上海市杨浦区2011届高三数学上学期期末质量调研 理

用心 爱心 专心1 上海市杨浦区上海市杨浦区 20112011 届高三上学期期末质量调研 数学理 届高三上学期期末质量调研 数学理 考生注意 考生注意 1 1 答卷前 考生务必在答题纸写上姓名 考号 答卷前 考生务必在答题纸写上姓名 考号 2 2 本试卷共有本试卷共有 2323 道题 满分道题 满分 150150 分 考试时间分 考试时间 120120 分钟分钟 一 填空题 本大题满分一 填空题 本大题满分 5656 分 本大题共有分 本大题共有 1414 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 题 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 每个空格填对得每个空格填对得 4 4 分 否则一律得零分 分 否则一律得零分 1 若复数z满足 12z i 则z 2 抛物线 2 4yx 的焦点到准线的距离是 3 函数 2 log 1 x f x x 的定义域为 4 已知等差数列 n a首项为 1 公差为 2 若7 k a 时 则项数k 5 若 1 21 x f xa 是奇函数 则实数a 6 函数 2 sincosf xxx 的最小正周期是 7 在 5 2 x x 的二项展开式中 3 x的系数是 用数字作答 8 计算 2 lim 123 n n n 9 设ABC 的内角ABC 的对边分别为abc 若3160bcB 则角C 10 若经过点 0 2 P且以 1 da 为方向向量的直线l与双曲线13 22 yx相交于不同两点A B 则实数a的取值范围是 11 若全集UR 不等式 2 3 00 1 21 x xx x 0 的解集为A 则 A 12 若 为第二象限的角 3 sin 5 则cot2 13 若直线m被两平行线 1 10lxy 与 2 30lxy 所截得线段的长为2 2 则直线m的倾斜 角是 14 如图 已知OAP 的面积为S 1OA AP 设 2 OAc c 3 4 Sc 并且以O为中心 A为焦点的椭 y P x o A 用心 爱心 专心2 圆经过点P 当 OP 取得最小值时 则此椭圆的方程为 二 选择题 本大题满分二 选择题 本大题满分 2020 分 本大题共有分 本大题共有 4 4 题 每题有且只有一个正确答案 考生应在答案纸的相应题 每题有且只有一个正确答案 考生应在答案纸的相应 编号上 填上正确的答案 选对得编号上 填上正确的答案 选对得 5 5 分 否则一律得零分分 否则一律得零分 15 函数 3 sin1 f xxxxR 若 2f a 则 fa 的值为 2A 1B 0C 1D 16 2a 是 函数 f xxa 在 2 上是增函数 的 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D即非充分也非必要条件 17 已知点A的坐标为 3 2 F为抛物线 2 2yx 的焦点 若点P在抛物线上移动 当 PAPF 取得最小值时 则点P的坐标是 A 2 1 B 2 2 C 2 2 D 6 3 18 已知ABC 的面积是30 内角ABC 所对边分别为abc 12 13 cos A 若1cb 则a的值是 A 3 B 4 C 5 D 不确定 三 解答题 本大题满分三 解答题 本大题满分 7474 分 本大题共分 本大题共 5 5 题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出题 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤必要的步骤 19 本题满分 本题满分 1212 分 分 已知函数 1 2 x f xa 0a 且1a 的反函数 1 yfx 定义域为集合A 集合 1 2 BxxtxR 若AB 求实数t的取值范围 20 本题满分 本题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 设函数 2 203f xxxax 的最大值为m 最小值为n 其中0 aaR 1 求mn 的值 用a表示 用心 爱心 专心3 2 已知角 的顶点与平面直角坐标系xOy中的原点O重合 始边与x轴的正半轴重合 终边经过 点 1 3A mn 求sin 6 的值 21 本题满分本题满分 1414 分 本题共有分 本题共有 2 2 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分 分 已知数列 n a的前n项和 n S满足条件23 1 nn Sa 其中nN 1 求证 数列 n a成等比数列 2 设数列 n b满足 3 log nn ba 若 nnn