2019-2020学年宜昌市葛洲坝中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期末数学试题一、单选题1设命题p:1,n22n,则p为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据命题的否定，可以写出：，所以选C.2在ABC中，若，则ABCD或【答案】A【解析】由正弦定理有，所以 ，又因为,故，选A.点睛：本题主要考查了用正弦定理解三角形，属于易错题。本题运用大边对大角定理是解题的关键。3设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 ( )A2B-4C-2D4【答案】D【解析】根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果.【详解】因为，所以，解之得，应选答案D【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题.4在等差数列an中，若a3a4a53，a88，则a12的值是( )A15B30C31D64【答案】A【解析】由等差数列性质求进而利用等差中项求得a12【详解】由a3a4， 又15故选：A【点睛】本题考查等差数列的基本性质，熟记性质准确计算是关键，是基础题5已知直线和直线，则“”是“直线的法向量恰是直线的方向向量”（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【答案】A【解析】计算直线的法向量恰是直线的方向向量的等价条件为或，得到答案.【详解】直线的法向量恰是直线的方向向量等价于两直线垂直直线和直线垂直，故 ，解得或 “”是“直线的法向量恰是直线的方向向量”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件，找到等价条件是解题的关键.6直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则（ ）A-2B-1C1D2【答案】A【解析】，设，两式相减，中点的横坐标为1则纵坐标为将代入直线，解得点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用，要注意灵活应用题目中的直线的中点即直线的斜率的条件的表示，本题中设而不求的解法是处理直线与圆锥取消相交中涉及到斜率与中点时常用的方法，比较一般联立方程的方法可以简化基本运算7若双曲线的渐近线与抛物线相切，则的离心率为（ ）ABC2D【答案】A【解析】由题意得，联立直线与抛物线，得，由得，即,所以，故选A.点睛:本题考查椭圆的几何性质以及余弦定理的应用.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于， ， 的方程或不等式，再根据， ， 的关系消掉得到， 的关系式，建立关于， ， 的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.8中国当代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ）A24里B48里C96里D192里【答案】D【解析】每天行走的步数组成公比为的等比数列,根据前6项和为378列式可解得.【详解】设第天行走了步,则数列是等比数列,且公比,因为,所以,所以 ,所以第一天走了192里.故选D【点睛】本题考查了等比数列的前项和公式中的基本量的计算,属于基础题.9数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，1+2+22+2n1，前n项和Sn1020，则n的最小值是( )A7B8C9D10【答案】D【解析】依题意数列每一项都是一个等比数列的和，数列通项公式，故选D.10己知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图像沿轴向左平移个单位，得到函数的图像，关于函数,下列说法正确的是（）A在上是增函数B其图像关于对称C函数是奇函数D在区间上的值域为-2，1【答案】D【解析】根据的零点构成一个公差为的等差数列可得函数的周期，从而得出函数的解析式，沿轴向左平移个单位，便可得到函数的解析式，由的解析式逐项判断选项的正确与否.【详解】解：可变形为，因为的零点构成一个公差为的等差数列，所以的周期为，故，解得，所以，函数的图像沿轴向左平移个单位后得到，选项A：，解得：，即函数的增区间为显然，故选项A错误；选项B：令，解得：，即函数的对称轴为不论取何值，对称轴都取不到，所以选项B错误；选项C：的定义域为R，因为，所以函数不是奇函数，故选项C错误；选项D：当时，故，根据余弦函数图像可得，故选项D正确.故本题应选D.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质，考查了图像平移的规则，整体法思想是解决本题的思想方法.11已知点是抛物线的准线上一点，为抛物线的焦点，为抛物线上的点，且，若双曲线中心在原点，是它的一个焦点，且过点，当取最小值时，双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由于在抛物线准线上,故,故抛物线方程为,焦点坐标为.当直线和抛物线相切时,取得最小值,设直线的方程为,代入抛物线方程得,判别式,解得,不妨设,由,解得,即.设双曲线方程为,将点坐标代入得,即,而双曲线,故,所以,解得,故离心率为,故选C.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查直线和双曲线的位置关系,考查直线和抛物线相切时的代数表示方法,考查双曲线的离心率求解方法.在有关椭圆,双曲线和抛物线等圆锥曲线有关的题目时,一定要注意焦点在哪个坐标轴上,比如本题中,抛物线的焦点在轴上,而双曲线的焦点也在轴上.12在棱长为1的正方体中，分别在棱上，且满足，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则ABCD【答案】B【解析】利用空间向量的共面定理可得在不同基底下的表示方法，从而可求.【详解】因为， 在平面内，所以;同理可得，解得，故选B.【点睛】本题主要考查空间向量的共面定理.利用四点共面的特点，建立等量关系式是求解关键.二、填空题13复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第_象限【答案】一【解析】对复数进行化简得，在复平面内对应的点在第一象限.【详解】由题：，在复平面内对应的点在第一象限.