概率论与数理统计试卷及答案

模拟试题一模拟试题一 一 填空题 每空 3 分 共 45 分 1 已知 P A 0 92 P B 0 93 P B 0 85 则 P A P A B AB 2 设事件 A 与 B 独立 A 与 B 都不发生的概率为 A 发生且 B 不发生的概率与 B 发生且 A 不发生的概 1 9 率相等 则 A 发生的概率为 3 一间宿舍内住有 6 个同学 求他们之中恰好有 4 个人的生日在同一个月份的概率 没有任何人的生日在同一个月份的概率 4 已知随机变量 X 的密度函数为 则常数 A 分布函数F x 0 1 4 02 0 2 x Aex xx x 概率 0 51 PX 5 设随机变量 X B 2 p Y B 1 p 若 则 p 若 X 与 Y 独立 1 5 9P X 则 Z max X Y 的分布律 6 设且 X 与 Y 相互独立 则 D 2X 3Y 200 0 01 4 XBYP COV 2X 3Y X 7 设是总体的简单随机样本 则当 时 125 XXX 0 1 XNk 12 222 345 3 k XX Yt XXX 8 设总体为未知参数 为其样本 为样本均值 则 0 0XU 12 n XXX 1 1 n i i XX n 的矩估计量为 9 设样本来自正态总体 计算得样本观察值 求参数a的置信度为 95 的 129 XXX 1 44 N a10 x 置信区间 二 计算题 35 分 1 12 分 设连续型随机变量 X 的密度函数为 1 02 2 0 xx x 其它 求 1 2 的密度函数 3 21 2 PX 2 YX Y y 21 EX 2 12 分 设随机变量 X Y 的密度函数为 1 4 02 0 yxx x y 与与 1 求边缘密度函数 XY xy 2 问 X 与 Y 是否独立 是否相关 3 计算 Z X Y 的密度函数 Z z 3 11 分 设总体 X 的概率密度函数为 1 0 0 00 x ex x x X1 X2 Xn是取自总体 X 的简单随机样本 1 求参数的极大似然估计量 2 验证估计量是否是参数的无偏估计量 三 应用题 20 分 1 10 分 设某人从外地赶来参加紧急会议 他乘火车 轮船 汽车或飞机来的概率分别是 3 10 1 5 1 10 和 2 5 如果他乘飞机来 不会迟到 而乘火车 轮船或汽车来 迟到的概率分别是 1 4 1 3 1 2 现此人迟到 试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大 2 10 分 环境保护条例 在排放的工业废水中 某有害物质不得超过 0 5 假定有害物质含量 X 服从正 态分布 现在取 5 份水样 测定该有害物质含量 得如下数据 0 530 0 542 0 510 0 495 0 515 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定 0 05 附表 模拟试题二模拟试题二 一 填空题 45 分 每空 3 分 1 设 则 0 5 0 6 0 1 P AP B AP AB P B P AB 2 设三事件相互独立 且 若 则 A B C P AP BP C 37 64 P ABC P A 3 设一批产品有 12 件 其中 2 件次品 10 件正品 现从这批产品中任取 3 件 若用表示取出的 3 件产X 品中的次品件数 则的分布律为 X 4 设连续型随机变量的分布函数为X arctan F xABxxR 则 的密度函数 A B X x 5 设随机变量 则随机变量的密度函数 2 2 XU 1 1 2 YX Y y 6 设的分布律分别为 X Y 1 0 1 0 1XY 1 4 1 2 1 4 1 2 1 2PP 且 则的联合分布律为 和 0 0P XY X Y 1 P XY 7 设 则 0 25 0 36 0 4 X YNcov X Y 1 31 2 DXY 8 设是总体的样本 则当 时 统计量 1234 XXXX 0 4 Na b 服从自由度为 2 的分布 22 1234 2 34 Xa XXbXX 2 9 设是总体的样本 则当常数 时 是参数 12 n XXX 2 N a k 22 1 n i i kXX 的无偏估计量 2 10 设由来自总体容量为 9 的样本 得样本均值 5 则参数的置信度为 0 95 的置信区 2 0 9 XN axa 间为 二 计算题 27 分 1 15 分 设二维随机变量的联合密度函数为 X Y 1 02 02 8 0 xyxy x y 其它 1 求的边缘密度函数 XY与 XY xy 2 判断是否独立 为什么 XY与 3 求的密度函数 ZXY