湖南长沙市一中2011届高三第四次月考(数学文)

您身边的志愿填报指导专家 第 1 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 湖南省长沙市第一中学湖南省长沙市第一中学 2011 届高三上学期第四次月考 数学文 届高三上学期第四次月考 数学文 时量 120 分钟 满分 150 分 考试范围 集合 逻辑用语 算法 函数 导数 三角函数 平面向量 复数 数列 不等式 一 选择题 本大题共 8 个小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知全集U R 集合 2 10Ax x 则 UA A 11xx B 11x xx 或 C 11x xx 或 D 11xx 2 复数 zT z 1 3 在复平面内 z 对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 已知向量 a b 不共线 e1 ka b e2 2a b 若 e1 e2 则实数 k 的值为 A 1 2 k B 2k C 2k D 1 2 k 4 一个递增的等差数列 n a 前三项的和 123 12aaa 且 234 1a a a 成等比数列 则数列 n a 的公差为 A 2 B 3 C 2 D 1 5 下列命题为真命题的是 A a b 是 11 ab 的充分条件 B a b 是 11 ab 的必要条件 C a b 是 22 ab 的充要条件 D 0ab 是 22 ab 的充分条件 6 右图是函数 sin 0 0 yAxA 的部分图象 则下列可 以作为其解析式的是 A 2sin 2 3 yx B 2sin 2 3 yx C 2 2sin 2 3 yx D 1 2sin 23 yx 3 2 2 x 7 12 O y 您身边的志愿填报指导专家 第 2 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 7 已知 4 1 1 xy yx y 则 yxz 2 的最大值为 A 7 B 2 11 C 1 D 8 8 把正整数按 S 型排成了如图所示的三角形数表 第 n 行有 n 个数 设第 n 行左侧第一 个数为 n a 如 5 15a 则该数列 n a 的前 n 项和 n T n 为偶数 为 A 1 21 10 n n nn T B 32 643 n nnn T C 32 646 n nnn T D 1 2 6 n n nn T 2 43 nn 二 填空题 本大题共 7 个小题 每小题 5 分 共 35 分 把答案填写在题中的横线上 9 三进制数 121 3 化为十进制数为 10 已知向量 2 1 a 3 1 b 若单位向量c 满足 cab 则c 11 若 1x 则函数 1 1 f xx x 的最小值为 12 右图为定义在 zT i T 上的函数 f x 的导函数 fx 的大致图象 则函数 f x 的单调递增区间为 f x 的极大值点为x 13 111 133520092011 S 14 若函数 cos2cosf xxax x R 的最小值为 4 则 a 的值为 15 已知关于 x 的一元二次不等式 2 0axbxc 在实数集上恒成立 且a b 则 x y yfx O 1 12 34 第 12 题 1 2 3 6 5 4 7 8 9 10 15 14 13 12 11 16 17 18 19 20 21 第 8 题图 您身边的志愿填报指导专家 第 3 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 abc T ba 的最小值为 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 设集合 2 1 0 Ax xaxa 21 0 2 x Bx x 1 当 a 3 时 求 AB 2 若 R AB 求 a 的取值范围 17 本小题满分 12 分 设函数 coscos 3 f xxxxR 1 求 f x 的最大值 并求取得最大值时 x 的取值集合 2 记 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 0f B b 1 c 3 求 a 的 值 18 本小题满分 12 分 已知 n a 为等比数列 1 1a 前 n 项和为 n S 且 6 3 28 S S 数列 n b 的前 n 项和为 n T 且点 n n T 均在抛物线 2 11 22 yxx 上 1 求 n a 和 n b 的通项公式 2 设 nnn cab 求 n c 的前 n 项和 n S 19 本小题满分 13 分 某市近郊有一块大约 500m 500m 的接近正方形的荒地 地方政府 准备在此建一个综合性休闲广场 首先要建设如图所示的一个矩形场地 其总面积为 3000 平方米 其中场地四周 阴影部分 为通道 通道宽度均为 2 米 中间的三个矩形区域将铺 设塑胶地面作为运动场地 其中两个小场地形状相同 塑胶运动场地占地面积为 S 平方米 1 分别写出用 x 表示 y 和 S 的函数关系式 写出函数定义域 2 怎样设计能使 S 取得最大值 最大值为多少 x 米 a 米a 米 y 米 您身边的志愿填报指导专家 第 4 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 20 本小题满分 13 分 已知函数 2 1 1 ln 2 f xxaxax 1a 1 若函数 f x 在 2x 处的切线与 x 轴平行 求 a 的值 并求出函数的极值 2 已知函数 2 4ln2ln 2 g xxxbb 在 1 的条件下 若 f xg x 恒成立 求 b 的取值范围 21 本小题满分 13 分 已知函数 32 11 32 f xaxbxcx 0a 1 若函数 xf 有三个零点分别为 