期权定价模型分类及其实际应用

1 摘要摘要 随着社会的进步 金融市场的发展逐步完善 越来越多的金融衍生品走进 了人们的视野 期权作为重要的金融衍生品之一 受到许多投资者与研究者的 关注 本文就是对期权的产生与发展和期权相关的定价模型进行了讨论 本文 先简要介绍了期权的发展史以及现阶段的概况 随后对期权进行分类详解 接 着以 B S 模型和二叉树模型这两种经典定价模型为例进行了深入讨论并举例说 明他们的实际应用 最后又分析了几种新型期权和他们的定价模型 并简要介 绍了他们的实际用途 关键词关键词 期权发展历程 期权的分类 B S 定价模型 二叉树模型 2 AbstractAbstract With the development of the society finance market has been impr oving gradually more and more financial derivative instruments have come to the eyesight of people Option as the important tool of fina ncial derivative instrument has been cast more attention by the inve stor and the researcher This essay would focus on the generation of option and Capital Asset Pricing Model of the option First this dis sertation introduces the history and nowadays state of the option development Then it focuses its attention on classifying and description of the option This paper raises the Black Scholes Model and Binary Tree Model as typical example to talk deeply about their appliance Finally this paper analysis so me kinds of new options and their asset pricing model and introduce the practical use of the new option to all readers KeywordsKeywords history of option development Option classifying Black Scholes Model Binary Tree Model 3 目录目录 摘要 1 Abstract 2 目录 3 第一章 绪论 4 1 1 期权的含义 4 1 2 期权定价理论的发展历程 4 第二章 期权定价的基本理论 6 2 1 期权的分类 6 2 1 1 按期权的交割时间划分 6 2 1 2 按期权的权利划分 6 2 1 3 按期权合约的内在价值划分 7 2 2 期权定价的概念 7 2 2 1 平价 盈价与亏价 7 2 2 2 期权价格的组成部分 7 第三章 各种期权定价模型 9 3 1 Black Scholes 模型 简称 B S 模型 9 3 2 二叉树模型 10 3 2 1 单期二叉树模型 10 3 2 2 多期二叉树模型 11 第四章 期权定价模型的应用实例及评价 12 4 1 B S 模型的应用及评价 12 4 2 二叉树模型的应用及评价 12 第五章 几种变异期权模型及其应用 14 5 1 特殊标的物的期权 14 5 2 特殊标准期限的期权 15 5 2 1 百慕大期权 15 5 2 2 二进制期权 15 5 2 3 幂期权 16 5 3 其他特殊期权 17 5 3 1 平均利率期权 亚式期权 17 5 3 2 平均执行价格期权 17 参考文献 18 4 第一章第一章 绪论绪论 1 1 期权的含义期权的含义 期权有很多用途 从投机层面讲 期权为投资者的投资行为提供了一种承 担有限风险的保险 而且 由于需要付出的权利费的成本几乎仅仅占了它所代 表的资产潜在价值百分比中很小的一部分 