2015北京各区期末考试解析几何分类汇编理

解析几何 理 分类 一 选择题 1 海淀 1 抛物线的焦点坐标是 2 2xy A 1 0 B 1 0 C 1 0 2 D 1 0 2 答案 C 2 朝阳 2 过抛物线的焦点的直线 交抛物线于两点 若中点到 2 4yx Fl A BABM 抛物线准线的距离为 6 则线段的长为AB A B C D 无法确定 6912 答案 C 3 石景山 3 点与圆的位置关系是 1 2 13cos 3sin x y A 点在圆内 B 点在圆外 C 点在圆上 D 与的值有关 答案 A 4 海淀 4 已知直线 若 则实数的值 1 2 10laxay 2 20lxay 12 ll a 是 A 0 B 或 21 C 或 03 D 3 答案 C 答案 B 6 丰台 丰台 8 在平面直角坐标系 xOy 中 如果菱形 OABC 的边长为 2 点 B 在 y 轴上 则菱 形内 不含边界 的整点 横纵坐标都是整数的点 个数的取值集合是 A 1 3 B 0 1 3 C 0 1 3 4 D 0 1 2 3 4 答案 答案 D 7 东城 8 已知圆 直线 点在直线 22 2C xy 240l xy 00 P xy 上 若存在圆上的点 使得 为坐标原点 则的取值范围是lCQ45OPQ O 0 x 5 西城 7 已知抛物线 点 O 为坐标原点 若在抛物线 C 上存在一 2 4C yx 0 P m 点 使得 则实数 m 的取值范围是 Q90OQP o A 4 8 B 4 C 0 4 D 8 A B C D 0 1 8 0 5 1 1 2 1 8 2 5 答案 B 二 填空题 1 东城 9 若抛物线的焦点到其准线的距离为 则该抛物线的方程为 2 2 0 ypx p 1 答案 2 2yx 2 西城 10 设为双曲线 C 的左 右焦点 点 P 为双曲线 C 上 12 F F 22 2 1 0 16 xy a a 一点 如果 那么双曲线 C 的方程为 离心率为 12 4PFPF 答案 22 1 416 xy 5 3 朝阳 10 双曲线 的离心率是 渐近线方程是 22 C xy 0 答案 2yx 4 海淀 11 若双曲线的一条渐近线的倾斜角为 则 2 2 1 y x m 60 m 答案 3 5 石景山 12 若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合 则的值为 2 yax 1 3 2 2 x y a 答案 1 8 6 丰台 丰台 13 过点作圆 O 的切线 切点为 如果 那么 0 3 My 22 1xy N0 0 y 切线的斜率是 如果 那么的取值范围是 6 OMN 0 y 答案 2 2 0 11y 7 昌平 13 已知双曲线的离心率是 2 则以该双 2 2 1 0 y xm m m 曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是 答案 3 22 2 3xy 三 解答题 1 海淀 18 已知椭圆 点 分别是椭圆的左焦点 左顶点 过点的直线 22 1 43 xy M 1 FCM 1 F 不与轴重合 交于两点 lxM A B 求的离心率及短轴长 M 是否存在直线 使得点在以线段为直径的圆上 若存在 求出直线 的lBACl 方程 若不存在 说明理由 解 由得 22 1 43 xy 2 3ab 所以 椭圆的短轴长为 2 分M2 3 因为 22 1cab 所以 即的离心率为 4 分 1 2 c e a M 1 2 由题意知 设 则 1 2 0 1 0 CF 000 22 B xyx 22 00 1 43 xy 7 分 因为 10000 1 2 BF BCxyxy 9 分 22 000 23xxy 11 分 2 00 1 350 4 xx 所以 0 2 B 所以 点不在以为直径的圆上 即 不存在直线 使得点在以为直径的圆上 BAClBAC 13 分 另解 由题意可设直线 的方程为 l1xmy 1122 A x yB xy 由可得 22 1 43 1 xy xmy 22 34 690mymy 所以 7 分 12 2 6 34 m yy m 12 2 9 34 y y m 所以 1122 2 2 CA CBxyxy 2 1212 1 1my ym yy 2 22 96 1 1 3434 m mm mm 9 分 2 5 0 34m 因为 cos 1 0 CA CB C CA CB 所以 11 分 2 C 所以 0 2 B 所以 点不在以为直径的圆上 即 不存在直线 使得点在以为直径的圆上 BAClBAC 13 分 2 丰台 丰台 19 已知椭圆 