有关函数单调性问题的思维导图讲解及测试题

1 有关函数单调性问题的思维导图讲解及测试题有关函数单调性问题的思维导图讲解及测试题 函数的单调性是函数的重要性质 函数的单调性是函数的重要性质 用定义证明函数的单调性是函数问题中的一类用定义证明函数的单调性是函数问题中的一类 重要题型 本文阐述一下用定义证明函数的单调性的基本步骤及注意事项 重要题型 本文阐述一下用定义证明函数的单调性的基本步骤及注意事项 一 定义法一 定义法 根据增 减 函数的定义判断函数的单调性是常用的基本方法 一般按照根据增 减 函数的定义判断函数的单调性是常用的基本方法 一般按照 取值取值 作差变形作差变形 判断符号判断符号 下结论下结论 这四个步骤进行判断 关键是变形 常用的手段有 这四个步骤进行判断 关键是变形 常用的手段有 通分提取公因式 配方法 有理化 因式分解 通分提取公因式 配方法 有理化 因式分解 例 1 利用单调性的定义证明函数在上是减函数 2 1 x f x x 1 思维导图 思维导图 第一步 在上任取 第二步 作差 通分第三步 1 12 xx 判断差与零的关系第四步 下结论 解析 解析 在上任取 1 12 xx 则 12 12 12 2 2 1 1 xx f xf x xx 21 21 1 1 xx xx 因为 所以 21 1xx 2121 0 1 0 10 xxxx 所以 即 21 21 0 1 1 xx xx 21 0f xf x 21 f xf x 故在区间上为减函数 2 1 x f x x 1 例 2 证明函数在上的单调递增 3 2f xx R 思维导图 思维导图 第一步 在上任取 第二步 作差 配方配方第三步 R 12 xx 判断差与零的关系第四步 下结论 2 2 图象法 就是画出函数的图象 自左向右观察函数图象的上升和下降趋势 从而判断图象法 就是画出函数的图象 自左向右观察函数图象的上升和下降趋势 从而判断 函数的单调性 函数的单调性 例 2 函数在区间 A 上是增函数 则区间 A 是 1 f xxx 2 A B C D 0 0 1 0 2 1 2 思维导图 思维导图 第一步 作出函数的图像第二步 自左向右观察函数图象的变 f x 化 趋势第三步 下结论 解析 解析 2 2 0 1 0 xx x yxx xx x 该函数为分段函数 其图象如右图 观察图象可知 自左向右看 在 0 上 图象逐渐下降 故在上是减函数 0 在 上 图象逐渐 1 0 2 上升 故在 上是增函数 1 0 2 在上 1 2 图象 逐渐下降 故在 上是减 1 2 函数 故选 C 三 复合函数单调性判断法则 规律 同增异减 例 2 求函数的单调区间 2 16f xx 思维导图 思维导图 第一步 求该函数的定义域第二步 该函数可看成与 0 uuy 复合而成第三步 在定义域内判断的单调性 2 16ux 2 16ux 第四步 根据同增异减下结论 解析 令 即 2 160 x 2 16x 44x 可看成复合而成 2 16yx 2 0 16yu uux 当时 单调递增 4 0 x 2 16ux O x y 1 2 1 3 当时 单调递减 又为增函数 0 4 x 2 16ux 0 yu u 在上单调递增 在上单调递减 2 16yx 4 0 0 4 例 3 求函数且的单调区间 2 22 0 xx yaa 1 a 思维导图 思维导图 第一步 求该函数的定义域第二步 该函数可看成与 u ay 复合而成第三步 在定义域内判断的单 2 22uxx 2 22uxx 调性第四步 根据同增异减下结论 解析 解析 已知该函数的定义域为 R 设 此函数的对称轴为 开口向上 2 22u xxx 1x 所以时 单调递减 时 单调递增 1 x u x 1 x u x 当时 单调递减 01a x ya 所以时 单调递增 1 x 2 32xx ya 所以时 单调递减 1 x 2 32xx ya 当时 单调递增 1a x ya 所以时 单调递减 1 x 2 32xx ya 所以时 单调递增 1 x 2 32xx ya 四 常用结论 1 函数与的单调性相反 yf x yf x 2 当恒为正或恒为负时 函数与的单调性相反 f x 1 y f x yf x 3 在公共区间内 增函数增函数增函数 增函数减函数增函数 减函数减函数减函数 减函数增函数减函数 例 4 设是定义在上的减函数 且 则下列函数 f xA 0f x 32 yf x 其中为增函数的个数是 2 1 y f x 1 yf x f x 1 yf x f x A B C D 1423 解 是定义在上的减函数 且 f x A 0f x 为增函数 为减函数 yf x 1 y f x 1 y f x 4 为增函数 故选 D 32 yf x 2 1 y f x 1 yf x f x 针对性练习 针对性练习 1 下列函数中 在区间上是增函数的是 0 A B C D 2 21yxx 2 y x 2 1 y x 2 2yxx 2 函数的单调性为 2 2 1 0 0 xx f x xx A 上是减函数 B 上是增函数 在上是减函数 0 0 0 C 不能判断单调性 D 在上是增函数 3 已知定义在同一区间上 且是增函数 是减函数 xgxf xf xg 0 xg 则在该区间上 A 为减函数 B 为增函数 f xg x f xg x C 为减函数 D 为增函数 f x g xA f x g x 4 下列命题中正确的是 函数在上不是增函数 函数在 2 21yxx 0 1 1 y x 1 上是减函数 若为增函数 则为增函数 若 1 f x 2 f x f x 为增函数 为减函数 且有意义 则为减函数 g x g f x g f x