所以作为一种用来交易的投机衍生 品 也就是期权 一个投资者能用此博弈比期权的权利费的面值高出很多的资 产 这就是人们常说的杠杆效应 与其他投资方式相比 期权有机会获得更多 的利润 如果我们抛开投机的因素不说 期权交易的主要目的和事实上期权存在的 主要原因 是因为它特别适合于企业 完善的金融市场能使得期权拥有作为保 险的功能和满足这一领域商业和服务业的需要 就保险功能而言 用来交易的 期权能通过买入或者卖出满足需要 举一个例子说明 出口制造商需要用一个 特定的合同来确保有一个稳定的汇率 制造商在接受订单 已经按外汇市场上 一个给定的汇率定好价格 和回收贷款期间 希望能确保价格不要在外汇市场 上出现不利于自己的波动 为了做到这一点 他选择购买了涵盖整个生产 交 割和支付期的外汇期权 在这个案例中 通过简单的保险和投机手段 我们可 以发现期权所具有的灵活性 因为它使制造商和持续经营企业都受益却不需要 支付过多额外的成本 制造商可以通过购买一个一致的外汇汇率或者商品汇率 的期权 并支付期权费以获得保险 当然 随着时间的推移 若外汇汇率或商 品汇率变得有利于期权支付者时 期权将被执行 投机的选择也变得可行 当 外汇汇率或商品汇率不利于期权支付者时 期权可以选择不被执行 换句话说 当公开市场上购买所需要的资产比执行期权能获得更多利益时 期权拥有者将 放弃执行期权 期权交易是金融市场少有的一种非常有效的金融工具 它能让 交易者拥有两种选择 并作出更有利的方案 1 2 期权定价理论的发展历程期权定价理论的发展历程 期权及相似的交易方式有着悠久的历史 期权思想的提出可以追溯到公元 前 1800 年的 汉穆拉比法典 而期权交易的迅速发展到 20 世纪 50 年代以后 才开始 真正的标准化的场内期权交易也不够 30 年左右的时间 公认的期权定 价理论的创始人和提出者是法国数学家巴舍利耶 Bachelier 1900 年他在博士 论文 投机交易理论 中尝试将数学知识运用于股票 期权 期货等投机性很 强的证券交易 研究其价格波动规律 巴舍利耶给出了描述期权价格变动的第 一个科学模型 而且将数学中很多有效的方法带入金融经济学 巴舍利耶模型 假设股票价格过程是绝对的布朗运动 单位时间方差为 期权的预期价格为 2 c K t ttt SKSKSK VS 其中 S 为股票价格 K 为执行价格 t 为离到期日的时间 K 为买权的价格 和 分别为标准正态分布累积函数和正态密度函数 巴舍利耶在研 究有关期权定价理论问题时 推导出了很多重要的数学关系式 他的研究对后 5 人来说起到了一个开创性的作用 Macaulay 在 1938 年建立了债券价格关于利 率的敏感性数学模型 很久之后 Paul Samuelson 才通过著名的统计学家 La J Savage 重新发现了巴舍利耶的结论 这标志着现代金融学的开始 不过从现在 的角度来看 他的假设前提是不符合实际的 即零利率和允许股票价格为负值 这在实际生活中是不能实现的 但是这些仍能充分奠定了巴舍利耶研究的开创 性地位 随着世界金融市场的迅猛发展 金融机构在投融资过程中将面临许多金融 风险 比如汇率风险 信用风险等 为了解决这一问题 人们发展出了许多金 融衍生产品 它们的价格或投资回报最终取决于标的资产的价格 期权就是一 种基本的金融衍生产品 期权费反映出买卖双方对某一权利做出的公共的价值 判断 但是期权的价格很难从市场中直接反映 近 30 年来 数理金融学界研究 的热点之一便是期权定价的问题 众多学者们近年进行了深入的研究 并取得 了丰硕的成果 1973 年 美国芝加哥大学的 Black 教授和 Scholes 教授在美国 政治经济学杂志 上发表了一篇名为 期权定价与公司负债 的论文 与此 同时 哈佛大学的 Merton 教授则在另一刊物 贝尔经济与管理科学杂志 上发 表了另一篇名为 期权的理性定价理论 的论文 这两篇论文奠定了期权定价 的理论上基础 为了表彰他们在评估衍生金融工具价值方面的杰出贡献 Scholes 教授和 Merton 教授共同获得了 1997 年的诺贝尔经济学奖 然而没有哪 一种理论是绝对完美的 B S 理论同样不例外 它对欧式期权定价是拥有很强的 准确性 但是对美式期权却毫无办法 其中原因将会在后面说明 为了弥补这 一缺陷 1979 年 罗斯 考科斯和马克 鲁宾斯坦等在 金融经济学杂志 上发 表了一篇题为 