高三教材分析(计数、概率、统计)王春辉.doc

高三数学复习计数、概率和统计 北京八中 王春辉2010、12、8主要内容：1、思考的缘起熟练掌握概率问题中的基本模型；2、心态的回归谈计数问题；3、高考展望（关于概率统计部分的考查）。一、大学老师眼中的概率和概率教学这一部分的复习，“方向正确”是关键的。这个方向的观察不一定总是向后看（即以往的高考题），也可以向前看，即关注概率统计自身的东西和它真正的目的。复习既要脚踏实地，又要有一定的前瞻性。我们可以听听大学教授的说法。下面是一段视频，主讲是张饴慈（首师大教授、北师大版数学课程标准试验教材主编之一）。这里粗略罗列了报告中的几个主要观点。1、怎样把握“概率”这个概念；（1）研究的是在相同条件下、做重复试验出现的随机现象，并不是任意的随机现象；（2）随机是第一位的，其次才是频率的稳定性；（3）是在大量试验中体现出来的。2、怎么就算把一个随机现象研究清楚了呢？（1）所有可能出现的结果；（2）每一个结果的概率。3、对随机现象的结果怎么表示？“掷出三点”是一个试验结果，而3是一个数，“掷出三点”用3来表示，正是在这个层面上，我们说：“随机变量”是一个映射。4、分布完全描述了随机现象。有了分布我们能干什么呢？（1）有了分布我们就能算概率，例如：求；（2）已知，求的值；（3）均值、方差等数字特征。5、对分布怎么研究呢？研究一些重要的分布类（就是模型），以此为基础，进而研究一般的分布。中学一共讲了多少个模型呢？古典概型、几何概型、超几何分布、二项分布、正态分布。6、举几个例子（1）怎样把握模型；（2）不要抠定义；（3）讲具体问题，不要抽象，没实际价值；（4）关注对概率实质的理解。（只是截取了视频的一部分，全部视频将放在研修网上）二、把对基本模型的关注放在第一位。 “对我们老师来说，你要把握中学（概率）的教学，分布是核心，分布就是一切，你要让学生把握一个概率问题，包括做高考题，第一任务就是要把分布找到，要把模型弄清，而不是就事论事。”张饴慈（首都师范大学教授） 1、阅读、了解题目以后，思路的缘起应该就是对模型的深刻理解。4955005055154900重量/克频率/组距0.030.010.050.045100.07例1、（2010高考广东卷17）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490.495）.（495.500.）（510.515.）由此得到样本的频率分布直方图。如图4所示（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量。（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设y为重量超过505克的产品数量，求y的分布列。（3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。下面是网上下载试题时给的答案，对吗？这不是小问题，我们在教学中到底要关注什么？2、熟悉基本分布中学要求掌握哪些基本模型？五个基本模型：（1）古典概型（包括由它派生出来的问题）；（2）几何概型（即：连续随机变量的均匀分布）；（3）超几何分布：N个产品，其中有M个次品，每次抽取一个，无放回抽取n次，其中次品数服从超几何分布，；（4）二项分布：。，；（5）正态分布（不是均匀分布）：，则。补充：几何分布 N个产品，其中有M个次品，每次抽取一个，检验后放回（无损坏），直到第一次取出次品为止，记。设到停止时取出的产品数为，则服从几何分布：，其中。可以证明：。 （1）首先是意识的问题要有归类的意识，要把模型放到第一位。例2、把5个小球随机放入5个盒子，若某个事先指定的盒子中小球个数多于3就为中奖。求中奖的概率。下面哪个方法对？ 方法1、； 方法2、。例3、甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的2号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜。假设每个队员的实力相当，且每场比赛之间没有影响。则甲方有4名队员被淘汰且最后战胜乙方的概率是 。做每一个题，都要问一句，这是用到什么模型？为什么可以归结为这个模型？这个模型能转化成其它较简单形式吗？为什么可以转化？（2）学会归类、关注模型中的基本问题例4、（2010高考湖南卷17）图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.（I）求直方图中x的值；（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.解：（I）x=0.12. （II）由题意知，XB（3，0.1）.从这个题可以看到出题人考虑中学教师意见的影子，前面的一个题还要自己分析才行。而下面的题就困难了。例5、（2010高考全国2卷20）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9电流能否通过各元件相互独立已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999（）求p；（）求电流能在M与N之间通过的概率；（）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望我这么理解不行吗：可能仅中能通过电流，因为上路不通，也可能是坏了，而只能通过2个元件，但也是陷于具体问题的泥沼，应该从模型的高度看待这个问题。（3）、模型的等价性的问题超几何分布与二项分布的关系：当产品总数很大而抽取个数不多时，超几何分布可近似看作二项分布，无放回抽样此时可近似看作放回抽样。即使同一概型，也可以选定不同的基本事件。例6、（2010高考辽宁卷18）为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。 （）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表（）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（）完成下面22列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.表3： 解：（）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为（）（i）注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。（ii）.由于K210.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异”。例7、贝特朗悖论 几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不必用微积分的知识。然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指几何概率概念本身。 问题是这样的：在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。