Z z 2 12 分 设总体的密度函数为X 0 x ex x x 其中是未知参数 为总体的样本 求0 12 n XXX X 1 参数的矩估计量 2 的极大似然估计量 1 2 三 应用题与证明题 28 分 1 12 分 已知甲 乙两箱中有同种产品 其中甲箱中有 3 件正品和 3 件次品 乙箱中仅有 3 件正品 从 甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后 1 求从乙箱中任取一件产品为次品的概率 2 已知从乙箱中取出的一件产品为次品 求从甲箱中取出放入乙箱的 3 件产品中恰有 2 件次品的概 率 2 8 分 设某一次考试考生的成绩服从正态分布 从中随机抽取了 36 位考生的成绩 算得平均成绩 分 标准差分 问在显著性水平下 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为66 5x 15s 0 05 70 分 并给出检验过程 3 8 分 设 证明 相互独立 0 1P A AB与 P B AP B A 附表 0 950 9750 950 95 1 65 1 96 35 1 6896 36 1 6883 uutt 0 9750 975 35 2 0301 36 2 0281 tt 模拟试题三模拟试题三 一 填空题 每题 3 分 共 42 分 1 设 若互斥 则 0 3 0 8 P AP AB AB与 P B 独立 则 若 则 AB与 P B AB P AB 2 在电路中电压超过额定值的概率为 在电压超过额定值的情况下 仪器烧坏的概率为 则由于电 1 p 2 p 压超过额定值使仪器烧坏的概率为 3 设随机变量的密度为 则使成立的常数 X 3 4 01 0 xx x 与与 P XaP Xa a 0 51 5 PX 4 如果的联合分布律为 X Y Y 1 2 3 X 1 1 6 1 9 1 18 2 1 3 则应满足的条件是 若独立 01 01 1 3 XY与 31 E XY 5 设 且 则 XB n p2 4 1 44 EXDX n p 6 设 则服从的分布为 2 XN a 3 2 X Y 7 测量铝的比重 16 次 得 设测量结果服从正态分布 参数未知 2 705 0 029xs 2 N a 2 a 则铝的比重的置信度为 95 的置信区间为 a 二 12 分 设连续型随机变量 X 的密度为 0 0 0 x cex x x 1 求常数 c 2 求分布函数 F x 3 求的密度21YX Y y 三 15 分 设二维连续型随机变量的联合密度为 X Y 01 0 0 cxyx x y 与与 1 求常数 2 求的边缘密度 cXY与 XY xy 3 问是否独立 为什么 XY与 4 求的密度 5 求 ZXY Z z 23 DXY 2 参数的极大似然估计量 2 五 10 分 某工厂的车床 钻床 磨床和刨床的台数之比为 9 3 2 1 它们在一定时间内需要修理的概率之 比为 1 2 3 1 当有一台机床需要修理时 求这台机床是车床的概率 六 10 分 测定某种溶液中的水份 设水份含量的总体服从正态分布 得到的 10 个测定值给出 2 N a 试问可否认为水份含量的方差 0 452 0 037xs 2 0 04 0 05 2222 0 9750 9750 950 95 10 20 483 9 19 023 10 18 307 9 16 919 模拟试题四模拟试题四 一 填空题 每题 3 分 共 42 分 四 11 分 设总体 X 的密度为 1 01 0 xx x 与与 其中是未知参数 是来自总体 X 的一个样本 求1 1 n XX 1 参数的矩估计量 1 附表 2222 0 050 0250 050 05 10 3 94 10 3 247 9 3 325 9 2 7 1 设 为随机事件 则与中至少有一个不发生的概率为 AB 0 8P B 0 2P BA AB 当独立时 则 AB与 P B AB 2 椐以往资料表明 一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律 与与与与P 0 6 0 5 0 4 那么一个三口之家患这种 与与与与与与与与P 与与与与与与与与与与与P 传染病的概率为 3 设离散型随机变量的分布律为 则 X 2 1 0 3 k k akXP k a 1 XP 4 若连续型随机变量的分布函数为X 3 1 33 3 arcsin 3 0 x x x BA x xF 则常数 密度函数 A B x 5 已知连续型随机变量的密度函数为 则 X 2 21 8 1 8 xx f xex 14 XE 2 