期权定价 一种简化的方法 该文提出了一种简单的对离散时 间的期权的定价方法 被称为 Cox Ross Rubinstein 二项式期权 也称二叉树法 定价模型 它与 B S 定价模型可以看作是两种互补的方法 前者更倾向于解决 离散型问题 而后者主要用以解决连续型问题 前者多用于美式期权定价应用 这也是 B S 定价模型所不具备的能力 具体模型将在后面讨论 从期权定价理论的发展历程我们可以看出 期权定价理论是以鞍分析理论 为主要工具而发展起来的 鞍的本来原意是指马笼套或者船索具 鞍的概念首 先由 P Levy 在研究随机变量和中引人概率论的知识 在 1979 年和 1981 年 Harrison 分别和 Kreps Pliska 合作 写了两篇对期权定价理论以后的发展有着 巨大影响的论文 这一成果为鞍分析理论在期权定价理论中的应用开辟了道路 同时也为期权定价理论的进一步发展提供了一个强有力的工具 他们的工作开 启了现代金融研究的新时代 随后 数学家和金融学家的共同研究 建立了资 产定价基本定理 当且仅当金融市场上不存在套利机会时 所有金融资产的贴 现价格都是一个鞍 金融衍生品的价格等于未来现金流数学期望值的贴现值 这一基本定理是现代金融理论的核心工具 期权定价理论和鞍分析理论这两个 完全不同的学科从此紧紧地联系在一起 因此 鞍理论在期权定价理论中起着 重要的作用 鞍方法作为近代金融数学研究的基本数学方法 相对于其它的期 权定价方法有着它独特的优势 一般而言 对金融衍生品定价主要有四种方法 分别是偏微分方程定价方法 二叉树期权定价法 蒙特卡罗模拟定价方法和等 价鞍测度定价方法 由于求解偏微分方程的过程过于麻烦且困难 因此 使用 偏微分方程方法具有一定的局限性 二叉树期权定价方法也是期权定价的常用 方法之一 因为用二叉树模型定价欧式期权时 往往只能给出一个真实值附近 的结果 是金融衍生产品定价的近似方法 蒙特卡罗模拟定价方法的一个局限 6 是它只能用来对欧式衍生品进行定价 还涉及到计算精度和计算时间的问题 第二章第二章 期权定价的基本理论期权定价的基本理论 2 1 期权的分类期权的分类 根据期权交易方式 方向 标的物等方面 可将期权划分为不同的类型 2 1 1 按期权的交割时间划分按期权的交割时间划分 美式期权是指在期权合约规定的有效期内任何时候都可以行使权利的期 权 欧式期权是指在期权合约规定的到期日方可行使权利的期权 如果期权的 买方在合同到期日之前不行使权利 过了期限 合约则自动作废 目前我国国内的外汇期权交易多采用欧式期权的合同方式 相比而言 美 式期权的选择方案比欧式期权多 相应的价值也就比欧式期权略高 这就意味 着美式期权拥有相对较高的权利金 2 1 2 按期权的权利划分按期权的权利划分 看涨期权 Call Options 指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权 利费后 即拥有在期权合约的有效期内 按事先敲定的价格向期权卖方买入一 定数量的期权合约规定的特定商品的权利 但没有必须买进的义务 而期权卖 方有义务在期权规定的有效期内 如果期权买方要求 必须以期权合约事先敲 定的价格卖出期权合约规定的特定商品 看跌期权 Put Options 指期权的买方向期权的卖方支付一定数额的权 利费后 即拥有在期权合约的有效期内 按事先敲定的价格向期权卖方卖出一 定数量的期权合约规定的特定商品的权利 但没有必须卖出的义务 而期权卖 方有义务在期权规定的有效期内 如果期权买方要求 必须以期权合约事先敲 定的价格买入期权合约规定的特定商品 百慕大期权 Bermuda option 一种可以在到期日前所规定的一系列时 间行权的期权 界定百慕大期权 美式期权和欧式期权的主要区别在于行权时 间的不同 从一定程度上来看 百慕大期权可以被视为美式期权与欧式期权的 混合体 就如同百慕大群岛混合了美国文化和英国文化一样 比较常见的是前两种 看涨与看跌期权 这里进一步叙述两者之间 的关 系与区别 看涨期权是授予期权者以一个特定的价格买入标的资产的权利 这 种特定的价格也称作敲定价格 看跌期权是授予持有者以一个敲定价格卖出标 的资产的权利 这里我们先要明确 标的 这个词的意思 它是期权用来交易 的资产 期权交易实际运用的金融工具的标的是多种多样的 理论上说 任何 种类的资产都可用来作为期权的标的物 包括股票 