从不同方面考虑，可得不同结果：1)由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直于此方向的直径（见下面第一个图a），只有交直径于1/4 点 3/4 点间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交点是等可能的,则所求概率为1/2 。2) 由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过此端点的切线的交角在60 120 之间（见下面第二个图b），其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3 。3) 弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内（见下面第三个图c），其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。 我不知道这个100多年前提出的问题是否有了定论，下面是在网上找到的我以为不错的解释。 首先提出一个设想：弦某一范围的长度出现的概率不取决于垂直于此方向的直径的交点所构成的线段占该直径的百分比，而是取决于弦的两个端点在圆上构成的弧的长度占圆的长度的百分比。因为圆弧是由圆上的两个端点连接而成，因此要用两个端点在圆上构成的弧的长度占圆的长度的百分比来计算。出现三种答案的原因正是将这一概率认为是垂直于此方向的直径的交点所构成的线段占该直径的百分比。 现已将图a中圆的周长分成相等的六段。因为这六段等长，所以两个端点分别落在3，4段的概率为三分之一。而落在2，5段，或者1，6段的概率也为三分之一。由此可见，这一方法做出的答案应为三分之一。 再看b图，1，2，3三段等长。由于固定了一个端点，所以另一端点位于第1段中的概率为三分之一，这一方法做出的答案为三分之一。 c图中，3，4，8，7段相等，2，1，5，6段相等，且2，1，5，6段中任意一段都是3，4，8，7段中任意一段的一半。由于圆的不变性，我们可以只研究与红线平行的弦。当弦的两点分别位于3，4段的概率为三分之一；位于8，7段的概率为三分之一；位于2，1段的概率为六分之一；位于1，6段的概率为六分之一。此方法的答案也为三分之一。上面的问题也可以用下面的例子解释。例8、等腰直角，在线段上随机取点，求小于的概率。方法（1）：找点，使，则；方法（2）：过点在内部做射线，则要使小于，射线应落在上面提到的内部。所以。三、适当的关注理论以随机变量为例。不是抠字眼，但也不能放任不管。例9、（2010高考浙江卷19）如图，一个小球从M处投入，通过管道自上面下落到A或B或C，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖. （I）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记随机变量为获得等奖的折扣率，求随机变量的分布列及数学期望 （II）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求P（）. 解：（）由题意得的分布列为50%70%90%P则 （）由（）知，获得1等奖或2等奖的概率为由题意得，则例10、（2010高考安徽卷15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（写出所有正确结论的编号） ； ； 事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关下面是天利38给出的答案（这是我唯一找到的有详细解答的答案）。但我没看明白，似乎有错误。 天利解答：易见是两两互斥的事件，而=。所以错误。中由于从甲中取出一个红球给乙，所以红球共计有5个，所以正确。由上述知事件与事件不是相互独立的事件，故错误。中是两两互斥的事件。方法1、记=从甲罐中取出的不是红球，则，显然，且，。所以：=方法2、全概率公式设为试验的样本空间,为的事件,为的一组事件.若满足条件：， 则称为样本空间的一个分割.（显然：对每一次试验,事件必有一个且仅有一个发生）. （）上式被称为全概率公式.这样，我们就知道“天利答案”的问题出在哪里了。应该为： =。四、基本概念要熟识，第一轮复习尽可能全面。（1）二项式定理的记忆例11、（2010高考四川卷13）的展开式中的第四项是_（2）众数、中位数、均值、方差、标准差等（有些甚至是初中的概念）。例12、（2009年高考上海卷17）.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）（A）甲地：总体均值为3，中位数为4（B）乙地：总体均值为1，总体方差大于0 （C）丙地：中位数为2，众数为3 （D）丁地：总体均值为2，总体方差为3【解析】选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.（2）正相关、负相关例13、（2010高考广东卷（文）12）某市居民20052009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：来源:学。科。根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系.(3)茎叶图例14、（2009年高考福建卷12）某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算无误，则数字应该是_解析： 。（4）回归方程系数公式套用例15、假设某种设备使用的年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）有以下统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0 参考数据：，.若由资料知y对x呈线性相关关系试求：（1）求；（2）线性回归方程；（3）估计使用10年时，维修费用是多少？解：（1）. （2）由已知可得：b=1.23 于是 。所以回归直线方程是： （3）由（2）可得，当时，（元）.即估计使用10年时，维修费用是12.38元（5）由直方图读取数据、会画频率分布直方图例16、上海世博会深圳馆1号作品大芬丽莎是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画蒙娜丽莎，因其诞生于大芬村，因此被命名为大芬丽莎某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如下表所示（1）频率分布表中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（图4），再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在岁的人数（结果取整数）；（2）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为，求的分布列及数学期望分组（单位：岁）频数频率50.0500.20035300.300100.100合计1001.00 20 25 30 35 40 45 年龄 岁图4 20 25 30 35 40 45 年龄 岁解：（1）处填20，处填0.35；507个画师中年龄在的人数为人。补全频率分布直方图如图所示. （2）用分层抽样的方法，从中选取20人,则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人。