第六章 控制系统的综合与校正

第六章 控制系统的综合与校正 6 1 引 言 图 6 1 为一自动绕线机的原理图 当其正常工作时 要求绕线电机以较快的转速将电 枢线绕到转子上 而由绕线电机及测速器构成的单位负反馈系统的开环传递函数为 0 0 0 11 0 21 k G sss 其中 为开环增益 为了保证绕线速度 的取值不能太少 一般取 由此 0 k 0 k 0 10k 可以画出绕线电机的 Bode 如图 6 2 所示 其相位裕度为 不能满足系统稳定0 2 的要求 由于绕线电机及测速器的特性不可改变 所以只有通过设计适当的控制器来实现 自动绕线机的正常工作 自动控制系统中控制器的设计又叫做系统的综合与校正 控制器 绕线电机 步进电机 气动卡盘 转子 电枢线 图 6 1 自动绕线机 图 6 2 绕线电机的 Bode 图 0 20lg G 20dB dec 40dB dec 60dB dec 7 1 本章主要介绍控制系统的综合与校正 所谓综合或校正 就是在系统中不可变部分的 基础上 加入一些元件 称校正元件 使系统满足要求的各项性能指标 一般情况下 控 制系统的固有部分即不可变部分由已知的元件组成 因而其特性也是已知的 固有部分的 参数除了增益以外 其余大多数参数是不可改变的 因而也叫不可变部分 通常 提高系 统的性能指标 仅仅靠提高增益是不能完成的 所以 提高系统的性能指标往往需要引入 新的元件来校正系统的特性 控制系统中通常有两种校正方式 即串联校正和反馈校正 校正元件可以串联在前向 通道之中 形成串联校正 如图 6 3 所示 也可接在系统的局部反馈通道之中 形成并联 校正或反馈校正 如图 6 4 所示 sGc 0 sG sH sR sC 图 6 3 串联校正系统方框图 图 6 4 反馈校正系统方框图 sGc 2 sG sH sR sC 1 sG 串联校正的方法中 根据校正环节的相位变化情况 可分为超前校正 滞后校正 滞 后超前校正 按照运算规律 串联校正又可分为比例控制 积分控制 微分控制等基本控 制规律以及这些基本控制规律的组合 经典控制理论中系统校正的方法主要有根轨迹法和频率特性法 本章主要介绍频率特 性法 频率特性设计法根据系统性能指标的要求 以系统的开环对数频率特性 Bode 图 为设计对象 使系统的开环对数幅频特性图满足系统性能指标的要求 具体来说就是 1 系统的低频段具有足够大的放大系数 有时候也要求具有足够大的斜率以满足系统对稳态 误差的要求 2 系统的中频段以 20dB dec 的斜率通过 0dB 线 并且保证足够的中频段 宽度以满足性能指标对相位裕度的要求 3 高频段一般不作特殊设计 而是根据被控对象 自身特性进行高频衰减 6 2 基本控制规律 站在系统设计的角度 控制系统的校正又可以看成是控制系统的控制器设计 控制系 统的控制器通常采用比例 微分 积分等基本控制规律 以及这些基本控制规律的组合 如比例微分 比例微分 比例积分微分 来实现对被控对象的控制 6 2 1 比例 P 控制规律 具有比例控制规律的控制器称为 P 控制器 它实际上是一个增益可调的放大器 如图 6 5 所示 P 控制器的输出信号与输入信号成比例关系 即 tm t 6 1 tKtm P 其中 为 P 控制器的比例系数 P K 又称为 P 控制器的增益 在串联校正中 提高 P 控制器的增益就是提高控制系统的 开环放大系数 可以减小系统的稳态误差 提高控制精度 但是会降低系统的相对稳 定性 开环放大系数过大还会造成系统的 不稳定 因此在控制系统的设计中 很少 单独使用比例控制规律 6 2 2 比例微分 PD 控制规律 具有比例加微分控制规律的控制器称为 PD 控制器 如图 6 6 所示 PD 控制器的输 出信号即与输入信号的成比例关系 又与输入信号的导数成比例关系 即 tm t t 6 2 dt td KtKtm PP 其中 为可调比例系数 为可调 P K 微分时间常数 PD 控制器由于采用了微分控制规律 可以反应输入信号的变化趋势 引入早期修 