货币 利率 黄金 商品 和其它许多市场品种 当然 不管标的物是什么 相应的期权交易的基本原理 是相同的 不管买入看涨期权或者看跌期权中的哪一种 期权买方必须支付期 权费给期权卖方 无论是即时支付还是稍后支付 在某些市场 期权费在期权 到期日才支付 这里用一个例子以便于更好的理解看涨期权与看跌期权 假如有一个市场 那 里的大豆远期交易合同是每公斤 10 元 大豆期货的看涨期权和看跌期权的敲定 价格都是 8 元 那么拥有 8 元看涨期权的人如果行使他的买方权利将会有现金 流入 因为他能以 8 元的价格买入并以 10 元的价格卖出标的期权 这样会有每 公斤 2 元的收入 如果一个人手里拥有 8 元的看跌期权 他将不会选择执行他 的卖出权利 因为这样他将会面对每公斤 2 元的亏损 这时他只能等待大豆的 7 市场价格下跌到 8 元以下时 才能通过手中这份期权获得利润 2 1 3 按期权合约的内在价值划分按期权合约的内在价值划分 实值期权 In the Money 指内在价值为正的期权 虚值期权 Out of the Money 指内在价值为负的期权 平价期权 At the Money 指内在价值为零的期权 内在价值是指期权买方行使期权时可以获得的收益现值 有关价值的理论将 在下一部分说明 2 2 期权定价的概念期权定价的概念 2 2 1 平价 盈价与亏价平价 盈价与亏价 这里以某一只股票为例 不妨设为股票 A 当市场股票的交易价格与股票 的敲定价格一致时 期权被称作处于平价 加入你此时拥有一份 15 元的股票 A 看涨期权 而现行的市场价格也是 15 元 期权就是平价看涨期权 如果期权持有人在标的资产市场上以某一敲定价格进行了交易之后产生了 现金流入 那么这种期权称为处于盈价 例如股票 A 的现行市场价是每股 20 5 元 如果以每一份 15 元买入了看涨期权 将有现金流入 因而 15 元看涨期权 被称为盈价看涨期权 股票 A 的价格和这个期权的盈价亏价关系如下图所示 股票价格 22 5 20 5 盈价 17 5 15 0 平价 13 5 10 0 亏价 9 5 当以期权交易价格进行交易时 相应的标的资产会产生资金流出 这种期权 被称为处于亏价 考虑每股股票的敲定价格为 15 元的股票 A 看跌期权 当股票 价格为 20 5 元时 执行这一看跌期权将产生资金流出 这时这个期权就是亏价 看跌期权 此时股票 A 的价格和这个期权的盈价亏价关系如下图所示 股票价格 22 5 20 5 亏价 17 5 15 0 平价 13 5 10 0 盈价 9 5 2 2 2 期权价格的组成部分期权价格的组成部分 期权价格的主要组成部分是两个 内在价值与时间价值 其中内在价值与 8 标的价格 敲定价格 空头条款和利率等相关 时间价值与到期日波动率等有 关 可以参照公式 内在价值 时间价值 期权费 内在价值简单来说就是盈价数值 即执行期权合约之后现金流入的多少 由于处于亏价时不会选择执行期权 所以内在价值一定不会为负 这里依旧以 股票 A 为例 假如手里有一份以 65 元买入股票 A 的权利 而此时股票 A 的市 价是 65 5 元 那我们此时手里的期权如果执行 将会有 0 5 元现金流入 这也 就意味着此时这份期权的内在价值是 0 5 元 同理 如果此时股票 A 的市价为 65 元 那么这个期权的内在价值就为 0 下面用一个表格来显示市场价格与一 份确定期权内在价值的关系 股票 A 的价格65 元看涨期权的内在价值65 元看涨期权的内在价值 62 000 003 00 64 500 000 50 65 000 000 00 65 500 500 00 68 003 000 00 由上面的等式可以看出 时间价值的确定可以用期权的价格减去内在价值 还是利用上面的例子 假如股票 A 的市价为 65 元 你能以买入每股 60 元的看 涨期权和看跌期权 如果 60 美元看涨期权的价格为 5 75 元 60 美元看跌期权 的价格为 0 75 元 而此时看涨期权的盈价数值为 5 元 所以内在价值是 5 元 此时的看涨期权时间价值就是 5 75 5 0 75 元 而看跌期权此时处于亏价 因此 它的内在价值是 0 元 所以此时看跌期权的时间价值就是 0 75 0 0 75 元 意味 着这个期权的整个价值是由时间价值组成的 9 第三章第三章 各种期权定价模型各种期权定价模型 3 1 Black