高一数学思想精讲--转化与化归思想

转化与化归思想转化与化归思想 一 知点透析一 知点透析 解某些数学问题时 如果直接求解较为困难 可通过观察 分析 类比 联想等思维 过程 运用恰当的数学方法进行变换 将原问题转化为一个新问题 相对来说对自己较熟 悉的问题 通过新问题的求解 达到解决原问题的目的 这一思想方法称之为 转化与化 归思想 转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程 化归是把待解决的问题 通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题 应用转化化归思想解题的原则应是化难为易 化生为熟 化繁为简 尽可能是等价转 化 常见的转化策略有 正与反的转化 数与形的转化 相等与不等的转化 整体与局部 的转化 空间与平面的转化 常量与变量的转化 数学语言的转化等类型 常用的方法有 1 直接转化法 把原问题直接转化为基本定理 基本公式或基本图形问题 2 换元法 运用 换元 把超越式转化为有理式或使整式降幂等 把较复杂的函数 方 程 不等式问题转化为易于解决的基本问题 3 数形结合法 研究原问题中数量关系 解析式 与空间形式 图形 关系 通过互相 变换 获得转化途径 4 参数法 引进参数 使原问题的变换具有灵活性 易于转化 5 构造法 构造 一个合适的数学模型 把问题变为易于解决的问题 6 坐标法 以坐标系为工具 用计算方法解决几何问题 7 类比法 运用类比推理 猜测问题的结论 8 特殊化方法 把原问题的形式向特殊化形式转化 并证明特殊化后的结论适合原问题 9 一般化方法 当原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决时 可将问题 通过一般化的途径进行转化 10 等价问题法 把原问题转化为一个易于解决的等价命题 达到转化目的 11 加强命题法 在证明不等式时 原命题难以得证 往往把命题的结论加强 即把命 题 的结论加强为原命题的充分条件 反而能将原命题转化为一个较易证明的命题 加强 命题法是非等价转化方法 12 补集法 如果正面解决原问题有困难 可把原问题结果看作集合 A 而把包含该问 题的整体问题的结果类比为全集 U 通过解决全集 U 及补集获得原问题的解 决 小小试试身手身手 1 设集合 则满足的集合 B 的个数是 1 2 A 1 2 3 AB A 1 B 3 C 4 D 8 2 已知则的最小值是 1 10 220 x xy xy 22 xy 例题精讲例题精讲 问题问题 1 1 正与反的转化 正与反的转化 若下列方程 0344 2 aaxx 0 1 22 axax aaxx22 2 0 中至少有一个方程有实根 试求实数a的取值范围 分析 分析 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况有一种 三个方程均没有实数 先求 出反面情况时a的范围 取所得范围的补集就是正面情况的答案 解 解 设三个方程均无实根 则有 0 2 44 04 1 0 34 416 2 3 22 2 2 1 aa aa aa 解得 1 2 3 02 3 1 1 2 1 2 3 a a aa a 即或 所以当 2 3 1 aa或时 三个方程至少有一个方程有实根 评注 对于那些从 正面进攻 很难奏效或运算较难的问题 可先攻其反面 从而使正 面问题得以解决 问题问题2 数与形的转化数与形的转化 例 2 设均为正数 且 则 abc 1 2 2log a a 1 2 1 log 2 b b 2 1 log 2 c c A B C D abc cba cab bac 解析 这里要比较三个正数的大小 而由已知条件很难求出三个数的准abc abc 确值 由已知条件可知分别是指数函数与对数函数图象交点的横坐标 因此可利abc 用化归转化数学思想的 数与形的相互转化 来进行解题 答案 在同一直角坐标系下画出函数与 1 2xy 与及的图象 如图 2 1 2 x y 31 2 logyx 42 logyx 所示 则表示的是函数与交点的a 1 2xy 31 2 logyx 横坐标的值 同理有 表示的是函数与b 2 1 2 x y 交点的横坐标的值 表示的是函数 31 2 logyx c 与交点的横坐标的值 则有 故选 A 2 1 2 x y 42 logyx abc 点评 通过发掘函数式的几何意义 将代数问题转化为函数问题或几何问题或解析几何 1 2xy 31 2 logyx 42 logyx 2 1 2 x y x y 0 acb 然后利用函数图象或几何图形来解决 这也是近年来高考中常用的解题方法 问题问题 3 相等与不等之间的转化相等与不等之间的转化 如利用均值不等式 判别式等 例 3 已知二次函数 f x ax2 2x 2a 1 其中 x 2sin 00 1 2 a2 2 af 1 a a 3 0 af 2 a 2a 3 0 解得实数 a 的取值范围为 3 图 1 2 3 注 注 函数与方程 不等式就像 一胞三兄弟 解决方程 不等式的问题需要函数帮助 解 决函数的问题需要方程 不等式的帮助 因此借助于函数与方程 不等式进行转化与化归 可以将问题化繁为简 一般可将不等关系化为最值 值域 问题 从而求出参变量的范 围 问题问题 4 整体与局部的转化整体与局部的转化 集合所有子集的所有元素和 n 3 2 1 问题问题 5 空间与平面的转化空间与平面的转化 事物的空间形成 