正信号 从而增加系统的阻尼程度 提高系 统的稳定性 但是 微分控制规律只有在输入信号变 化时才有效 所以单一的 D 控制器不能单独 使用 另外由于微分控制规律具有预见信号变化趋势的特点 所以容易放大变化剧烈的噪 声 6 2 3 积分 I 控制规律 具有积分控制规律的控制器称为 I 控制器 如图 6 7 所示 I 控制器的输出信号 与输入信号的积分成比例关系 即 tm t 图 6 5 比例 P 控制器 sR sM P K sE sC 图 6 6 比例微分 PD 控制器 sM sR 1 sKP sE sC 6 3 I I dttKtm 0 其中 为可调的比例系数 由于 I K I 控制器的积分作用 当输入信号变化零 以后 其输出信号可能仍保持为一个非 零的常量 I 控制器可以提高系统的型别 从而 消除或减小稳态误差 提高系统的稳态 性能指标 但是 I 控制器引入了 90 的 相移 会降低系统的稳定性 甚至可能造成系统的不稳定 6 2 4 比例积分 PI 控制规律 具有比例积分控制规律的控制器称为 PI 控制器 如图 6 8 所示 PI 控制器的输出信 号即与输入信号成比例关系 也与输入信号的积分成比例关系 即 tm t t 6 4 I I P P dtt T K tKtm 0 其中 为可调放大系数 为 P K I T 可调积分时间常数 PI 控制器引入的位于原点的极点可 以提高系统型别 从而消除或减小稳态 误差 提高系统的稳态性能指标 同时 只要保证积分时间常数足够大 可以 I T 减弱 I 环节对系统稳定性的不利影响 PI 主要用来提高控制系统的稳态性能 例 6 1 如图 6 9 所示 某单位负反馈系统的不可变部分传递函数为 1 0 0 Tss K sG 试分析 PI 控制器对系统稳态性能的改善作用 图 6 8 比例积分 PI 控制器 sR 1 1 sT K I P sE sC sM 图 6 7 积分 I 控制器 sM sR s KP sE sC 图 6 9 PI 控制系统 1 1 sT K I P 1 0 Tss K sR sC sE sM 解 由图可知 系统的开环传递函数为 1 1 2 0 TssT TsKK sG I P 可见 系统型别由原来的 I 型提高为 II 型 由第二章学习的内容很容易计算出 对于 斜坡输入 在无 PI 控制器作用时 系统的稳态误差为 接入 PI 控制器tRtr 1 01 K R 以后 系统的稳态误差为零 由此可见 PI 控制器可以改善控制系统的稳态性能 引入 PI 控制器后 系统的特征方程为 0 00 KKsTKKsTTsT PIPII 其中 参数 都是正数 满足系统稳定的必要条件 并且只要合理T I T P K 0 K 的选择上述各参数 就可以保证系统的稳定性 通过上面的分析可知 采用 PI 控制器可以提高型别 消除或消除稳态误差 同时又可 以保证系统的稳定性 6 2 5 比例积分微分 PID 控制规律 具有比例积分微分控制规律的控制器称为 PID 控制器 如图 6 10 所示 PID 控制器 具有比例 积分和微分三种控制规律各自特点 其输出信号与输入信号关系为 tm t 6 5 dt td Kdtt T K tKtm P t I P P 0 由 6 5 式可知 PID 控制器的传递函数为 6 6 1 1 s sT K s sM I P PID 控制器的传递函数还可以写成 6 7 s sTsT T K s sM II I P 1 2 若 式 6 7 还可以改写成1 4 I T 6 8 s ss T K s sM I P 1 1 21 其中 图 6 10 比例积分微分 PID 控制器 1 1 s sT K I P sE sC sM sR I I T T 4 11 2 1 1 I I T T 4 11 2 1 2 由 6 8 式可知 PID 控制器可使系统的型别提高一级 并且还引入两个负实零点 与 PI 控制器相比 不但保留了改善系统稳态性能的特点 还多提供一个负实零点 在提高 