Scholes 模型 简称 B S 模型 随着人们逐步对期权价值的明确 接下来科学家们开始考虑具体的期权定 价模型 以便得出较为精确的结论 20 世纪 70 年代 芝加哥的两位教授布莱 克 Black 和斯科尔斯 Scholes 先是解释了时间价值 然后又给出了几个假 设 最终得出了一个很重要的模型 这就是后来被大家接受和认可的 B S 期权 定价模型 该模型是建立在对市场的七条假设之上的 1 基础资产不支付红利 且其价格服从几何布朗运动 以下均假设基础资 产为股票 2 市场是完全的 即对所有未定权益都是可复制的 3 市场是无套利的 4 无风险利率是一个常数 且任何期限的借贷利率都相等 5 可以无限制的卖空 6 市场无摩擦 即无税收成本 无交易成本 7 基础资产可以以任何数量在任何连续的时间交易 B S 模型的推导可以利用微分方程或者利用鞅方法推导 后者更为简便 以股票的看涨期权为例 一份看涨期权的买入方实际上买入的是两种价值 一部分是当股票价格高于期权敲定 执行 价格时 它具有的无限的潜在获利 另一部分是当股票价格低于期权敲定价格时 它具有的有限的潜在损失 通过 评估未来股票价格运动的可能性 我们可以得出这个期权应具有的价值 因此 布莱克和斯科尔斯假设了这是一个正态分布过程 于是写出了一个方程式 t p S rT T CeEV SEE 在这里 C 是欧式期权价格 E 是期权的敲定价格 ST 是在到期 T 时刻的股票价格 St 是在今天 t 时刻的股票现行价格 P 是股票价格大于敲定价格的概率 e rT 是时间 T 的持续折现因子 EV 是期望值 我们主要想解决的问题是 EV 的确定 利用鞅方法 布莱克和斯科尔斯最终确 定出关于 EV 的公式 r tt12 S S e d T T EV SENN d 然后假定 p N d2 代入上式并化简 最终得出了 B S 模型的定价公式 10 t12 C S d rT NE N de 其中 2 1 1 ln 2 S EtR d t 21 d dt 其中 S 是股票价格 E 是期权敲定价格 t 是 1 年内距到期时间的百分比 R 是时间 t 内无风险利率 是波动率 也就是方差的平方根 是回报率方差 2 3 2 二叉树模型二叉树模型 尽管 B S 模型有很多优点 但是仍有许多局限性 而且它的一些假设并不 被所有人认可 到了 1979 年 罗斯 考克斯 鲁宾斯坦和夏普等人提出了一种 新的更为简单的期权定价模型 称为二叉树模型 或者二项式模型 尽管方法 简单 但是却包含了衍生品定价的基本原理和思想 主要用于解决美式期权定 价问题和离散过程的相关问题 二叉树定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向 而且在整个考虑 的时间内股价波动的概率和幅度不变 于是将考虑的时间分为若干阶段 根据 历史波动率计算每个阶段结算的期权价格 这一特点是 B S 模型无法做到的 而且非常适用于计算可以在任何有效期内行使期权的美式期权价格 3 2 1 单期二叉树模型单期二叉树模型 这里我们仅考虑单期二叉树模型 只有两个基础资产 无风险资产和基础 风险资产 1 时刻的状态为 u d u 和 d 分别表示 1 时刻基础风险资产的价格上 升或者下降的比例 并且 u 1 d 1 u 1 1 的含义就是如果 1 时刻基础风险资产 价格上升 则价格变为 1 1S0 假设无风险收益率 r 满足 d er u 显然当二叉树 模型无套利时该式一定成立 我们考虑基础风险资产的价格过程 假定基础风险资产是股票 其 0 1 时 刻价格如下 uS0 S0 dS0 11 0 时刻 1 时刻 假设市场上还有一个在 0 时刻签订的价格为 C0 1 时刻价格到期的未定权益 也就是衍生品 它的价值依赖于股票价格的变化 在 1 时刻 当股票的价格 上升时其价格为 Cu 股票价格下降的时候其价格为 Cd 价格变化过程可以用下 图来表示 Cu C0 Cd 0 时刻 1 时刻 如果确定了衍生品的含义 我们就可以知道衍生品 1 时刻的支付 如果若未 定权益为执行价格为 K 的看涨期权 则 1 时刻的支付为 Cu max uS0 K 0 和 Cd max dS0 K 0 3 2 2 多期二叉树模型多期二叉树模型 在多期二叉树模型中衍生品的定价原理与单期原理相似 也是采用复制的方 法 在求解复制资产组合时 我们将用逆推的方法 