123 x x x 且 3 321 xxx 12 9x x 求函数 xf 的单调区间 2 若 1 1 2 fa 3 22acb 证明 函数 xf 在区间 0 2 内一定有极值点 3 在 2 的条件下 若函数 xf 的两个极值点之间的距离不小于 3 求 b a的取值范围 您身边的志愿填报指导专家 第 5 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 参考答案 一 选择题 本大题共 8 个小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 已知全集U R 集合 2 10Ax x 则 UA C A 11xx B 11x xx 或 C 11x xx 或 D 11xx 2 复数 zT z 1 3 在复平面内 z 对应的点位于 D A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 已知向量 a b 不共线 e1 ka b e2 2a b 若 e1 e2 则实数 k 的值为 B A 1 2 k B 2k C 2k D 1 2 k 4 一个递增的等差数列 n a 前三项的和 123 12aaa 且 234 1a a a 成等比数列 则数列 n a 的公差为 C A 2 B 3 C 2 D 1 5 下列命题为真命题的是 D A a b 是 11 ab 的充分条件 B a b 是 11 ab 的必要条件 C a b 是 22 ab 的充要条件 D 0ab 是 22 ab 的充分条件 6 右图是函数 sin 0 0 yAxA 的部分图象 则下列可 以作为其解析式的是 B A 2sin 2 3 yx B 2sin 2 3 yx C 2 2sin 2 3 yx D 1 2sin 23 yx 7 已知 4 1 1 xy yx y 则 yxz 2 的最大值为 A 3 2 2 x 7 12 O y 您身边的志愿填报指导专家 第 6 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 A 7 B 2 11 C 1 D 8 8 把正整数按 S 型排成了如图所示的三角形数表 第 n 行有 n 个数 设第 n 行左侧第一 个数为 n a 如 5 15a 则该数列 n a 的前 n 项和 n T n 为偶数 为 B A 1 21 10 n n nn T B 32 643 n nnn T C 32 646 n nnn T D 1 2 6 n n nn T 2 43 nn 解析 方法一 特值法 因为 2 T 12 3aa 把 n 2 代入选项 排除 C D 再代入 n 4 因为 4 16T B 选项满足 故选 B 方法二 因为当 n 为奇数时 1 12 2 n n n an 当 n 为偶数时 1 1 nn aa 故 n 是偶数时 1 1 1 113311 nnn aaaaaaT 121212 131 n aaa 2 2 131 n aaa n 1 23 4 1 2 n nn 222 11 33 1 1 nn 2 n 2222 135 1 1 3 1 nn 2 n 令 2222 12 1 Snn 2222 135 1 An 您身边的志愿填报指导专家 第 7 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 2222 246Bn 22222222 123456 1 ABnn 1 234 1 nn 1 2 n n 又 1 21 6 n nn AB 得 1 21 1 62 2 n nnn n A 1 1 6 n nn 则 n T 11 1 1 2 62 n n n nn 2 n 22 1 64 n nn 2 n 32 643 nnn 二 填空题 本大题共 7 个小题 每小题 5 分 共 35 分 把答案填写在题中的横线上 9 三进制数 121 3 化为十进制数为 16 10 已知向量 2 1 a 3 1 b 若单位向量c 满足 cab 则c 0 1 0 1 或 11 若 1x 则函数 1 1 f xx x 的最小值为 3 12 右图为定义在 zT i T 上的函数 f x 的导函数 fx 的大致图象 则函数 f x 的单调递增区间为 1 2 4 f x 的极大值点为 x 2 13 111 133520092011 S 2011 1 2 14 若函数 cos2cosf xxax x R 的最小值为 4 则 a 的值为 5 15 已知关于 x 的一元二次不等式 2 0axbxc 在实数集上恒成立 且a b 则 abc T ba 的最小值为 3 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 设集合 2 1 0 Ax xaxa 21 0 2 x Bx x 1 当 a 3 时 求 AB x y yfx O 1 12 34 第 12 题 您身边的志愿填报指导专家 第 8 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 2 若 R AB 求 a 的取值范围 解析 1 21 0 21 2 0 2 x Bxxxx x 1 2 2 x xx 或 2 分 当 a 3 时 3 1 0 1 3 Axxx 4 分 AB 2 3 6 分 2 因 RB 1 2 2 R AB 1 2 2 a a 的取值范围为 1 2 2 12 分 17 本小题满分 12 分 设函数 coscos 3 f xxxxR 1 求 f x 的最大值 并求取得最大值时 x 的取值集合 2 记 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 若 0f B b 1 c 3 求 a 的 值 解析 1 cos cos cossin sin 33 f xxxx 