系统动态性能上更加优越 因而 PID 控制器在控制系统中得到了广泛的应用 6 3 串联超前校正 本节首先介绍串联超前校正的特点 然后介绍采用频率响应法确定超前校正参数的方 法 6 3 1 超前校正网络 超前校正就是利用超前校正环节引入正的相移 增加系统的相位裕度 从而提高系统 的动态性能 常用的超前校正环节有 PD 控制器和带惯性的 PD 控制器 PD 控制器的传递函数为 6 9 1 sKG Pc 其中 为比例系数 为微分时间常 P K 数 当时 PD 控制器的频率相应特性1 P K 如图 6 11 所示 可见 当由变到时 0 幅频特性由 0dB 变到 而相频特性由 0 变到 90 显然 PD 控制器是超前校正元件 从相频特性可以看出 采用 PD 控制器可以为 控制系统引入最大至 90 的超前相移 然而从 幅频特性可以看出 采用 PD 控制器会增加控 制系统的幅频特性高频段斜率 不利于抑制噪 声 因而 在超前校正中 带惯性的 PD 控制 器比 PD 控制器更常用 带惯性的 PD 控制器的传递函数为 6 10 1 1 T Ts s Gc 若令 则带惯性的 PD 控制器的频率响应为 1 aaT 6 11 1 1 1 a jT jaT jGc 其相频特性为 dB c Glg20 decdB 20 1 1 c G 45 90 图 6 11 PD 控制器的频率响应 6 12 22 111 1 aT TaT tgTtgaTtgjGc 带惯性的 PD 控制器的频率响应如图 6 12 所示 结合 6 12 式可以看出 当由 增加到时 会在处出现极值 由可以求得0 m m 0 dd 6 13 Ta m 1 6 14 1 1 sin 2 1 11 a a a a tgjGc m 由 6 14 式可以看出 的值随着值的增大而增大 图 6 13 为在不同值的 m aa 情况下 带惯性的 PD 控制器的相频特性 由 6 14 式可以计算出不同的值所对应的a 的值 如表 6 1 所示 图 6 14 则以曲线的方式表示出了与之间的关系 从表 m a m 6 1和图 6 14 可以看出 当的取值介于 5 20 之间的时候 的取值介于 41 a m 8 64 8 之间 而当较小时 值过小 较大时 随增大的变化较小 故通a m a m a 常在超前校正中取值在 5 20 的范围内 a 表 6 1 关系表 m a a358101520304050100 m 30 41 8 51 55 61 64 8 69 3 72 74 78 6 90 dB c Glg20 decdB 20 1 1 c G 90 图 6 12 带惯性的 PD 控制器的频率响应 T 1 T 1 m m alg10 alg20 01 0 T c G 80 图 6 13 带惯性的 PD 控制器的相频特性 0 11 0 60 40 20 3 5 10 30 将 6 13 式的结果代入带惯性的 PD 控制器的幅频特性 得到 lg20 jGc dB 6 15 ajG mc lg10 lg20 带惯性的 PD 控制器所能提供的最大超前相移 与 PD 控制器相比较小 但 90 m 由于引入了一个惯性 带惯性的 PD 控制器不会提高控制系统幅频特性高频段的斜率 在 抑制系统高频噪声的能力上优于 PD 控制器 6 3 2 基于频率响应法的串联超前校正 基于频率响应的校正方法是一种简便的校正方法 它是通过引入校正装置改变控制系 统的开环频率特性 使系统达到要求的性能指标 控制系统的开环频率特性的形状反应了 系统的性能指标 通常 开环频率特性的低频段反应了闭环系统的稳态性能 中频段反应 了闭环系统的动态性能 高频段反应了闭环系统的阶次和抑制噪声的能力 基于频率响应 校正的目标就是使校正后的系统的频率特性低频段具有足够的斜率和增益 以满足稳态性 能指标的要求 频率特性的中频段以 20dB dec 穿越 0dB 线并具有足够的宽度 以满足动 态性能指标的要求 高频段具有足够的斜率以满足抑制噪声的要求 超前校正可以为控制系统引入超前相移 