ca b 求数列 n c的前n项和 22 本题满分 本题满分 1616 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 3 3 小题满分小题满分 6 6 分分 在上海世博会期间 某工厂生产 A B C三种世博纪念品 每种纪念品均有精品型和普通型两种 某一天 产量如下表 单位 个 现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪 念品中抽取 200 个 其中有A种纪念品 40 个 1 求n的值 2 从B种精品型纪念品中抽取 5 个 其某种指标的数据分别如下 10 11 9xy 把这 5 个数据看作一个总体 其均值为 10 方差为 2 求xy 的值 3 用分层抽样的方法在C种纪念品中抽取一个容量为 5 的样本 将该样本看成一个总体 从中任取 2 个纪念品 求至少有 1 个精品型纪念品的概率 23 本题满分 本题满分 1818 分 本题共有分 本题共有 3 3 个小题 第个小题 第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分 第分 第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分 第分 第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分 给定椭圆C 22 22 1 xy ab 0ab 称圆心在坐标原点O 半径为 22 ab 的圆是椭圆C的 伴 随圆 1 若椭圆C过点 5 0 且焦距为4 求 伴随圆 的方 程 2 如果直线3 2xy 与椭圆C的 伴随圆 有且只有一个 交 点 那么请你画出动点 Q a b 轨迹的大致图形 3 已知椭圆C的两个焦点分别是 12 2 02 0FF 椭圆C上一动点 1 M满足 1112 2 3M FM F 设点P是 椭 圆C的 伴随圆 上的动点 过点P作直线 12 ll 使得 12 ll 纪念品A纪念品B纪念品C 精品型 100150 n 普通型 300450600 用心 爱心 专心4 与椭圆C都各只有一个交点 且 12 ll 分别交其 伴随圆 于点MN 研究 线段MN 的长度是否为定值 并证明你的结论 杨浦区杨浦区 20102010 学年度高三学科测试学年度高三学科测试 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明说明 1 1 本解答列出试题的一种或几种解法 如果考生的解法与所列解法不同本解答列出试题的一种或几种解法 如果考生的解法与所列解法不同 可参照解答中评分标准的可参照解答中评分标准的 精神进行评分精神进行评分 2 2 评阅试卷 应坚持每题评阅到底 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅评阅试卷 应坚持每题评阅到底 不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅 当考生当考生 的解答在某一步出现错误 影响了后继部分 但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时 可视影的解答在某一步出现错误 影响了后继部分 但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时 可视影 响程度决定后面部分的给分 这时原则上不应超过后面部分应给分数之半 如果有较严重的概念性错误 响程度决定后面部分的给分 这时原则上不应超过后面部分应给分数之半 如果有较严重的概念性错误 就不给分就不给分 3 3 第第 1919 题至第题至第 2323 题中右端所注的分数 表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数题中右端所注的分数 表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数 4 4 给分或扣分均以给分或扣分均以 1 1 分为单位分为单位 一 填空题 1 2 01 1 2 7 10 8 2 9 0 30 10 15 33 33 15 11 0 2 12 文 7 25 理 7 24 13 0 15或 0 75 14 文 tan4 4 arc 理 22 1 106 xy 二 选择题 15 C 16 A 17 B 18 C 三 解答题 19 解法 由题意得 函数 1 2 x f xa 0a 且1a 值域为 2 所以 1 yfx 的定义域为 2 A 分 又由 1 2 BxxtxR 得 11 22 txt 8 分 AB 1 2 2 t 即 5 2 t 