总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律 通过降维 转化 可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决 这种转化在复数与立体几何中 特别常见 问题问题 6 变量与常量的转化变量与常量的转化 例例 4 4 对于满足的一切实数 不等式恒成立 试求的取值40 p34 2 pxpxxx 范围 解析解析 设函数 显然 则是的一次函数 34 1 2 xxpxpf1 x pfp 要使恒成立 当且仅当 且时 解得的取值范围是0 pf0 0 f0 4 fx 3 1 问题问题 7 抽象与具体的转化抽象与具体的转化 例 5 设定于在实数集上 当时 且对于任意实数都有 xfR0 x1 xfyx 同时 解不等式 yfxfyxf 2 1 f4 3 2 xxf 解析解析 由中取得 若 则令 yfxfyxf 0 yx 2 0 0 ff 0 0 f 则与时 矛盾 所以 0 0 yx0 xf0 x1 xf1 0 f 当时 当时 而0 x01 xf0 x0 x01 xf 所以又因 所以 设1 xfxf0 1 xf xf1 0 f0 xfRx 且Rxx 21 21 xx 则 1 0 1212 xxfxx 12 xfxf 1121 xfxxxf 所以在上为单调增函 1121 xfxxfxf 01 121 xxfxf xfy R 数 又因 所以 由得单调性可得2 1 f 2 11 1 1 3 2 ffffxxf xf 解得 23 2 xx21 x 问题问题 8 数学语言的转化数学语言的转化 例 6 如图所示的韦恩图中 A B 是非空集合 定义集合 A B 为阴影部分表示的集 合 若 2 2x yR Ax yxx 30 x By yx 则 A B 为 A 02xx B 12xx C 012xxx 或 D 012xxx 或 分析 根据图形语言可知定义的 A B 转化为原有的运算应该是表示为 A B AB 所以 需要求出AB 和AB 借助数轴求出并集与交集 解 22 22002Ax yxxxxxxx 301 x By yxy y 则 0 12ABx xABxx 根据新 运算 得 A B 01 A B ABxx 或x2 故选 D 答案 D 例 7 已知 2 3 4 log 3233 x fx 则 8 2 4 8 2 ffff 的值等于 分析 本题中的函数不是以x为整体 而是以3 x 为整体给出的解析式 所以要求函数值 需 要先求关于x的解析式 再代入求值 解 22 3 4 log 32334log 3233 xx fx 2 4log233f tt 则 8 2 4 8 2 ffff 0 1 2 x 8 2222 4log 22334log 42334log 82334log 2233 4 12388 2332008 评注 有些题目中往往所给的解析式不是关于x的解析式 这时需要我们把解析式进行转化 本题中先把函数进行转化 然后进行运算 四 专题小结四 专题小结 1 掌握转化和化归的思想方法 在运用时应注意用 变换 的方法解决数学问题 依 据问题本身提供的信息 去寻求有利于解决问题的变换途径和方法 进行合理的选择 2 转化时要注意转化的方向性 使转化的目的明确 以致解题思路自然流畅 此外还 要注意转化前后的等价性 3 在训练中应重视数学化归思想 强化在解决数学问题中的应变能力 提高解决数学 问题的思维能力和技能 练习巩固 练习巩固 1 若关于的不等式 4 的解集是 M 则对任意实常数 总有 xxk 1 2 4 kk A 2 M 0 M B 2M 0M C 2 M 0M D 2M 0 M 2 若 满足 则有 ab1 22 ba 1 1 abab A 最小值和最大值 1 B 最小值和最大值 1 2 1 4 3 C 最小值但无最大值 D 最大值 1 但无最小值 4 3 解析 因 满足 故可设 ab1 22 bacos sinab 2 2 则 1 1 abab 2 117 1 cos sin 1 cos sin 1sin 2cos4 488 所以的最大值为 1 最小值为 故选 B 1 1 abab 4 3 3 若不等式对一切均成立 则实数的取值范围为 2 43xpxxp 04p x 解析 2 43xpxxp 2 1 430 xpxx 令 则要使它对均有 只要有 g p 2 1 43xpxx 04p 0g p 或 0 0 4 0 g g 3x 1x 点评 在有几个变量的问题中 常常有一个变元处于主要地位 我们称之为主元 由于思 维定势的影响 在解决这类问题时 我们总是紧紧抓住主元不放 这在很多情况下是正确 的 但在某些特定条件下 此路往往不通 这时若能变更主元 转移变元在问题中的地位 就能使问题迎刃而解 本题中 若视 x 为主元来处理 既繁且易出错 实行主元的转化 使问题变成关于 p 的一次不等式 使问题实现了从高维向低维转化 解题简单易行 4 已知 f x lg x 1 g x 2lg 2x t t R是参数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 当 t 1 时 解不等式 f x g x 2 如果 x 0 1 时 f x g x 恒成立 求参数 t 的取值范围 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 5 已知 当时 恒有xmxmy 32 2 32 loglog6log 1 log