通常采用带惯性的 PD 控制器进行超前校正 由图 6 12 可以看出 带惯性的 PD 控制器在时的幅频特性为 0dB 因此它不会 1 改变待校正系统的低频段特性 而在时的幅频特性斜率为 0 因此它不会改变待T 1 校正系统高频段斜率 当时 带惯性的 PD 控制器斜率为 20dB dec 引入T 1 1 控制系统后 将提高控制系统在之间的斜率 改善系统的动态性能 从相频特T 1 1 性看 带惯性的 PD 控制器在之间引入正的相移 能够提高系统的相位裕度 T 1 1 在处 引入的正的相移达到最大值 因而采用带惯性的 PD 控制器进行超前校正 通常 m 将校正后系统的穿越频率选在处 具体步骤如下 m 1 绘制系统固有部分的开环幅频特性 根据稳态性能指标确定开环增益K 2 根据确定好的开环增益K 计算系统固有部分的相位裕度 和穿越频率 c 3 根据动态性能指标的要求 确定系统校正后的相位裕度 和穿越频率 c 90 图 6 14 关系曲线 m a 100 45 1000 4 根据 和 c 计算超前网络参数a和T 通常选择 cm 充分利用网络的超前 特性 而因为 c 为校正后系统的穿越频率 即校正后系统在该频率点的幅频特性为 0dB 故有 6 16 0lg10 lg20 0 ajG c 其中 为系统固有部分开环传递函数 由上式可求出值 然后根据式 6 13 0 Ga 可求出 6 17 a T m 1 5 验证校正后的相位裕度是否满足要求 若不满足要求 则重新选择 通常增大 c 重复步骤 4 和 5 直至满足要求 c 例例 6 2 设有一单位负反馈系统固有部分的传递函数为 15 0 0 ss K G 要求校正后系统的性能指标为 开环放大系数 相位裕度 设计 1 20 sK 50 超前校正网络 解解 1 根据开环放大系数的要求 系统固有部分的传递函数为 15 0 20 0 ss G 绘制其幅频特性图 如图 6 15 中 ABC 段所示 由图可知的幅值穿越频率 0 lg20G rad s3 6 c 校正前系统的相位裕度 18 3 65 0 90180 1 tg 2 根据系统性能指标要求相位裕度 采用带惯性的 PD 超前校正网络 50 1 1 1 1 1 1 2 1 s s Ts aTs sGc 3 求超前校正网络参数 通常校正后的系统 Bode 图以 20dB dec 穿越 0dB 线并具有足 够的宽度 就可以满足上述的相位裕度的要求 在 2 6 3 之间取 对应srad 4 1 系统 Bode 图中的 D 点 过 D 点做 20dB dec 的直线 交 0dB 线于 可知校10 正后系统的穿越频率 由带惯性环节的 PD 控制器的特性可知 令 10 c mc 可得到 srad c 254 10 2 1 2 2 故超前校正网络参数为 104 0 125 0 s s sGc 校正后系统开还传递函数为 104 0 15 0 125 0 20 sss s sGe 4 检验 系统开环放大系数为 20 满足要求 相位裕度为 7 57 1005 0 105 0 1025 0 90180 111 tgtgtg Glg20 0dB A B C D E F 2 e Glg20 20 c Glg20 A 0 lg20G 40 40 20 2 20dB dec 图 6 15 例 6 2 的 Bode 图 满足要求 若相位裕度不满足要求 重复第 3 步 减小或者增大 直到满足 1 2 要求 由上例可知 超前校正可以提高系统穿越频率 从而提高系统频带宽度 c 6 4 串联滞后校正 本节首先介绍串联滞后校正的特点 然后介绍采用频率响应法确定滞后校正参数的方 法 6 4 1 滞后校正网络 滞后校正就是利用滞后校正网络的或 PI 控制器的高频幅值衰减特性 使校正后系统截 至频率下降 从而使系统获得足够的相位裕度 I 控制器和 PI 控制器都属于滞后网络 而 常用的滞后网络的为近似 PI 控制器 其传递函数为 6 18 Ts aTs sGc 1 1 1 a 其频率响应为 