因为基础资产在 n 时刻的 2n 个可能值是已知的 所以我们可以写出衍生品在 n 时刻的 2n 种可能值 在 第 n 期一共有 2n 1 个单期二叉树 我们可以用单期模型的公式计算 n 1 时刻 2n 1 个节点处衍生品的价格 以此类推到 0 时刻 就可以得出衍生品的期初价 格 每一次逆推都是前一个时刻价格的复制 在整个过程中 每个节点处都没 有资金的注入和撤出 这样 我们实际上得到了一个复制策略的随机过程 该 随机过程保证了在每个节点处复制策略资产组合的价格与衍生品在同一节点处 的价格相等 由此我们可以得到一个关于资产组合的方程 解方程之后推导出在 i 1 时刻 的 j 节点处 风险中性概率测度下股价上升的概率为 i 1 r j2j j 2j 12 e q j SS SS 则衍生品在该节点的价格为 1 212 1 i r jjjjj CeqCqC 12 第四章第四章 期权定价模型的应用实例及评价期权定价模型的应用实例及评价 4 1 B S 模型的应用及评价模型的应用及评价 考虑一个欧式看涨期权 期权的股票在 2 个月以及 5 个月后将各有一个除 权日 每个除权日的红利的期望值为 40 元 股票价格波动率设为每年 30 无 风险利率为每年 9 到期日还有 6 个月 求这个欧式看涨期权价格 解 先计算红利的现值为 0 5e 0 1567 0 09 0 5e 0 4167 0 09 0 9741 根据题中条件可知 S 40 0 9741 39 0259 x 40 r 0 09 0 3 T t 0 5 将这些数据代入 B S 公式可以计算出 1 ln0 97560 135 0 5 0 2017 0 3 0 5 d 2 ln0 97560 045 0 5 0 0104 0 3 0 5 d 近似得到 N d1 0 5800 N d2 0 4959 再由公式计算的看涨期权价格为 39 0259 0 5800 40 0 4959 e 0 009 0 54 3 67 即这个欧式看涨期权的价格为 3 67 元 从这个例子我们可以看出 B S 模型具有很强的应用性 随着近年来研究的 不断深入 人们发现它在许多情况下具有非常好的准确性 但是 从它的七条 假设可以看出 它的应用范围同时也具有一定的局限性 一方面假设市场是完 全的且是无套利的 另一方面又假设市场是理想化的 甚至布莱克本人在后续 的研究中也发现了自己模型假设中的不足 现在人们对 B S 模型的几个普遍的 看法为 1 模型对平值期权估价较为准确 尤其是有效期较长切不支付红利的期权 2 对于高度增值或者高度减值的期权估计偏差较大 3 对临近到期日的期权估价偏差较大 总的来说 B S 模型还是一个相当准确且具有很大使用价值的期权定价模型 4 2 二叉树模型的应用及评价二叉树模型的应用及评价 已知某支股票价格过程满足下列二叉树模型 每个时间区间上的连续复利 率均为 5 试计算执行价格为 45 的欧式看涨期权 0 时刻的价格 80 60 50 40 13 40 30 25 0 时刻 1 时刻 2 时刻 解 这是一个两期的二叉树模型问题 根据题中的条件 我们可以列出衍 生品的价格过程 如下图所示 35 V 1 5 V 0 0 V 2 0 0 时刻 1 时刻 2 时刻 首先考虑 1 时刻到 2 时刻的时间区间 先计算 V 1 在该节点上风险中性 概率测度下股价上升的概率为 0 05 1 6050 q0 43588 8050 e 于是 显然有 V 2 0 0 05 11 1 35 1 5 17 195Veqq 其次考虑时刻 0 到时刻 1 的时间区间 在风险中性概率测度下 股价上升 的概率为 0 05 4030 0 40169 6030 e q 因此 0 时刻时该标准欧式看涨期权的价格为 0 05 0 1 1 2 6 57Veq VqV 对于二叉树方法的评价有以下几点 1 从这个例子可以看出 二叉树模型的原理比 B S 模型简单许多 更容易 理解 2 它可以解决美式期权中提前执行期权的定价问题 弥补了 B S 模型在这 个问题上的不足 所以说这两种模型有着互补的特点 3 二叉树模型的计算较为简便 但是对于维数较多 因素较多的问题 计 算量会过大 4 二叉树模型不能解决连续性问题 模拟随机变量分布的局限性比较大 14 第五章第五章 几种变异期权模型及其应用几种变异期权模型及其应用 随着近年来经济的发展 科学水平的不断进步 