【步步高】2014届高三数学大一轮复习 9.4直线与圆、圆与圆的位置关系教案 理 新人教A版

1 9 4 9 4 直线与圆 圆与圆的位置关系直线与圆 圆与圆的位置关系 2014 高考会这样考 1 考查直线与圆的相交 相切问题 判断直线与圆 圆与圆的位置关 系 2 计算弦长 面积 考查与圆有关的最值 根据条件求圆的方程 复习备考要这样做 1 会用代数法或几何法判定点 直线与圆的位置关系 2 掌握圆的几 何性质 通过数形结合法解决圆的切线 直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题 体会 用代数法处理几何问题的思想 1 直线与圆的位置关系 设直线l Ax By C 0 A2 B2 0 圆 x a 2 y b 2 r2 r 0 d为圆心 a b 到直线l的距离 联立直线和圆的方程 消元后得到的一元二次方程的 判别式为 方法 位置关系 几何法代数法 相交 d0 相切d r 0 相离 d r 0 2 1 圆O2 x a2 2 y b2 2 r r2 0 2 2 方法 位置关系 几何法 圆心距d与 r1 r2的关系 代数法 两圆方程联立组成方程组 的解的情况 相离d r1 r2无解 外切d r1 r2一组实数解 相交 r1 r2 d r1 r2两组不同的实数解 内切d r1 r2 r1 r2 一组实数解 内含0 d 2 k2 1 1 解得 k 即k 3333 3 在平面直角坐标系xOy中 已知圆x2 y2 4 上有且只有四个点到直线 12x 5y c 0 的距离为 1 则实数c的取值范围是 答案 13 13 解析 由题设得 若圆上有四个点到直线的距离为 1 则需圆心 0 0 到直线的距离d 满足 0 d 1 d 0 c 13 即c 13 13 c 122 52 c 13 4 从圆x2 2x y2 2y 1 0 外一点P 3 2 向这个圆作两条切线 则两切线夹角的余弦 值为 A B C D 0 1 2 3 5 3 2 答案 B 解析 圆的方程整理为 x 1 2 y 1 2 1 C 1 1 3 sin APC 1 5 则 cos APB cos 2 APC 1 2 2 1 5 3 5 5 圆C1 x2 y2 2x 2y 2 0 与圆C2 x2 y2 4x 2y 1 0 的公切线有且仅有 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案 B 解析 C1 x 1 2 y 1 2 4 圆心C1 1 1 半径r1 2 C2 x 2 2 y 1 2 4 圆心C2 2 1 半径r2 2 C1C2 r1 r2 0 C1C2 0 所以不论k为何实数 直线l和圆C总有两个交点 2 解 设直线与圆交于A x1 y1 B x2 y2 两点 则直线l被圆C截得的弦长 AB x1 x2 1 k2 2 2 8 4k 11k2 1 k2 11 4k 3 1 k2 令t 则tk2 4k t 3 0 4k 3 1 k2 当t 0 时 k 当t 0 时 因为k R R 3 4 4 所以 16 4t t 3 0 解得 1 t 4 且t 0 故t 的最大值为 4 此时 AB 最小为 2 4k 3 1 k27 方法二 1 证明 圆心C 1 1 到直线l的距离d 圆C的半径 k 2 1 k2 R 2 R2 d2 12 而在S 11k2 4k 8 中 3 k2 4k 4 1 k2 11k2 4k 8 1 k2 4 2 4 11 80 对k R R 恒成立 所以R2 d2 0 即d R 所以不论k为何实数 直线l和圆C总有两个交点 2 解 由平面几何知识 知 AB 2 2 下同方法一 R2 d2 8 4k 11k2 1 k2 方法三 1 证明 因为不论k为何实数 直线l总过点P 0 1 而 PC 2 R 所以点P 0 1 在圆C的内部 即不论k为何实数 直线l总经过圆 53 C内部的定点P 所以不论k为何实数 直线l和圆C总有两个交点 2 解 由平面几何知识知过圆内定点P 0 1 的弦 只有和AC C为圆心 垂直时才最 短 而此时点P 0 1 为弦AB的中点 由勾股定理 知 AB 2 2 12 57 即直线l被圆C截得的最短弦长为 2 7 探究提高 1 利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系 也可利用直线的方 程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系 2 勾股定理是解决有关弦问题的常用方法 2012 安徽 若直线x y 1 0 与圆 x a 2 y2 2 有公共点 