6 19 jT jaT jGc 1 1 1 a 其相频特性为 6 20 TtgaTtgjGc 11 1 a 其 Bode 图如图 6 16 所示 结合图 6 16 和 6 12 式可以看出 当由增加到时 会在处出现 0 m m 极值 由可以求得0 dd dB c Glg20 decdB 20 T 1 T 1 c G 90 图 6 16 近似 PI 控制器的频率响应图 aT 1 aT 1 m m alg10 alg20 6 21 Ta m 1 6 22 a a a a tgjGc m 1 1 sin 2 1 11 可以看出 滞后校正网络的和与超前网络具有几乎相同的形式 m m 6 4 2 基于频率响应法的串联滞后校正 滞后校正网络可以改变控制系统中频段和高频段的幅频特性 通常采用近似 PI 控制 器进行超前校正 由图 6 14 可以看出 近似 PI 控制器在时的幅频特性为 0dB 1 因此它不会改变待校正系统的低频段特性 当时 近似 PI 控制器斜率为T 1 1 20dB dec 而在时的幅频特性斜率为 0 因此它不会改变待校正系统高频段斜T 1 率 利用近似 PI 控制器的在中 高频段的衰减作用 使校正后系统的幅频特性曲线以 20dB dec 的斜率穿越 0dB 线 同时保持低频段的 Bode 图不变 引入近似 PI 控制器 可 以改善系统的动态性能指标 同时不改变系统的稳态性能 利用近似 PI 控制器进行串联滞 后校正应用在当待校正系统的期望穿越频率附近的幅频特性斜率为 20dB dec 而该频段 的开还幅频特性大于 0dB 并且开还 Bode 图的低频段满足要求 即开还放大系数和系统型 别已满足要求时 需要注意的是 由于滞后网络引入了负的相角 在利用滞后网络对系统 进行校正时 应该使校正后的系统穿越频率离足够远 一般取校正后的系统的穿越 c m 频率为 此时滞后网络在处的相位角 利用近 c aT 1 20 10 c 3 5 c jG 似 PI 控制器进行滞后校正的步骤如下 1 绘制系统固有部分的开环幅频特性 根据稳态性能指标确定开环增益 K 2 根据确定好的开环增益 计算系统固有部分的相位裕度和穿越频率 K c 3 根据动态性能指标的要求 确定系统校正后的相位裕度和穿越频率 c 4 根据的值确定参数 滞后网络将待校正系统的幅频特性向下平移 c a lg20 0 jG 使得校正后系统的幅频特性曲线在处的幅值为 0dB 所以可以由下式计alg20 c 算出的值 a 6 230lg20 lg20 lg20 lg20 lg20 00 ajGjGjGjG ccccce 确定参数 通常取 故可由计算出的值 T aT c 1 20 1 10 1 c T 5 验证校正后的相位裕度是否满足要求 若不满足要求 则重新选择 通常减小 c 重复步骤 4 和 5 直至满足要求 c 例例 6 3 设待校正系统的传递函数为 12 0 11 0 0 sss K G v 要求满足性能指标 1 系统型别 1 v 2 开还增益 1 25 sKv 3 穿越频率 srad c 5 2 4 相位裕度 40 试用近似 PI 控制器对系统进行串联滞后校正 解解 1 从待校正系统的传递函数可以看出 系统已经满足了型别为 1 的要求 按开环增益的 要求 取 绘制待校正系统的 Bode 图如图 6 17 所示 可以得出 系统 1 25 sKv 穿越频率 相位裕度 srad c 8 10 4 22 2 由系统对穿越频率的要求 可以计算出待校正系统在该频率处的相位srad c 5 2 裕度为 大于性能指标要求的 故可以采用滞后校正的方法 4 49 5 2 40 3 根据式 6 23 0lg20 5 2 lg20 0 ajG 得到 1 0 a 4 取转折频率 c aT 10 1 1 得到 sT40 故滞后网络的传递函数为 s s Gc 401 41 校正后系统的传递函数为 0 sGsGsG ce 12 0 11 0 25 401 41 ssss s 将代入到相位裕度得到srad