EX 21XP 6 设 且与独立 则 X 3 1 UY 2 PXY 3 YXD 7 设随机变量相互独立 同服从参数为分布的指数分布 令YX 0 的相关系数 则 YXVYXU 2 2 VUCOV VU 注 6915 0 5 0 8143 0 1 二 计算题 34 分 1 18 分 设连续型随机变量的密度函数为 YX与 01 01 0 xyxy x y 其他 1 求边缘密度函数 yx YX 2 判断与的独立性 XY 3 计算 cov X Y 3 求的密度函数 max YXZ z Z 2 16 分 设随机变量与相互独立 且同分布于 令 XY 10 1 ppB 1 0 XY Z XY 若为偶数 若为奇数 1 求的分布律 Z 2 求的联合分布律 ZX与 3 问取何值时与独立 为什么 pXZ 三 应用题 24 分 1 12 分 假设一部机器在一天内发生故障的概率是 0 2 若一周 5 个工作日内无故障则可获 10 万元 若仅有 1 天故障则仍可获利 5 万元 若仅有两天发生故障可获利 0 万元 若有 3 天或 3 天以上出现故 障将亏损 2 万元 求一周内的期望利润 2 12 分 将 三个字母之一输入信道 输出为原字母的概率为 0 8 而输出为其它一字母ABC 的概率都为 0 1 今将字母 之一输入信道 输入 AAAABBBBCCCCAAAABBBB 的概率分别为 0 5 0 4 0 1 已知输出为 问输入的是的概率是多少 设CCCCABCAAAAA 信道传输每个字母的工作是相互独立的 答答 案 模拟试题一 案 模拟试题一 四 填空题 每空 3 分 共 45 分 1 0 8286 0 988 2 2 3 3 142 126 6 11 12 C C 6 12 6 6 12 C 4 1 2 F x 1 0 2 1 02 24 1 2 x ex x x x 0 51 PX 0 5 31 42 e 5 p 1 3 Z max X Y 的分布律 Z 0 1 2 P 8 27 16 27 3 27 6 D 2X 3Y 43 92 COV 2X 3Y X 3 96 7 当 时 k 3 2 12 222 345 3 k XX Yt XXX 8 的矩估计量为 2X 9 9 216 10 784 五 计算题 35 分 1 解 1 9 21 2 0 51 5 16 PXPX 2 1 0 2 0 0 1 04 4 0 XX Y yyy yy y y 其它 3 45 21 2121 33 EXEX 2 解 1 1 02 02 42 0 0 x Xx x dyxx xx y dy 其它 其它 2 1 1 2 2 2 4 4 0 0 yY dxy yy yx y dx 其它 其它 2 显然 所以 X 与 Y 不独立 XY x yxy 又因为 EY 0 EXY 0 所以 COV X Y 0 因此 X 与 Y 不相关 3 2 2 11 04 04 428 0 0 Z z zx zx dx z dxzz 其它其它 3 解 1 1 12 1 11 n i ii x x n n n i L x xxee 12 ln ln n nx L x xxn 令 2 ln 0 dLnnx d 解出 X 2 EEXEX 的无偏估计量 是 六 应用题 20 分 1 解解 设事件 A1 A2 A3 A4 分别表示交通工具 火车 轮船 汽车和飞机 其概率分别等于 3 10 1 5 1 10 和 2 5 事件 B 表示 迟到 已知概率分别等于 1 4 1 3 1 2 0 1 2 3 4 i P B Ai 则 4 1 ii i P BP A P B A 23 120 11 1 9 23 P A P B A P A B P B 22 2 8 23 P A P B A P AB P B 33 3 6 23 P A P B A P AB P B 44 4 0 P A P B A P AB P B 由概率判断他乘火车的可能性最大 2 解 0 0 5Ha 1 0 5Ha 拒绝域为 00 95 0 5 5 4 x t s 计算0 5184 0 018xs 0 95 0 5 52 2857 4 x tt s 所以 拒绝 说明有害物质含量超过了规定 0 H 附表 答答 案 模拟试题二 案 模拟试题二 一 填空题 45 分 每空 3 分 1 2 0 4 0 4P BP AB 1 4 P A 3 0 1 2 6 11 9 22 1 22XP 4 1 1 2 A B 2 1 1 xxR x 5 1 0 2 2 0 0 2 Y y y y 6 Y X 0 1 11 4 0 0 1 01 2 1 4 0 3 1 4 P XY 7 1 cov 12 31 198 2 