金融市场也变得越来越完 善 金融衍生品的种类逐渐多样 一系列的新型期权和更精确的定价模型出现 在人们面前 他们被称为 变异期权 这一章主要讨论这些变异期权及相关知 识 5 1 特殊标的物的期权特殊标的物的期权 在第二章提到过标的物的概念 理论上大部分资产都可以作为期权的标的 物 那么就有一个新问题 如果标的物就是一个期权呢 显然这个问题与之前 所说的期权不太一样 这样的期权通常被称为复合期权 比如 你买入了一个 看涨期权 这个看涨期权允许持有人有权购买另一个有效期更长的看涨期权 在下面例子中的复合期权的标的资产就是一个简单期权 复合期权的种类如下 标的期权市场 看涨期权 看跌期权 看涨期权 看跌期权 以上图右上角为例 这个看跌期权即允许持有人有权利 但是不包括义务 买 入另一个看涨期权 其他种类的期权含义以此类推 在实际交易或者可能发生套现的场合 人们或许需要的不是期权 而是一 个能买入某个期权的期权 所以这样的复合型期权是很有实际意义的 下面用 一个真实的案例来说明这一点 美国芝加哥的西北运输公司有一笔用于融资的两年期 8 亿美元的贷款 他 们想要规避掉美元上升带来的损失 公司担心利率将要上升 但相反 如果利 率下降的话 公司又会错过节省利息的机会 因此纽约化学银行专门为他们定 制合成了一个上限复合期权 购买上限的权益 在 1989 年 9 月 芝加哥西北 运输公司与纽约化学银行达成了两年借款期间一系列欧式期权 执行水平和 6 个月美元 LIBOR 相比设在 10 和 11 并且从 1990 年 9 月开始的每六个月 公 看涨期权的看涨期权看跌期权的看涨期权 看涨期权的看跌期权看跌期权的看跌期权 15 司可以选择是否执行上限协议 上限复合期权的结构包括两部分 以当前价格 在未来购买上限协议的前期费用和如果公司选择执行期权时的执行价格 上限 复合期权的期权费大致为标的上限协议价值的 35 40 既然我们合成了复合期权 那么我们自然要考虑复合期权的定价问题 这 个问题其实并没有想象的那样困难 罗伯特 格思科以股票复合期权为例 运 用一个类似于 B S 模型的公式对复合型期权定价进行了验证 并得出了下列的 结果 21 11 11222 22 rtrt tt CVM a bAeM a bEeN a tt 其中 2 1 1 1 ln 1 v v V Vrt a t 2 2 1 2 ln 1 v v VArt b t 211 aa v t 212 bb v t 1 t tT 2 t tT V 是标的资产价格 A 是标的期权执行价格 E 是复合期权执行价格 M 是双变量正态分布 T 是复合期权到期日 T 是标的期权到期日 t 是当前日期 r 是无风险利率 是标的市场波动率 T 是股票价格 v 事实上 从一定程度上看 格思科的模型其实是先估计了股票的价格 然 后才计算期权执行价格 若将这个模型稍加改动 就能评估出一个具有提前执 行特征的复合期权的价值理论 5 2 特殊标准期限的期权特殊标准期限的期权 5 2 1 百慕大期权百慕大期权 百慕大期权一般多出现在固定收益市场 这个市场的债券在到期前的不同 时间可以被赎回或者转换 如果有投资者想要消除看涨期权或者看跌期权的影 响时 可以利用百慕大期权 因为它允许持有人在有效期内特定的几个时间执 行期权 有关百慕大期权的定价理论基本上和美式期权定价模型一致 即利用 二叉树模型划分节点进行计算 在这里不再赘述 5 2 2 二进制期权二进制期权 这个期权的内容十分简单 如果到期时标的市场价格高于执行价格则盈 低于则亏 这类期权的应用在于 超股票 概念的提出 超股票 指的是一种 特殊证券 如果到期日基金资产的价值在某个较低价值和较高价值之间 则 超股票 在到期日将给持有人相当于资产一定比例的价值 反之则价值为 0 这种期权的特点在于它为投资者提供了客户化定制的组合损益 对于二进制期权的定价有很多种 由于二进制期权本身就有很多变种 不 同的触发条件还会产生不同的期权种类 在这里我们谈论最简单的 有或无 16 二进制期权的定价模型 它可以看作是 B S 模型的调整股利后修改版或者延伸 t12 C S d dTrT NeE N de 其中 2 1 1 ln 2 S ETrd d T 21 d dT 其中 S 是股票价格 d 是期间 T 内的股票股利收入 E 是期权敲定价格 T 是 1 年内距到期时间的百分比 R 是时间 T 内无风险利率