诱导公式的巧记、妙用

1 诱导公式的巧记 妙用诱导公式的巧记 妙用 祁东县职业中专祁东县职业中专 刘永华刘永华 摘要摘要 高中数学的学习中 公式多 难记 不会用 是高中学生的一个 难点 但同时也是高中学习的一个重点 其中诱导公式却又更多 教材上面现在介绍得很简单 也很少 但是真正要学会 学好这个 诱导公式还是要用心 更要细心 诱导公式的主要特点是多 难记 但是仔细分析之后这个公式还是有规律可寻的 经过几年的教学 我个人给学生找到了一个很好的学习方法 而且我们还能发现 学 习和使用这个公式也是一种享受 还可以培养学生的学习兴趣和爱 好 下面本人就我个人多年的学习和教学过程中所得的经验从诱导 公式记忆方法和巧妙应用两个方面来讲述这个公式的学习和用法 关键词关键词 公式的内容 公式的巧记 公式的妙用 2 一 一 公式的内容公式的内容 公式一 sin sin cos cos 2 k 2 k tan tan cot cot Z 2 k 2 k k 也叫做 终边相同的角的同一三角函数的值相等 公式二 sin cos sin cos tan cot tan cot 公式三 sin cos sin cos tan cot tan cot 公式四 sin cos sin cos tan cot tan cot 公式五 sin cos 2 sin 2 cos tan cot 2 tan 2 cot 公式一 二 三 四 五都叫做诱导公式诱导公式 它们可以概括如下 Z 的三角函数值 等于的三角函数值 等于 的同名函数的同名函数 k2 k 2 值 前面加上一个值 前面加上一个把把 看成锐角看成锐角时原函数值的符号 时原函数值的符号 利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数 这就是诱导公 式的用途 注意 1 公式中的 把 看成锐角 实际上可以为任意角 2 公式中的 原函数值的符号 是指 的实际大小的函数值符号 二二 公式的巧记公式的巧记 以上诱导公式中主要体现了任意角 的正弦 余弦 正切 余切四个三角 函数值公式 还有正割和余割函数也是一样的 这里就不再一一列举出来了 诱导公式里面公式较多如果死记硬背的话可能比较困难 关键是要理解公式中 的一些关键词语 进行理解记忆要好一些 那么我们先来理解下这个公式意义 首先 公式中有Z 其中 是任意角 k2 k 2 这样一些角 那么这些角是什么意思呢 因为 是任意角 那么 当然上面那 些角也都是任意角 这些角的三角函数值都等于角 的同名三角函数值 也就 是这些角正弦就等于角 的正弦 这些角余弦就等于角 的余弦 这些角正 3 切就等于角 的正切 这些角的余切就等于角 的余切 其次 前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号 这句话很简单 但 实际上内涵很丰富 就是在前面加上一个符号 加上一个什么符号呢 加上一 个把角 看成锐角时原函数值的符号 那么 把角 看成锐角时原函数值的 符号又是什么呢 这里又关系到任意角的三角函数的定义以及角的分类和三角 函数值的符号的知识 我们知道 角 是第一象限角时 所有的三角函数值都 为正值 角 是第二象限角时 只有正弦值为正值 其余的三角函数值都为负 值 角 是第三象限角时 只有正切和余切为正 其余的三角函数都为负值 角 是第四象限角时 只有余弦为正 其余的三角函数值都为负值 因此 我 们就要知道把角 看成锐角时原来的角是第几象限的角 例如 如果 是锐角 那么Z 就是第一象限角 而第一象限 k2 k 角 所有的三角函数值都为正值 因此 Z 的所有三角函值也都是正 k2 k 值 所以公式一中前面都是正号 例如 如果 是锐角 那么就是第三象限角 而第三象角只有正切 和余切为正值 其余的都为负值 因此 的正切和余切为正号 而正弦和 余弦为负号 所以公式三中的正切和余切为正号 正弦和余弦为负号 由此看来 诱导公式并不难 主要的难度是公式中的符号难记 又是正号 又是负号的 一不小心就会搞混扰 为了记忆方便 我们可以把五组公式重新 分组一次以便记忆 