c 5 2 5 24 5 240 5 22 0 5 21 0 90180 1111 tgtgtgtg 25 44 满足系统性能指标要求 故该方案可行 从上例可以看出 滞后校正会降低系统穿越频率 从而降低频带宽度 c 6 5 串联滞后超前校正 本节首先介绍串联滞后超前校正的特点 然后介绍采用频率响应法确定滞后超前校正 参数的方法 6 5 1 滞后超前校正网络 滞后超前校正具有滞后校正和超前校正的特点 常用的滞后超前校正网络的传递函数 为 6 24 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 2 1 2 2 1 1 ba s s s s sT sbT sT saT Gc 式中 可以看出为滞 11 1 aT 12 1 T 23 1 bT 24 1 T 1 1 1 1 sT saT 后网络 而为超前网络 通常 绘制滞后超前网络 1 1 2 2 sT sbT 21 TT 4321 dB c Glg20 decdB 20 1 4 c G 图 6 17 滞后超前网络频率响应图 2 ablg20 decdB 20 的 Bode 图如图 6 17 所示 可见滞后超前网络不改变系统幅频特性中的低频段和高频段 斜率 而在与之间可以为系统提供正的相位 3 4 6 5 2 基于频率响应法的串联滞后超前校正 串联滞后超前校正结合滞后校正和超前校正的特点 串联超前校正可以提高系统通频 带宽度 但是会降低系统抑制高频噪声的能力 而串联滞后校正则会降低系统通频带宽度 但是会降低系统响应速度 而串联滞后超前校正既可以有效提高系统的阻尼程度与响应速 度 又可大幅度增加其开环增益 既提高系统的动态指标 也提高系统的稳态指标 串联 滞后超前校正的设计步骤如下 1 根据稳态性能指标要求确定开环增益 K 2 根据确定好的开环增益 计算系统固有部分的相位裕度和穿越频率 K c 3 在待校正系统幅频特性上 选择斜率从 40dB dec 变为 20dB dec 的交接频率作为滞后 超前网络超前部分的交接频率 这种选择的方法 可以降低校正后系统的阶次 且 3 保证中频段斜率为 20dB dec 并具有较宽的带宽 4 根据性能指标要求 选取校正后截止频率 根据超前校正方法计算出 并根据 c 4 滞后校正的方法计算出滞后网络的参数和 a 1 T 5 验证校正后系统的各项性能指标 例例 6 4 设待校正系统的传递函数为 11 0 1 0 sss K sG 设计串联滞后超前网络使校正后系统满足性能指标 1 开环放大系数60 K 2 穿越频率srad c 5 3 3 相位裕度 45 解解 1 取 绘制系统幅频特性图如图 6 16 中 ABCD 所示 可以计算出待校正系统60 K 的穿越频率 从而计算处待校正系统的相位裕度srad c 7 7 2 30 7 71 0 7 71 90180 11 tgtg 显然不满足系统性能指标的要求 2 选取 得到 观察系统 Bode 图 srad 1 3 srad c 25 121 5 3 2 3 2 4 待校正系统幅频特性由 40dB dec 变为 60dB dec 的交接频率为 为简化校正srad 10 后系统的形式 取 从 Bode 图中可以看出在引入了超前网络后 系统srad 10 4 的幅频特性变成了 ABE 根据滞后校正方法 可以计算出 取60 5 3 a 则 故滞后超前网络为35 0 1 0 2 c 60 225 1 21 a 11 0 1 1 225 1 60 1 35 0 1 s s s s sGc 3 计算校正后系统的相位裕度 5 31 0 5 31 90180 11 tgtg 5 31 0 5 31 5 3 225 1 60 5 3 35 0 1 1111 tgtgtgtg 04 46 满足系统性能指标要求 校正方案可行 6 6 反馈校正 反馈校正也是一种使用广泛的校正方法 反馈校正不仅可以实现串联校正的功能 还 可以减弱和消除系统元部件参数变化对系统性能指标的影响