由 式得 c ba x 0 cxba Nn 0 cxba x 11nn 即所以恒等于 因为 x1 0 所以 a b 猜测 当且仅当 a b 且时 每年年初鱼群的总量保持不变 c ba x 1 13 分析 根据类比猜想得出 cos2 1111111111 222 BBCCAABBBBCCAABBCCAA SSSSS 其中为侧面为与所成的二面角的平面角 11A ABB 11B BCC 证明 作斜三棱柱的直截面 DEF 111 CBAABC 则为面与面所成角 在中有余弦定理 DFE 11A ABB 11B BCCDEF cos2 222 EFDFEFDFDE 同乘以 得 2 1 AA cos2 11 2 1 22 1 22 1 2 AAEFAADFAAEFAADFAADE 即 cos2 1111111111 222 BBCCAABBBBCCAABBCCAA SSSSS 14 解 1 3 401010 10 2010 ddaa 2 0 11010 22 2030 ddddaa 4 3 2 1 10 2 30 da 当