的右焦点 点C 22 22 1 0 xy ab ab 3 0 F 在椭圆上 1 3 2 M C 求椭圆的标准方程 C 直线 过点 且与椭圆交于 两点 过原点作直线 的垂线 垂足l F C AB Ol 为 如果 的面积为 为实数 求的值 P OAB 4 2 AB OP 解 由题意知 3c 根据椭圆的定义得 22 11 2 33 22 a 即 2 分2a 所以 3 分 2 431b 所以椭圆的标准方程为 4 分C 2 2 1 4 x y 由题意知 ABC 的面积 1 4 22 ABC AB SABOP OP 整理得 5 分 2 4 OP AB 当直线 的斜率不存在时 的方程是 ll3x 此时 所以 1AB 3OP 2 4 1 OP AB 当直线 的斜率存在时 设直线 的方程为 ll 3 y k x 设 11 A x y 22 B xy 由 可得 2 2 1 4 3 x y y k x 2222 41 8 31240kxk xk 显然 则 9 分0 2 12 2 2 12 2 8 3 41 124 41 k xx k k x x k 因为 11 3 yk x 22 3 yk x 所以 22 1212 ABxxyy 22 12 1 kxx 22 1212 1 4 kxxx x 2 2 1 4 41 k k 11 分 所以 2 22 2 2 3 3 1 1 kk OP k k 此时 22 22 341 1 11 kk kk 综上所述 为定值 14 分 1 3 东城 19 已知椭圆的中心在原点 焦点在轴上 短轴长为 离心率为 Cx2 3 2 求椭圆的方程 C 设是椭圆长轴上的一个动点 过作斜率为的直线 交椭圆于 两PCP 1 2 lCAB 点 求证 为定值 22 PBPA 解 设椭圆的标准方程为 C 22 22 1 0 xy ab ab 由题意知 解得 222 3 2 1 abc c a b 2a 所以椭圆的标准方程为 5 分C 2 2 1 4 x y 设 由已知 直线 的方程是 0 mP22 ml 1 2 yxm 由消得 2 2 1 2 1 4 yxm x y y0422 22 mmxx 设 则 是方程 的两个根 11 yxA 22 yxB 1 x 2 x 所以 22 xxm 2 4 2 21 m xx 所以 2 2 2 2 2 1 2 1 22 ymxymxPBPA 2222 1122 11 44 xmxmxmxm 22 12 5 4 xmxm 222 1212 5 2 2 4 xxm xxm 22 121212 5 2 22 4 xxm xxx xm 定值 5 2 4 2 4 5 2222 mmmm 所以为定值 13 分 22 PBPA 4 西城 19 已知椭圆 C 的右焦点为 F 右顶点为 A 离心率为 e 点 22 1 1612 xy 满足条件 0 4 P mm FA e AP 求 m 的值 设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M N 两点 记和的面积分别为 PMF PNF 1 S 求证 2 S 1 2 SPM SPN 解解 因为椭圆 C 的方程为 22 1 1612 xy 所以 24a 2 3b 22 2cab 分 则 3 1 2 c e a 2FA 4APm 分 因为 21 42 FA APm 所以 58m 分 解解 若直线 l 的斜率不存在 则有 符合题意 6 分 21 SS PMPN 若直线 l 的斜率存在 则设直线 l 的方程为 2 xky 11 yxM 22 yxN 由 2 1 1216 22 xky yx 得 7 分 2222 43 1616480kxk xk 可知 恒成立 且 8 分0 34 16 2 2 21 k k xx 34 4816 2 2 21 k k xx 因为 10 分 8 2 8 2 88 2 2 1 1 2 2 1 1 x xk x xk x y x y kk PNPM 8 8 8 2 8 2 21 1221 xx xxkxxk 8 8 32 102 21 2121 xx kxxkxkx 0 8 8 32 34 16 10 34 4816 2 21 2 2 2 2 xx k k k k k k k 所以 12 分MPFNPF 因为和的面积分别为 PMF PNF 1 1 sin 2 SPFPMMPF 13 2 1 sin 2 SPFPNNPF 分 所以 1 2 SPM SPN 5 朝阳 19 已知椭圆过点 离心率为 过椭圆右顶点的 22 22 1 0 xy Cab ab 3 1 2 3 2 A 