故的可能取值为0， 1，2； ； 所以的分布列为：012P五、展望1、关注概率部分的应用，重要的是意识.高考中概率统计部分的考查，越来越关注应用，不再总是程序化、模式化，而是要回归统计本身。例17、(2010高考课程标准卷19)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：是否需要志愿 性别男女需要4030不需要160270（1） 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2） 能否有99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3） 根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由解：（1）、；（2）、。由于9.9676.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (3)、由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好例18、在边长为2的正方形中随机的撒一大把豆子，设豆子总数为，其中落在正方形内切圆中的豆子数量为。（1）如何用的值估计圆周率的值，写出估算公式；（2）若，据此估计圆周率的值。解：（1）； （2）例19、（公共安全问题）某地区有个人，要验血普查某种疾病，对他们的血液进行化验。血液化验结果呈阳性的为患病，呈阴性的没患病下面是两种化验方法：方案1：每个人的血液分别化验；方案2：把每个人的血样分成两份，先取个人的血液混在一起化验若结果呈阳性，再对这个人的另一份血样逐个化验。假定对所有人来说，化验结果呈阳性的概率是，而且这些人的反应是独立的。问题：设定以“平均每人需要的检验次数”为考察标准，请判断哪个方案好？如果方案2优于方案1，那么每次应把多少人的血液混合一起？参考数据（1）：下表给出了使函数达最小时的的值。0.860.880.90.92 0.940.960.980.982344456880.9840.9860.9880.990.9920.9940.9960.99889101112131623参考数据（2）：可能用到的运算结果：；。解：对方案2，设每人需要的检验次数为，分布列为，当，即时，此时方案2 好。这里是的函数，我们可以选取最合适的，使得最小。时，则，此时，工作量大约减少了。2、知识关联、综合应用例20、 对一批产品进行检验，规定：如果检查完第件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，在此之前一旦检查到不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大（可以认为每次检查查到不合格品与否相互独立），查到不合格品的概率都是。问平均每批要检查多少件？ 解：设每批检查件产品，则可能取值为1，2，。，；。（差比数列，错位相减）例21、（2010年广州市高三二模数学试题）一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率与运动员离飞碟的距离 (米)成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离 (米)与飞行时间(秒)满足, 每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击, 命中的概率为, 当第一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射击后 0.5秒进行第二次射击。在进行一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟的概率。注：子弹的飞行时间忽略不计. 解:依题意设为常数,由于, . 当时, , 则,解得. 当时, .该运动员第二次射击命中飞碟的概率为.六、计数问题1、越是繁杂的问题，越要考虑列举。（1）首先是个心态的问题两个原理（分类计数原理与分步计数原理）是基础，是任何排列组合命题的起源，因而分析问题时从两个原理入手是通性通法。例22、（2010高考安徽卷21）品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4，分别以表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令 则X是对两次排序的偏离程度的一种描述. （I）写出X的可能值集合； （II）假设等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列； （III）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有， （i）试按（II）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ii）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.解：（I）X的可能值集合为0，2，4，6，8.在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以中的奇数个数等于中的偶数个数，因此的奇偶性相同，从而必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.（II）X0 2 4 6 8P （III）（i）首先，将三轮测试都有的概率记做p，由上述结果和独立性假设，得（ii）由于是一个很小的概率，表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，所以认为该品酒师有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.（2）其次是个方法的问题，查数（适当考虑对称）例23、（2010高考浙江卷17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有种 （用数字作答）。分析：“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目依次设为，故不在上午，不在下午。不妨将上午的顺序就固定为，结果乘以24就可以了。下午分两类：（1）上午测的人下午测；（2）上午测的人下午测中的一个.列式：。2、心态回归教师最困难的就是：一次次把认知拉回起点，重新与学生一起成长（不管是真心还是假装）。例24、某小组有6名学生，记为A、B、C、D、E、F。（1）任选3人，完成某项工作，则有 种不同的方法。（2）任选3人，分别担任纪律、生活和体育委员，则有 种不同的方法。（3）6人站成一排，且A不在排头，则有 种不同的方法。（4）6人中选3人站成一排，且A和B不在排头，则有 种不同的方法。总结：1、区分排列与组合；2、特殊元素特殊对待；3、特殊位置特殊安排（5）6人站成一排，且A与B相邻，则有 种不同的方法。（6）6人站成一排，且A与B不相邻，则有 种不同的方法。总结：4、捆绑问题的处理；5、插空问题（7）6人站成一排，且A不在排头，B不在