13 cossin 22 xx cos 3 x 3 分 则 max1f x 4 分 此时 x 的取值集合为 2 3 Zkkxx 即 3 2 Zkkxx 6 分 2 f B cos 0 3 B 得 6 B 8 分 您身边的志愿填报指导专家 第 9 页 版权所有 中国高考志愿填报门户 由余弦定理 222 2cosbacacB 得 222 1 3 2 3 cos 6 aa 10 分 即 2 320aa 得 1a 或 2a 12 分 18 本小题满分 12 分 已知 n a 为等比数列 1 1a 前 n 项和为 n S 且 6 3 28 S S 数列 n b 的前 n 项和为 n T 且点 n n T 均在抛物线 2 11 22 yxx 上 1 求 n a 和 n b 的通项公式 2 设 nnn cab 求 n c 的前 n 项和 n S 解析 1 因 n a 为等比数列 6 3 6 3 3 1 128 1 Sq q Sq 得 3q 得 1 3n n a 3 分 对数列 n b 因点 n n T 均在抛物线 2 11 22 yxx 上 则 2 11 22 n Tnn 所以 11 1bT 当 2n 时 22 1 1111 1 1 2222 nnn bTTnnnn n 5 分 所以 n bn nN 6 分 2 nnn cab 1 3nn n S 0121 1 32 33 33nn 3 n S 121 1 32 3 1 33 nn nn 两式相减 得 2 n S 0 1 3 121 1 31 31 33 nn n 8 分 1 3 1 3 n 3nn 31 2 n 3nn 1 2 31 2 n n 10 分 您身边的志愿填报指导专家 第 10 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 得 n S 21 31 4 n n 12 分 19 本小题满分 13 分 某市近郊有一块大约 500m 500m 的接近正方形的荒地 地方政府 准备在此建一个综合性休闲广场 首先要建设如图所示的一个矩形场地 其总面积为 3000 平方米 其中场地四周 阴影部分 为通道 通道宽度均为 2 米 中间的三个矩形区域将铺 设塑胶地面作为运动场地 其中两个小场地形状相同 塑胶运动场地占地面积为 S 平方米 1 分别写出用 x 表示 y 和 S 的函数关系式 写出函数定义域 2 怎样设计能使 S 取得最大值 最大值为多少 解析 1 由已知 3000 xy 2 6ay 则 3000 y x 6 500 x 2 分 4 6 Sxaxa 210 xa 6 210 5 6 2 y xxy 15000 30306x x 6 500 x 6 分 2 1500015000 3030630302 6Sxx xx 30302 3002430 10 分 当且仅当 15000 6x x 即 50 x 时 成立 此时 50 x 60y max 2430S 12 分 即设计 50 x 米 60y 米时 运动场地面积最大 最大值为 2430 平方米 13 分 20 本小题满分 13 分 已知函数 2 1 1 ln 2 f xxaxax 1a 1 若函数 f x 在 2x 处的切线与 x 轴平行 求 a 的值 并求出函数的极值 2 已知函数 2 4ln2ln 2 g xxxbb 在 1 的条件下 若 f xg x 恒成立 求 b 的取值范围 解析 1 f x 的定义域为 0 x 米 a 米a 米 y 米 您身边的志愿填报指导专家 第 11 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 2 1 1 axaxa fxxa xx 1 分 因 f x 在 2x 处的切线与 x 轴平行 则 2 0 f 得 3a 3 分 此时 fx 1 2 xx x 则 f x 在 0 1 上单调递增 在 1 2 上单调递减 在 2 上单调递增 则当 1x 时 f x 有极大值 5 1 2 f 当 2x 时 f x 有极小 值 2 42ln2f 6 分 2 令 F xf xg x 则 F x 的定义域为 0 F x 2 1 32ln 2 xxx 2 4ln2ln 2 xxbb 2 1 2ln 2 xxx 2 ln 2 bb 0 x 则 F x 2 1x x 2 2 2 1 xxxx xx 8 分 当0 2x 时 0F x 所以 F x 在 0 2 上单调递减 当 2x 时 0F x 所以 F x 在 2 上单调递增 当 2x 时 min 222ln2F x 2 ln 2 bb 2ln2 2 ln 2 bb 只需要 min F x 2ln2 2 ln 2 0bb 得 2 ln 2 bb 1 2ln2ln 4 11 分 得 2 2 20 1 2 4 bb bb 20 2525 22 bb b 或 2525 02 22 bb 或 13 分 您身边的志愿填报指导专家 第 12 页 版权所有 中国高考志愿填报门 户 21 本小题满分 13 分 已知函数 32 11 32 f xaxbxcx 0a 1 若函数 xf 有三个零点分别为 123 x x x 且 3 321 xxx 12 9x x 求函数 xf 的单调区间 2 若 1 1 2 fa 3 22acb 证明 函数 xf 在区间 0 2 内一定有极值点 3 在 2 的条件下 若函数 xf 的两个极值点之间的距离不小于 3 求 b a的取值范围 解析 1 因为 2 11 32 f xxaxbxc 又 123 3xxx 12 9x x 则 3 0 x 12 3 xx 12 9x x 1 分 因为 x1 x2 是方程 2 11 0 32 axbxc 的两根 则 3 3 2 b a 3 9 c a 得 2 b a 3 c a 3 分 所以 22 bc fxaxbxca xx aa 2 23 a xx 1 3 a xx 令 0 xf 解得 1 3xx 故