X YDXY 8 11 20100 ab 9 10 1 1 k n 4 412 5 588 二 计算题 27 分 1 1 11 1 0 2 1 0 2 44 0 0 2 0 0 2 XY xxyy xy xy 2 不独立 3 2 1 02 8 1 4 24 8 0 Z zz zzzz 其它 2 1 计算 1 x EXxedx 根据矩估计思想 1xEX 解出 1 1X 2 似然函数 1 1 0 0 i n x nx n i i i n exex L xx 其它 其它 显然 用取对数 求导 解方程的步骤无法得到的极大似然估计 用分析的方法 因为 所以 即 1 x 1 x ee 11 1 nn L xxL xxx 所以 当时 使得似然函数达最大 极大似然估计为 2 1 1 min n XXX 2 三 1 解 1 设表示 第一次从甲箱中任取 3 件 其中恰有 i 件次品 i 0 1 2 3 i A 设表示 第二次从乙箱任取一件为次品 的事件 B 321123111 333333312 3313131 1 6666666 1 0 4 n ii i CC CC CCCCC P BP A P B A CCCCCCC 2 2 2 0 6 P A B P AB P B 2 解 0 70Ha 1 70Ha 拒绝域为 00 975 70 36 35 x t s 根据条件 计算并比较66 5x 15s 0 975 70 361 4 35 2 0301 x t s 所以 接受 可以认为平均成绩为 70 分 0 H 3 8 分 证明 因为 P B AP B A P AB P AP AB P A 1 P ABP AP BP AB P A P ABP B P A 相互独立 AB与 答 案 模拟试题三 一 填空题 每题 3 分 共 42 分 1 0 5 2 7 0 5 2 1 p 2 p 3 15 16 4 1 2 0 51 5 PX 4 2 9 1 9 17 3 01 01 1 3 5 6 0 4 6 n p 2 3 24 a N 7 2 6895 2 7205 二 解 1 0 11 x x dxce dxc 2 0 0 0 1 0 x x tx x F xt dt e dtex 3 Y 的分布函数 1 21 2 Y y FyPXyP X 1 1 2 2 0 1 1 1 0 1 0 1 y y x e dxy ey y y 1 2 1 1 2 0 1 y Y ey y y 三 解 1 1 00 1 2 x c x y dxdycdydx 2c 2 0 22 01 0 x X dyxx xx y dy 与与 1 22 1 01 0 y Y dyyy yx y dx 与与 3 不独立 XY与 4 2 1 2 2 01 22 12 0 z z X Y z dyzz zx zx dxdyzz 与与 5 11 223 00 21 2 2 32 EXx dxEXx dx 11 22 00 11 2 1 2 1 36 EYyy dyEYyy dx 22 121111 23186318 DXDY 1 00 1 2 4 x EXYxydydx 12 11 cov 43 336 X YEXYEX EY 7 23 492cov 2 3 18 DXYDXDYXY 四 解 1 1 0 1 1 2 EXxx dx 令 即EXx 1 2 x 解得 1 21 1 X X 2 11 1 01 1 2 nn n iii ii Lxxxin 1 ln ln 1 ln n i i Lnx 1 ln ln0 1 n i i Ln x 解得 2 1 1 ln n i i n X 五 解 设 某机床为车床 1 A 1 9 15 P A 某机床为钻床 2 A 2 1 5 P A 某机床为磨床 3 A 3 2 15 P A 某机床为刨床 4 A 4 1 15 P A 需要修理 B 1 1 7 P B A 2 2 7 P B A 3 3 7 P B A 4 1 7 P B A 则 4 1 22 105 ii i P BP A P B A 11 1 9 22 P A P B A P A B P B 六 解 22 01 0 04 0 04HH 拒绝域为 22 21 2 22 00 1 1 1 1 nSnS nn 与 计算得 查表得 2 2 0 1 9 1 0 037 0 2738 0 04 ns 2 0 025 9 2 70 2738 样本值落入拒绝域内 因此拒绝 0 H 2222 0 9750 9750 950 95 10 20 483 9 19 023 10 18 307 9 16 919 答答 案 模拟试题四 案 模拟试题四 一 填空题 每题一