故答案为：一【点睛】此题考查复数的基本运算和判断复数对应点在复平面内所在象限，关键在于准确计算.14已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则数列的公式_，如果，则_.【答案】 【解析】设等比数列的公比为，则成等差数列可转化为关于公比的方程，解这个方程可得公比，再利用公式计算即可【详解】设等比数列的公比为，因为成等比数列，则即，因，故即，所以又，故填【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质即通过数列下标的特征或数列和式的特征找到合适的数列性质快速解决问题15已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为_.【答案】【解析】由可知为直径，从而，可设，则就是关于的三角函数式，利用可求最大值【详解】由可知为直径，从而，设，则，当时，的最大值为填【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量或与已知的角的边有关的向量转化.同时注意寻找在向量变化的过程中确定的量，以便把动态的向量向这些确定的向量转化.16已知分别是双曲线的左、右焦点，过点作垂直与轴的直线交双曲线于，两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是_【答案】【解析】根据双曲线的通径求得点的坐标，将三角形为锐角三角形，转化为，即，将表达式转化为含有离心率的不等式，解不等式求得离心率的取值范围.【详解】根据双曲线的通径可知，由于三角形为锐角三角形，结合双曲线的对称性可知，故，即，即，解得，故离心率的取值范围是.【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率的取值范围的求法，考查双曲线的通径，考查双曲线的对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.本小题的主要突破口在将三角形为锐角三角形，转化为，利用列不等式，再将不等式转化为只含离心率的表达式，解不等式求得双曲线离心率的取值范围.三、解答题17某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在1000,1500)(1)求居民月收入在2000,2500)的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)在月收入为2500,3000),3000,3500),3500,4000的三组居民中，采用分层抽样方法抽出90人作进一步分析，则月收入在3000,3500)的这段应抽多少人？【答案】（1）0.25（2）2400（3）30人【解析】（1）根据频率分布直方图求出2000,2500)对应小矩形的面积即该组频率；（2）中位数为，列方程使得中位数左侧面积为0.5即可；（3）求出月收入为2500,3000),3000,3500),3500,4000的三组居民各组人数，再按照分层抽样方式抽取.【详解】（1）2000,2500)对应小矩形的面积：，所以居民月收入在2000,2500)的频率为0.25；（2）设中位数为，解得，所以中位数的估计值为2400；（3）收入在的人数为，收入在的人数为，收入在的人数为，分层抽样，在月收入在这段应抽取的人数为：.【点睛】此题考查根据频率分布直方图求中位数和小矩形面积，并考查分层抽样.18在中，角，所对的边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由正弦定理，将边长转化为正弦，由内角的范围和特殊三角函数值，求出角A；（2）由余弦定理以及三角形面积公式求出的值，再求出周长。试题解析：（1）由正弦定理知：，； ；，（2）； 的周长为19已知等差数列的公差为d，且关于x的不等式的解集为，求数列的通项公式；若，求数列前n项和【答案】（1），即. （2）【解析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，利用分组法求出数列的和【详解】（1）由题知，等差数列an的公差为d，且方程的两个根分别为1，3则根据韦达定理得到：解得，故数列an的通项公式为an=a1+（n1）d=1+（n1）2=2n1（2）据（1）求解知，所以，所以【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等20如图，四棱锥的底面是平行四边形，线段与的中点分别为（1）求证：（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）设的中点为，连接，可证四边形为平行四边形，从而得到平面.（2）建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）设的中点为，连接，因为分别为的中点，所以.因为四边形是平行四边形，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形.故，而平面，平面，所以平面.（2）以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，故，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量，所以，而二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.【点睛】（1）线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.（2）空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.21已知抛物线：的焦点为，直线：交抛物线于两点，是线段的中点，过怍轴的垂线交抛物线于点.（1）若，且，求直线的方程（2）若，且，求抛物线的方程【答案】（1）或；（2）【解析】（1）利用弦长公式可求直线的斜率，从而得到直线方程.（2）设，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理可得，从而，再根据以及韦达定理得到关于的方程，求出后可得抛物线方程.【详解】（1）抛物线，由得到：，故，解得，故直线的方程为或.（2）直线，由得到：.设，从而，故.，因，故，所以，整理得到：，而，从而，解得（舎）或.抛物线的方程为.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.22如图，分别是椭圆的左、右焦点，焦距为，动弦平行于轴，且.（1）求椭圆的方程；（2）过分别作直线交椭圆于和