一元二次方程的知识点梳理

1 一 知识结构 一元二次方程 二 考点精析 考点一 概念 1 定义 只含有一个未知数 并且 未知数的最高次数是 2 这样的 整式方程就是 一元二次方程 2 一般表达式 0 0 2 acbxax 难点 如何理解 未知数的最高次数是 2 该项系数不为 0 未知数指数为 2 若存在某项指数为待定系数 或系数也有待定 则需建立方程或不等式加以讨论 典型例题 例 1 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 A B 1213 2 xx02 11 2 xx C D 0 2 cbxax12 22 xxx 变式 当 k 时 关于 x 的方程是一元二次方程 32 22 xxkx 例 2 方程是关于 x 的一元二次方程 则 m 的值为 0132 mxxm m 针对练习 1 方程的一次项系数是 常数项是 78 2 x 2 若方程是关于 x 的一元一次方程 02 1 m xm 求 m 的值 写出关于 x 的一元一次方程 3 若方程是关于 x 的一元二次方程 则 m 的取值范围是 11 2 xmxm 4 若方程 nxm xn 2x2 0 是一元二次方程 则下列不可能的是 A m n 2 B m 2 n 1 C n 2 m 1 D m n 1 2 考点二 方程的解 概念 使方程两边相等的未知数的值 就是方程的解 应用 利用根的概念求代数式的值 典型例题 例 1 已知的值为 2 则的值为 32 2 yy124 2 yy 例 2 关于 x 的一元二次方程的一个根为 0 则 a 的值为 042 22 axxa 例 3 已知关于 x 的一元二次方程的系数满足 则此方程 00 2 acbxaxbca 必有一根为 例 4 已知是方程的两个根 是方程的两个根 ba 04 2 mxxcb 058 2 myy 则 m 的值为 针对练习 1 已知方程的一根是 2 则 k 为 另一根是 010 2 kxx 2 已知关于 x 的方程的一个解与方程的解相同 02 2 kxx3 1 1 x x 求 k 的值 方程的另一个解 3 已知 m 是方程的一个根 则代数式 01 2 xx mm2 4 已知是的根 则 a013 2 xx aa62 2 5 方程的一个根为 0 2 acxcbxba A B 1 C D 1 cb a 6 若 yx yx324 0352 考点三 解法 方法 直接开方法 因式分解法 配方法 公式法 3 关键点 降次 类型一 直接开方法 mxmmx 0 2 对于 等形式均适用直接开方法 max 2 22 nbxmax 典型例题 例 1 解方程 0 0821 2 x 2 16252x 0913 2 x 例 2 若 则 x 的值为 22 21619 xx 针对练习 下列方程无解的是 A B C D 123 22 xx 02 2 xxx 13209 2 x 类型二 因式分解法 0 21 xxxx 21 xxxx 或 方程特点 左边可以分解为两个一次因式的积 右边为 0 方程形式 如 22 nbxmax cxaxbxax 02 22 aaxx 典型例题 例 1 的根为 3532 xxx A B C D 2 5 x3 x3 2 5 21 xx 5 2 x 例 2 若 则 4x y 的值为 04434 2 yxyx 变式 1 2222 2 22 06b ababa 变式 2 若 则 x y 的值为 032 yxyx 变式 3 若 则 x y 的值为 14 2 yxyx28 2 xxyy 例 3 方程的解为 06 2 xx A B C D 23 21 xx23 21 xx33 21 xx22 21 xx 4 针对练习 1 下列说法中 方程的二根为 则0 2 qpxx 1 x 2 x 21 2 xxxxqpxx 4 2 86 2 xxxx 3 2 65 22 aababa 22 yxyxyxyx 方程可变形为07 13 2 x0 713 713 xx 正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 以与为根的一元二次方程是 71 71 A B 062 2 xx062 2 xx C D 062 2 yy062 2 yy 3 写出一个一元二次方程 要求二次项系数不为 1 且两根互为倒数 写出一个一元二次方程 要求二次项系数不为 1 且两根互为相反数 4 若实数 x y 满足 则 x y 的值为 023 yxyx A 1 或 2 B 1 或 2 C 1 或 2 D 1 或 2 5 方程 的解是 2 1 2 2 x x 类型三 配方法 