则实数a 的取值范围是 A 3 1 B 1 3 C 3 1 D 3 1 答案 C 解析 由题意知 圆心为 a 0 半径r 2 若直线与圆有公共点 则圆心到直线的距离小于或等于半径 即 a 1 2 3 a 1 a 0 1 22 5 题型二 圆与圆的位置关系 例 2 a为何值时 圆C1 x2 y2 2ax 4y a2 5 0 和圆C2 x2 y2 2x 2ay a2 3 0 1 外切 2 相交 3 外离 4 内切 思维启迪 1 分别表示出两圆的圆心坐标和半径 2 利用圆心距与两圆半径的关系求 解 解 将两圆方程写成标准方程 C1 x a 2 y 2 2 9 C2 x 1 2 y a 2 4 两圆的圆心和半径分别为 C1 a 2 r1 3 C2 1 a r2 2 设两圆的圆心距为d 则d2 a 1 2 2 a 2 2a2 6a 5 1 当d 5 即 2a2 6a 5 25 时 两圆外切 此时a 5 或a 2 2 当 1 d 5 即 1 2a2 6a 5 25 时 两圆相交 此时 5 a 2 或 1 a5 即 2a2 6a 5 25 时 两圆外离 此时a 2 或a0 即b2 6b 9 0 解得 3 3 b0 即直线AB的方程为x y 4 0 或x y 1 0 12 分 答题模板答题模板 第一步 假设符合要求的结论存在 第二步 从条件出发 即假设 利用直线与圆的关系求解 第三步 确定符合要求的结论存在或不存在 第四步 给出明确结果 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点及答题规范 温馨提醒 1 本题是与圆有关的探索类问题 要注意充分利用圆的几何性质答题 2 要注意解答这类题目的答题格式 使答题过程完整规范 3 本题的易错点是转化方向 不明确 思路不清晰 方法与技巧 1 过圆上一点 x0 y0 的圆的切线方程的求法 先求切点与圆心连线的斜率k 由垂直关系知切线斜率为 由点斜式方程可求切线 1 k 方程 若切线斜率不存在 则由图形写出切线方程x x0 2 过圆外一点 x0 y0 的圆的切线方程的求法 1 几何方法 当斜率存在时 设为k 切线方程为y y0 k x x0 即kx y y0 kx0 0 由圆心 到直线的距离等于半径 即可得出切线方程 2 代数方法 设切线方程为y y0 k x x0 即y kx kx0 y0 代入圆方程 得一个关于x的一 元二次方程 由 0 求得k 切线方程即可求出 3 两圆公共弦所在直线方程求法 若两圆相交时 把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程 4 圆的弦长的求法 9 1 几何法 设圆的半径为 r 弦心距为d 弦长为 l 则 2 r2 d2 l 2 2 代数法 设直线与圆相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 解方程组Error 消y后得关 于x的一元二次方程 从而求得x1 x2 x1x2 则弦长为 AB k为直线斜率 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 失误与防范 1 求圆的弦长问题 注意应用圆的性质解题 即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质 可 以用勾股定理或斜率之积为 1 列方程来简化运算 2 过圆上一点作圆的切线有且只有一条 过圆外一点作圆的切线有且只有两条 若仅求得 一条 除了考虑运算过程是否正确外 还要考虑斜率不存在的情况 以防漏解 A 组 专项基础训练 时间 35 分钟 满分 57 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 a 3 是 直线y x 4 与圆 x a 2 y 3 2 8 相切 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若直线y x 4 与圆 x a 2 y 3 2 8 相切 则有 2 即 a 3 4 22 a 1 4 所以a 3 或 5 但当a 3 时 直线y x 4 与圆 x a 2 y 3 2 8 一 定相切 故 a 3 是 直线y x 4 与圆 x a 2 y 3 2 8 相切 的充分不必要 条件 2 2012 重庆 对任意的实数k 直线y kx 1 与圆x2 y2 2 的位置关系一定是 A 相离 B 相切 C 相交但直线不过圆心 D 相交且直线过圆心 答案 C 解析 x2 y2 2 的圆心 0 0 到直线y kx 1 的距离 