二次函数动点习题.doc

A二次函数动点问题1.、如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由B(0,4)A(6,0)EFO2、如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和 B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ 是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由3、如图，已知与轴交于点和的抛物线的顶点为，抛物线与关于轴对称，顶点为1234554321（1）求抛物线的函数关系式；（2）已知原点，定点，上的点与上的点始终关于轴对称，则当点运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？xyOABCPQMN（3）在上是否存在点，使是以为斜边且一个角为的直角三角形？若存，求出点的坐标；若不存在，说明理由4、已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动设运动时间为t秒当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值5、如图，在直角坐标系中，正方形OCBA的顶点A、C分别在轴、轴上，点B坐标为（6，6），抛物线经过点A、B两点，且（1）求的值； （2）如果动点E、F同时分别从点A、点B出发，分别沿AB、BC运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点F随之停止运动设运动时间为秒，EBF的面积为S试求出S与之间的函数关系式，并求出S的最大值； 当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由6、抛物线的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.7、 如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a0）的图像与x轴交于点A（-2，0），B，与y轴交于点C，tanABC=2（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；8、如图，抛物线（0）与y轴交于点C,与x轴交于A 、B两点，点 A在点B的左侧，且（8题图） （1）求此抛物线的解析式；（2）如果点D是线段AC下方抛物线上的动点，设D点的横坐标为x，ACD的面积为S，求S与x的关系式，并求当S最大时点D的坐标；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点的平行四边形？若存在求点P坐标；若不存在，请说明理由(备用图)9、已知：如图，在 EFGH中，点F的坐标是（-2，-1），EFG=45（1）求点H的坐标;（2）抛物线经过点E、G、H,现将向左平移使之经过点F，得到抛物线,求抛物线的解析式；（3）若抛物线与y轴交于点A，点P在抛物线的对称轴上运动请问：是否存在以AG为腰的等腰三角形AGP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由10、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示，抛物线经过点B（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由答案1.解：（1）令y=0，解得或A（-1，0）B（3，0）；将C点的横坐标x=2代入得y=-3，C（2，-3）直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1x2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（P点在E点的上方，PE=当时，PE的最大值=（3）存在4个这样的点F，分别是B(0,4)A(6,0)EFO2.解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为把A、B两点坐标代入上式，得 解之，得故抛物线解析式为，顶点为（2）点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y0,y表示点E到OA的距离OA是的对角线，因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的取值范围是16根据题意，当S = 24时，即化简，得 解之，得故所求的点E有两个，分别为E1（3，4），E2（4，4）点E1（3，4）满足OE = AE，所以是菱形；点E2（4，4）不满足OE = AE，所以不是菱形 当OAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的1234554321坐标只能是（3，3） 而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形3.解：（1）由题意知点的坐标为设的函数关系式为又点在抛物线上，解得抛物线的函数关系式为（或）（2）与始终关于轴对称， 与轴平行设点的横坐标为，则其纵坐标为，即当时，解得当时，解得当点运动到或或或时，以点为顶点的四边形是平行四边形（3）满足条件的点不存在理由如下：若存在满足条件的点在上，则123554321，（或），过点作于点，可得，点的坐标为但是，当时，不存在这样的点构成满足条件的直角三角形4(1)二次函数的图象经过点C(0，-3)，c =-3将点A(3，0)，B(2，-3)代入得解得：a=1，b=-2-2分配方得：，所以对称轴为x=1-3分(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t点B，点C的纵坐标相等，BCOA过点B，点P作BDOA，PEOA，垂足分别为D，E要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB即QE=AD=1又QE=OEOQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，2-0.2t=1解得t=5即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形-6分设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，BF=CF=OG=1又BP=OQ，PF=QG又PMF=QMG，MFPMGQMF=MG点M为FG的中点 -8分S=，=由=S=-10分又BC=2，OA=3，点P运动到点C时停止运动，需要20秒0t20当t=20秒时，面积S有最小值3-11分5（1）由于四边形OABC是正方形，易知点A的坐标，将A、B的坐标分别代入抛物线的解析式中，联立3a-b=-1，即可求得待定系数的值（2）用t分别表示出BE、BF的长，利用直角三角形面积公式求出EBF的面积，从而得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可求得S的最大值；当S取最大值时，即可确定BE、BF的长，若E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形，可有两种情况：一、EB平行且相等于FR，二、ER平行且相等于FB；只需将E点坐标向上、向下平移BF个单位或将F点坐标向左、向右平移BE个单位，即可得到R点坐标，然后将它们代入抛物线的解析式中进行验证，找出符合条件的R点即可【解析】（1）由已知A（0，6），B（6，6）在抛物线上，得方程组，（1分）解得（3分）（2）运动开始t秒时，EB=6-t，BF=t，S=EBBF=（6-t）t=-t2+3t，（4分）以为S=-t2+3t=-（t-3）2+，所以当t=3时，S有最大值（5分）当S取得最大值时，由知t=3，BF=3，CF=3，EB=6-3=3，若存在某点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形，则FR1=EB且FR1EB，即可得R1为（9，3），R2（3，3）；（6分）或者ER3=BF，ER3BF，可得R3（3，9）（7分）再将所求得的三个点代入y=-x2+x+6，可知只有点（9，3）在抛物线上，因此抛物线上存在点R（9，3），使得四边形EBRF为平行四边形（8分）6（1）由题意抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点B（12，0）和C（0，-6），对称轴为x=2，根据待定系数法可以求得该抛物线的解析式；（2）假设存在，设出时间t，则根据线段PQ被直线CD垂直平分，再由垂直平分线的性质及勾股定理来求解t，看t是否存在；（3）假设直线x=1上是存在点M，使MPQ为等腰三角形，此时要分两种情况讨论：当PQ为等腰MPQ的腰时，且P为顶点；当PQ为等腰MPQ的腰时，且Q为顶点；然后再根据等腰三角形的性质及直角三角形的勾股定理求出M点坐标【解析】（1）方法一：抛物线过C（0，-6）c=-6，即y=ax2+bx-6由解得：a=，b=-该抛物线的解析式为y=（3分）方法二：A、B关于x=2对称A（-8，0）设y=a（x+8）（x-12）C在抛物线上-6=a8（-12）即a=该抛物线的解析式为：y=；（3分）（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，在RtAOC中，AC=10=AD，点D在对称轴上，连接DQ，显然PDC=QDC （1分）由已知PDC=ACD，QDC=ACD，DQAC （1分）DB=AB-AD=20-10=10，DQ为ABC的中位线，DQ=AC=5，（1分）AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5，t=51=5（秒），存在t=5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分（1分）在RtBOC中，BC=，而DQ为ABC的中位线，CQ=3，点Q的运动速度为每秒单位长度；（1分）（3）存在，过点Q作QHx轴于H，则QH=3，PH=9在RtPQH中，PQ=（1分）当MP=MQ，即M为顶点，设直线CD的直线方程为：y=kx+b（k0），则：解得：y=3x-6当x=1时，y=-3，M1（1，-3）（1分）当PQ为等腰MPQ的腰时，且P为顶点设直线x=1上存在点M（1，y），则OP=3，点M的横坐标为1，纵坐标为y，根据勾股定理得PM22=42+y2，又PQ2=90，则42+y2=90，即M2（1，），（1分）当PQ为等腰MPQ的腰时，且Q为顶点，过点Q作QEy轴于E，交直线x=1于F，则F（1，-3）设直线x=1存在点M（1，y），由勾股定理得：（y+3）2+52=90即y=-3（1分）综上所述：存在这样的五点：M1（1，-3），M2（1，），7【解析】（1）依题意，可知 C(0,8),则B(4,0)将A(-2,0)，B(4，0)代入 y=ax2+bx+8，解得配方得y，顶点D（1,9）. -3分（2）假设满足条件的点存在，依题意设由求得直线的解析式为，它与轴的夹角为过点P作PNy轴于点N.依题意知，NPO=30或NPO=60.PN=2，ON=或2存在满足条件的点，的坐标为（2，）和(2，2)-6分（3）由上求得当抛物线向上平移时，可设解析式为当时，当时，或由题意可得m的范围为 抛物线最多可向上平移72个单位 -8分【解析】略8（1）由抛物线解析式可求C（0，-3），在RtBOC中，已知，OC=3，可求OB，确定B点坐标，代入抛物线解析式求m即可；（2）依题意可知，点D（x，），连接OD，由SACD=SAOD+SDOC-SAOC，求S的表达式，利用配方法求S的最大值及此时D点坐标；（3）存在分三种情况：当以AC为边，CP也是平行四边形的边；当以AC为对角线，CP为边；当以AC为边，CP是平行四边形的对角线；结合图形的性质分别求解【解析】（1）由抛物线y=mx2+3mx-3，得C（0，-3），COB=90，B（1，0），抛物线y=mx2+3mx-3（m0）过点B，m+3m-3=0，m=，抛物线的解析式为；（2）如图1，抛物线对称轴为，B（1，0），A（-4，0）连接OD，点D在抛物线上，设点D（x，），则SACD=SAOD+SDOC-SAOC=，S=，当x=-2时，ACD的面积S有最大值为6此时，点D的坐标为（-2，）（3）如图2，当以AC为边，CP也是平行四边形的边时，CPAE，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，此时P（-3，-3）如图3，当以AC为对角线，CP为边时，此时P点的坐标是（-3，-3）如图4、图5，当以AC为边，CP是平行四边形的对角线时，点P、C到x轴的距离相等，则=3，解得，此时P（，3）（如图4），或（，3）（如图5），综上所述，存在三个点符合题意，分别是P1（-3，-3），P2（，3），P3（，3）9（1）因为四边形EFGH是平行四边形，点F的坐标是（-2，-1），EFG=45，所以可得点H的坐标；（2）设抛物线C1解析式为y1=ax2+bx+c，把E、G、H三点的坐标分别代入抛物线C1解析式，题意得，点F为顶点，所以可求出抛物线C2的解析式；（3）先求出AG=4，再分情况对问题进行讨论，情况1：AP=AG=4；情况2：PG=AG=4，可求出点P的坐标【解析】（1）在ABCD中EH=FG=2，G（0，-1）即OG=1EFG=45在RtHOG中，EHG=45可得OH=1H（1，0）（2）OE=EH-OH=1E（-1，0），设抛物线C1解析式为y1=ax2+bx+c代入E、G、H三点，a=1，b=0，c=-1y1=x2-1依题意得，点F为顶点，过F点的抛物线C2解析式是y2=（x+2）2-1（3）抛物线C2与y轴交于点AA（0，3），AG=4情况1：AP=AG=4过点A作AB对称轴于BAB=2在RtPAB中，BP=P1（-2，3+）或P2（-2，3-）情况2：PG=AG=4同理可得：P3（-2，-1+）或P4