因为把 看成锐角时 Z 是第一象限角 这 k2 k 组公式不变 是第二象限角 这组公式变为公式二 是第三象限角 这组公式变为公式三 和都是第四象角 因此这两组公式变为公式 2 四 经过变换以后就是以下四组公式 公式一 sin sin cos cos 2 k 2 k tan tan cot cot Z 2 k 2 k k 公式二 sin cos sin cos tan cot tan cot 公式三 sin cos sin cos tan cot tan cot 公式四 sin cos 2 sin 2 cos tan cot 2 tan 2 cot sin cos sin cos 4 tan cot tan cot 经过变换以后的四组公式可以这样来记忆 公式一 就是把第一象限角的三角函数转化为求锐角的三角函数值 公式二 就是把第二象限角的三角函数转化为求锐角的三角函数值 公式三 就是把第三象限角的三角函数转化为求锐角的三角函数值 公式四 就是把第四象限角的三角函数转化为求锐角的三角函数值 每组公式前面的符号就都由刚才前面的那种方法来定 即 公式一 中都为正号 公式二 中只有正弦为正号 其余的都为负号 公式三 中只有正切和余切为正 其余的都为负号 公式四 中只有余弦为正号 其余的都为负号 当然 这种分类方法不包括终边在数轴上的角 因为终边在数轴上的角都是特 殊角 有特殊的记忆方法 因此 诱导公式经过这样变换之后 要记住它就不 难了 而且我们还学会了把一些相关联的知识组在一起记忆 记住了这个知识点也学 会另外的知识点 好方法 妙 作者情不自禁而感叹 自然而然的就会增加 学习的兴趣和爱好 然否 三三 公式的妙用 公式的妙用 古人曰 学以致用 当然 我们记公式主要是为了应用 刚才我们学习 并记了诱导公式它的主要用途是把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角 函数值 因为锐角的三角函数值可以通过查表而得 这就是诱导公式的主要用 途 然而我们不能学得太死板 用得太僵硬 我们要学得轻 用得灵活 在我 们高中的数学知识点还有一处也可以利用诱导公式来解决 那就是已知三角函 数值求角的问题 我们不禁要问 诱导公式的用途是用来解决已知一个角来求 三角函数值的问题 而这个知识点是已知三角函数值求角的问题 这不是南辕 北辙吗 问得好 这个问题就是答案 我们可以逆向运用诱导公式来解决这个 问题 那么顺向运用诱导公式又是怎样用的呢 我们也可以来总结一下 根据 刚才学习记忆诱导公式的过程可知 已知一个角来求它的三角函数值 我们首 先要知道这个角是第几象限的角 再去想用哪组公式 把这个角转化为锐角再 求它的三角函数值 因此我们可以总结得到诱导公式的使用方法 首先 判断这个角是第几象限的角 其次 如果是第一象限的角就用 公式一 如果是第二象限的角就用 公式二 如果是第三象限的角就用 公式三 如果是第四象限的角就用 公式四 最后 转化为求锐角的三角函数值 可以查表而求 当然 查表而求出的值都是正数 符号是由诱导公式转化自然而然地产生 也就是说我们可以得出下面一个结论 一个角所对应的锐角的大小确定它的三 角函数值绝对值的大小 它所在的象限确定它对应三角函数值的符号 刚才我们讨论了逆向运用诱导公式的来解决已知三角函数值求角的问题 那 又该是怎样用的呢 根据上面所得的结论可知 反过来 某个角的三角函数值 5 的符号确定这个所在的象限 它的三角函数值绝对值的大小确定锐角的大小 从而确定与这个锐角对应的那个角的大小 由此可知 我们可以逆向运诱导 公式的用法来解决已知三角函数值求角的问题 例如 已知 求 2 3 sin xx 解 0 是第三或四象限的角 2 3 x 又 对应的锐角 2 3 sin 3 当是第三象限角时 则 即x kx2 3 Z 3 4 2 kx k 当是第四象限角时 则 即x kx2 3 2 Z 3 5 2 kx k 由以上例题可得出利用诱导公式解已知三角函数值求角的问题的方法步骤 已知 求角 其中可以为 sin cos tan cot mxf xf 第一步 由 m 的符号来确定角所在的