d 1 0 0 1 1 k2 1 1 k2 又 r 0 d0 的公共弦长为 2 则a 3 答案 1 解析 方程x2 y2 2ay 6 0 与x2 y2 4 相减得 2ay 2 则y 由已知条件 1 a 22 3 2 1 a 即a 1 7 2012 江苏 在平面直角坐标系xOy中 圆C的方程为x2 y2 8x 15 0 若直线 11 y kx 2 上至少存在一点 使得以该点为圆心 1 为半径的圆与圆C有公共点 则k的 最大值是 答案 4 3 解析 圆C的标准方程为 x 4 2 y2 1 圆心为 4 0 由题意知 4 0 到kx y 2 0 的距离应不大于 2 即 2 整理 得 3k2 4k 0 解得 0 k 4k 2 k2 1 4 3 故k的最大值是 4 3 三 解答题 共 22 分 8 10 分 求过点P 4 1 且与圆C x2 y2 2x 6y 5 0 切于点M 1 2 的圆的方程 解 设所求圆的圆心为A m n 半径为r 则A M C三点共线 且有 MA AP r 因为圆C x2 y2 2x 6y 5 0 的圆心为C 1 3 则Error 解得m 3 n 1 r 5 所以所求圆的方程为 x 3 2 y 1 2 5 9 12 分 已知点A 1 a 圆x2 y2 4 1 若过点A的圆的切线只有一条 求a的值及切线方程 2 若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切 求a的值及切线方程 解 1 由于过点A的圆的切线只有一条 则点A在圆上 故 12 a2 4 a 3 当a 时 A 1 切线方程为x y 4 0 333 当a 时 A 1 切线方程为x y 4 0 333 a 时 切线方程为x y 4 0 33 a 时 切线方程为x y 4 0 33 2 设直线方程为x y b 由于直线过点A 1 a b 直线方程为x y 1 a 即x y a 1 0 又直线与圆相切 d 2 a 2 1 a 1 22 切线方程为x y 2 0 或x y 2 0 22 B 组 专项能力提升 时间 25 分钟 满分 43 分 一 选择题 每小题 5 分 共 15 分 12 1 2012 天津 设m n R R 若直线 m 1 x n 1 y 2 0 与圆 x 1 2 y 1 2 1 相切 则m n的取值范围是 A 1 1 33 B 1 1 33 C 2 2 2 2 22 D 2 2 2 2 22 答案 D 解析 圆心 1 1 到直线 m 1 x n 1 y 2 0 的距离为 1 m n m 1 2 n 1 2 所以m n 1 mn m n 2 1 4 所以m n 2 2或m n 2 2 22 2 2011 江西 若曲线C1 x2 y2 2x 0 与曲线C2 y y mx m 0 有四个不同的交点 则实数m的取值范围是 A B 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 C D 3 3 3 3 3 3 3 3 答案 B 解析 C1 x 1 2 y2 1 C2 y 0 或y mx m m x 1 当m 0 时 C2 y 0 此时C1与C2显然只有两个交点 当m 0 时 要满足题意 需圆 x 1 2 y2 1 与直线y m x 1 有两交点 当圆与直线相切时 m 即直线处于两切线之间时满足题意 则 3 3 m 0 或 0 m 3 3 3 3 综上知 m 0 或 0 m 3 3 3 3 3 2011 大纲全国 设两圆C1 C2都和两坐标轴相切 且都过点 4 1 则两圆心的距离 C1C2 等于 A 4 B 4 C 8 D 8 22 答案 C 解析 两圆与两坐标轴都相切 且都经过点 4 1 13 两圆圆心均在第一象限且横 纵坐标相等 设两圆的圆心分别为 a a b b 则有 4 a 2 1 a 2 a2 4 b 2 1 b 2 b2 即a b为方程 4 x 2 1 x 2 x2的两个根 整理得x2 10 x 17 0 a b 10 ab 17 a b 2 a b 2 4ab 100 4 17 32 C1C2 8 a b 2 a b 232 2 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 4 若过点A a a 可作圆x2 y2 2ax a2 2a 3 0 的两条切线 则实数a的取值范围 为 答案 3 1 3 2 解析 圆方程可化为 x a 2 y2 3 2a 由已知可得Error 解得a 3 或 1 a 3 2 5 若过定点M 1 0 且斜率为k的直线与圆C x2 4x y2 5 0 在第一象限内的部分有 交点 则