两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点 1 4 C M N 求椭圆的标准方程 C 直线是否过定点 若过定点 求出点的坐标 若不过 请说明理由 MNDDD 解 由已知得 解得 22 3 2 13 1 4 c a ab 2 2 4 1 a b 所以椭圆的标准方程为 4 分 2 2 1 4 x y 直线过定点 MN 0 0 D 说明如下 由 可知椭圆右顶点 2 0 A 由题意可知 直线和直线的斜率存在且不为 AMAN0 设直线的方程为 AM 2 yk x 由得 22 44 2 xy yk x 2222 14 161640kxk xk 成立 422 25616 14 41 160kkk 所以 所以 2 2 164 2 14 M k x k 2 2 82 14 M k x k 所以 2 22 824 2 2 1414 MM kk yk xk kk 于是 点 2 22 824 1414 kk M kk 因为直线和直线的斜率乘积为 故可设直线的方程为AMAN 1 4 AN 1 2 4 yx k 同理 易得 2 2 2 2 1 8 2 28 4 1 14 14 4 N k k x k k 所以点 2 22 284 1414 kk N kk 所以 当时 即时 MN xx 1 2 k 2 2 14 MN k k k 直线的方程为 MN 2 222 4228 141 414 kkk yx kkk 整理得 2 2 1 4 k yx k 显然直线过定点 点关于原点对称 MN 0 0 D M N 当 即时 直线显然过定点 MN xx 1 2 k MN 0 0 D 综上所述 直线过定点 14 分 MN 0 0 D 6 石景山 19 已知椭圆的离心率为 且过点 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 3 0 1 B 求椭圆的标准方程 直线交椭圆于 P Q 两点 若点 B 始终在以 PQ 为直径的圆内 求实 2 xkyl 数的取值范围 k 解 由题意知 解得 222 2 3 1 cba a c e b 3 1 2 c b a 椭圆的标准方程为 4 分1 4 2 2 y x 设 2211 yxQyxP 联立 消去 得 6 分 1 4 2 2 2 y x xky y 0 416 16 41 2222 kxkxk 依题意 直线恒过点 此点为椭圆的左顶点 2 xkyl 0 2 所以 2 1 x0 1 y 由 式 41 16 2 2 21 k k xx 可得 8 分kxxkxkxkyy4 2 2 212121 由 10 分 2 2 2 41 82 k k x 2 2 41 4 k k y 由点 B 在以 PQ 为直径的圆内 得为钝角或平角 即 PBQ 0 BQBP 12 分 112 22 yxBQBP 012 22 yxBQBP 即 整理得 01 41 4 41 164 22 2 k k k k 03420 2 kk 解得 14 分 2 1 10 3 k 7 昌平 19 已知椭圆 C 经过点 P 离心率是 22 22 1 0 xy ab ab 3 1 2 3 2 I 求椭圆 C 的方程 II 设直线 与椭圆交于两点 且以为直径的圆过椭圆右顶点 求证 lC A BABM 直线 l 恒过定点 解 I 由 解得 22 222 13 3 4 3 2 ab c a abc 2 1 a b 所以椭圆 C 的方程是 5 分 2 2 1 4 x y II 方法一 1 由题意可知 直线 的斜率为 0 时 不合题意 l 2 不妨设直线的方程为 lxkym 由 消去得 7 分 2 2 1 4 xkym x y x 222 4 240kykmym 设 则有 11 A x y 22 B xy 12 2 2 4 km yy k 2 12 2 4 4 m y y k 8 分 因为以为直径的圆过点 所以 ABM0MA MB 由 得 1122 2 2 MAxyMBxy 1212 2 2 0 xxy y 将代入上式 1122 xkym xkym 得 22 1212 1 2 2 0ky yk myym 12 分 将 代入 得 2 2 516120 4 mm k 解得或 舍 6 5 m 2m 综上 直线 经过定点 14 分l 6 0 5 方法二 证明 1 当不存在时 易得此直线恒过点 7 分k 6 0 5 2 当存在时 设直线 klykxm 的方程为 1122 A x yB xy 2 0 M 由 可得 2 2 1 4 x y ykxm 222 41 84120kxkmxm 22 16 41 0km 12 2 8 41 km xx k 9