分 所以 实数t的取值范围为 2 5 分 解法 由函数 1 2 x f xa 得 1 log21 a yfxx 0a 且1a 用心 爱心 专心5 所以 1 yfx 的定义域为 2 A 分 以下解法同上 20 解 由题可得 2 11f xxa 而03x 分 所以 11 33mfanfa 分 文科文科 角 终边经过点 A a a 则tan1 a a 分 所以 tantan 13 3 tan23 313 1tantan 3 分 理科理科 角 终边经过点 A a a 分 当0a 时 22 2raaa 则 22 sin cos 2222 aa aa 所以 26 sinsincoscossin 6664 分 当0a 时 22 2raaa 则 22 sin cos 2222 aa aa 所以 26 sinsincoscossin 6664 分 综上所述 26 sin 64 或 26 4 分 21 21 解 1 由题得 11 3 2 2 nnnnn aSSaan 分 所以 1 3 nn aa 故有 1 3 2 n n a n a 分 又 111 3 1 2 Saa 解得 1 3a 所以 数列 n a成等比数列 分 文科文科 由 得3n n a 则 33 loglog 3n nn ban 分 用心 爱心 专心6 故有 1 11 1 n nn t b bn n 所以 123 1111 1 22 33 41 n tttt n n 分 11111111 1223341nn 分 1 n n 分 理科理科 由 得3n n a 则 33 loglog 3n nn ban 分 故有 3n nnn ca bn 设 1231 1 32 33 31 33 nn n Tnn 2341 31 32 33 31 33 nn n Tnn 分 则 12311 3 1 3 2 3333 33 1 3 n nnn n Tnn 所以 1 21 33 4 n n n T 分 22 解 设这一天生产的纪念品为m 由题意得 20040 2000 100300 m m 分 所以2000 100300 150450600400n 分 由题得 1 10 11 910 5 xy 则20 xy 分 由于 222222 1 101195 102 5 xy 得 22 208xy 分 从而 2 22 2 2192xyxyxyxy 即 2 22 2208 1924xyxyxyxy 分 设所抽样本中有p个精品型纪念品 则 400 10005 p 2p 也就是抽取了 个精品型纪念品 个普通型纪念品 分 所以 至少有 1 个精品型纪念品的概率为 22 53 2 5 7 10 CC C 分 其他解法 参照给分 其他解法 参照给分 用心 爱心 专心7 解 由题意得 2 2 22 5 0 1 ab 则 2 5a 分 又由焦距为24c 所以 焦距为 222 1bac 分 故所求的 伴随圆 的方程为 22 6xy 分 由于椭圆C的 伴随圆 2222 xyab 与直线3 2xy 有且只有一个交点 则圆心到直线的距离等于半径 即 22 22 003 2 11 ab 分 故动点 Q a b 轨迹方程为 22 9ab 0ab 即动点的轨迹是 以原点为圆心半径为 的圆上八分之一弧 除去两端点 如图 分 由题意得 22 3a 得3a 半焦距2c 则1b 椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y 伴随圆 的方程为 22 4xy 11 分 文科文科 因为 伴随圆 的方程为 22 4xy 与y轴正半轴的交点 0 2P 设过点 0 2P 且与椭圆 有一个交点的直线为2ykx 则 2 2 2 1 3 ykx x y 整理得 22 1 31290kxkx 4 分 所以 22 1444 9 1 30kk 解得1k 所以 1 l 2 l的方程为2yx 2yx 分 由于 1 l 2 l垂直 线段MN 的长度为 分 理科理科 当 1 l 2 l中有一条无斜率时 不妨设 1 l无斜率 因为 1 l与椭圆只有一个交点 则其方程为3x 或3x 用心 爱心 专心8 当 1 l方程为3x 时 此时 1 l与 伴随圆 交于点 3 1 3 1 此时经过点 3 1 或 3 1 且与椭圆只有一个公点的直线1y 或1y 即 2 l为 1y 或1y 显然直线 1 l 2 l垂直 同理可证 1 l方程为3x 时 直线 1 l 2 l垂直 所以4MN 13 分 当 1 l 2 l都有斜时 设点 00 P xy 其中 22 00 4xy 设经过点 00 P xy与椭圆为只有一共点 的直线为 00 yt xxy 则 00 2 2 1 3 ytxytx x y 消去y 得 2 2 00 330 xtxytx 即 2 22 0000 1 36330txt ytxxytx