00 2 acbxax 2 2 2 4 4 2a acb a b x 在解方程中 多不用配方法 但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题 典型例题 例例 1 1 试用配方法说明的值恒大于 0 32 2 xx 例例 2 2 已知 x y 为实数 求代数式的最小值 742 22 yxyx 例例 3 3 已知为实数 求的值 x yyxyx01364 22 y x 5 针对练习 1 试用配方法说明的值恒小于 0 4710 2 xx 2 已知 则 04 11 2 2 x x x x x x 1 3 若 则 t 的最大值为 最小值为 91232 2 xxt 类型四 公式法 条件 04 0 2 acba且 公式 a acbb x 2 4 2 04 0 2 acba且 典型例题 例 1 选择适当方法解下列方程 6 13 2 x 8 63 xx014 2 xx 0143 2 xx 5211313 xxxx 例 2 在实数范围内分解因式 1 2 322 2 xx184 2 xx 22 542yxyx 说明 对于二次三项式的因式分解 如果在有理数范围内不能分解 cbxax 2 一般情况要用求根公式 这种方法首先令 0 求出两根 再写成cbxax 2 cbxax 2 21 xxxxa 分解结果是否把二次项系数乘进括号内 取决于能否把括号内的分母化去 类型五 降次思想 的应用 求代数式的值 解二元二次方程组 典型例题 6 例例 1 1 已知 求代数式的值 023 2 xx 1 11 2 3 x xx 例 2 已知是一元二次方程的一根 求的值 a013 2 xx 1 152 2 23 a aaa 例 3 用两种不同的方法解方程组 2 0 65 1 62 22 yxyx yx 说明 解二元二次方程组的具体思维方法有两种 先消元 再降次 先降次 再 消元 但都体现了一种共同的数学思想 化归思想 即把新问题转化归结为我们已 知的问题 考点四 根的判别式acb4 2 根的判别式的作用 定根的个数 求待定系数的值 应用于其它 典型例题 例 1 若关于的方程有两个不相等的实数根 则 k 的取值范围是 x012 2 xkx 例 2 关于 x 的方程有实数根 则 m 的取值范围是 021 2 mmxxm 7 A B C D 10 mm0 m1 m1 m 例 3 已知关于 x 的方程 022 2 kxkx 1 求证 无论 k 取何值时 方程总有实数根 2 若等腰ABC 的一边长为 1 另两边长恰好是方程的两个根 求ABC 的周长 例 4 已知二次三项式是一个完全平方式 试求的值 2 6 9 2 mxmxm 例 5 为何值时 方程组有两个不同的实数解 有两个相同的实数解 m 3 62 22 ymx yx 针对练习 1 当 k 时 关于 x 的二次三项式是完全平方式 9 2 kxx 2 当取何值时 多项式是一个完全平方式 这个完全平方式是什么 kkxx243 2 3 已知方程有两个不相等的实数根 则 m 的值是 02 2 mxmx 4 为何值时 方程组k 0 124 2 2 yxy kxy 1 有两组相等的实数解 并求此解 2 有两组不相等的实数解 3 没有实数解 5 当取何值时 方程的根与均为有理数 k042344 22 kmmxmxxm 8 考点五 方程类问题中的 分类讨论 典型例题 例 1 关于 x 的方程 0321 2 mxxm 有两个实数根 则 m 为 只有一个根 则 m 为 例例 2 2 不解方程 判断关于 x 的方程根的情况 32 22 kkxx 考点六 根与系数的关系 前提 对于而言 当满足 时 0 2 cbxax0 a0 才能用韦达定理 主要内容 a c xx a b xx 2121 应用 整体代入求值 典型例题 例 1 已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根 则这个直角0782 2 xx 三 角形的斜边是 A B 3 C 6 D 36 例 2 已知关于 x 的方程有两个不相等的实数根 0112 22 xkxk 21 x x 1 求 k 的取值范围 2 是否存在实数 k 使方程的两实数根互为相反数 若存在 求出 k 的值 若不 存在 请说明理由 例 3 小明和小红一起做作业 在解一道一元二次方程 二次项系数为 1 时 小明因 看错 常数项 而得到解为 8 和 2 小红因看错了一次项系数 而得到解为 9 和 1 你知道 原来的方程是什么吗 其正确解应该是多少 例 4 已知 求 ba 012 2 aa012 2 bb b