第15课时 一次函数

1 第 15 课时 一次函数 一 教学目标 1 掌握一次函数的意义及表达式 2 掌握一次函数的图象及性质 3 理解正比例函数与一次函数的关系 4 掌握用待定系数法确定一次函数的表达式 5 掌握一次函数与二元一次方程的关系 6 掌握用一次函数解决实际问题 二 重点难点 重点 1 一次函数的图象及性质 2 用待定系数法确定一次函数的表达式 难点 1 一次函数与二元一次方程的关系 2 利用一次函数解决实际问题 三 主要考点 一 定义 1 形如 y kx k 是常数 k 0 的函数 叫作正比例函数 2 形如 y kx b 其中 k b 是常数 且 k 0 的函数叫作一次函数 二 图象 1 正比例函数的图象是经过原点的一条直线 2 一次函数的图象是一条过点 0 b 和 0 的直线 k b 三 性质 b 0b 0b0 y x O y x O y x O y 随 x 的增大而 增大 直线从左 至右上升 直线 必经过第一 三 象限 k0 1 将直线 y kx 向上平移 b 个单位得到直线 y kx b 将直线 y kx 向下平移 b 个单位得到直线 y kx b 简记为 上加下减 2 将直线 y kx 向左平移 h 个单位得到直线 y k x h b 将直线 y kx 向右平 移 b 个单位得到直线 y k x h b 简记为 左加右减 五 一次函数的应用 一次函数的应用主要有 1 利用一次函数的性质 如增减性等来解决生活 2 155 图 中的优化问题等 2 利用两个一次函数的图象来解决方案选择问题 3 解决分段函 数问题 四 经典题型 15 1A 一次函数 y 3x 2 的图象不经过 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解 由 k 3 0 可知 直线经过第二 四象限 由 b 2 0 可知 直线与 y 轴的负半 轴相交 即经过第三 四象限 从而得出直线 y 3x 2 的图象经过第二 三 四象限 不 经过第一象限 故答案为 A 温馨提示 直线 y kx b 经过的象限由 k 和 b 的符号共同决定 当 k 0 时 直线必 经过第一 三象限 当 k 0 时 直线必经过第二 四象限 当 b 0 时 直线与 y 轴的正 半轴相交 从而必经过第一 二象限 当 b 0 时 直线经过原点 当 b 0 时 直线与 y 轴的负半轴相交 从而必经过第三 四象限 15 2A 若一次函数 y kx b 的函数值 y 随 x 的增大而减小 且图象与 y 轴的负半轴 相交 那么对 k 和 b 的符号判断正确的是 A k 0 b 0 B k 0 b 0 C k0 D k 0 b0 时 y 随 x 的增大而增大 图象表现为直线 y kx b 由左至右上升 当 k0 时 交点在 x 轴的上方 当 b 0 时 交点即原点 当 b 0 时 交点在原点下方 15 3A 将直线 y 2 x 4 向上平移 5 个单位后 所得直线的表达式是 解 将直线 y 2 x 4 向上平移 5 个单位后得 y 2x 4 5 即 y 2x 1 温馨提示 将直线 y kx b 上下平移时 k 的值不变 b 的值 上加下减 15 4B 如图 15 4 直线 y1 k1x a 与 y2 k3x b 的交点坐标为 1 2 则使 y1 y2的 x 的取值范围为 A x 1 B x 2 C x 1 D x 2 解 要确定 y1 y2的 x 的取值范围 反映在图象上是求直线 y1在 y2 下 方部分所对应的自变量 x 的取值范围 观察图象可知 x 的取值范围是 x 1 选 C 温馨提示 本题考查了一次函数与不等式 组 的关系及数形结合思想的应用 解 决此类问题关键是仔细观察图形 注意几个关键点 交点 原点等 做到数形结合 15 5B 如图 15 5 直线 l1 y x 1 与直线 l2 y mx n 相交于点 P 1 b 求 b 的值 不解关于 x y 的方程组 请你直接写出它的解 1 nmxy xy 直线 l3 y nx m 是否也经过点 P 请说明理由 解 1 b 在直线 y x 1 上 当 x 1 时 b 1 1 2 解是 2 1 y x 直线 y nx m 也经过点 P 点 P 1 2 在直线 y mx n 上 m n 2 2 n 1 m 这说明直线 y nx m 也经过点 P 温馨提示 利用二元一次方程组的解可以求出两个一次函数图象的交点坐标 反之 利用两个一次函数图象的交点坐标 也可以把二元一次方程组的解求出来 O 1 2 x y y2 k2x b y1 k1x a 154 图 3 15 6B 甲 乙两个工程队分别同时开挖两段河渠 所挖河渠的长度 y 米 与挖掘 时间 x 小时 之间的关系如图 15 6 请根据图象所提供的信息解答下列问题 图 15 6 1 求 甲队在 0 x 6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式 乙队在 2 x 6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式 2 当 x 为何值时 甲 乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等 解 1 甲队在 0 x 6 的时段内 根据题意 函数 y kx k 0 的图象经过点 6 60 60 6k 解得 k 10 y 10 x 乙队在 2 x 6 的时段内 根据题意 函数 y ax b a 0 的图象经过点 2 30 和点 6 50 解得 y 5x 20 230 650 ab ab 5 20 a b 2 根据题意得 10 x 5x 20 解方程得 x 4 答 当 x 为 4 时 甲 乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等 温馨提示 已知两个点的坐标可利用了待定系数法求一次函数解析式 而求正比例 函数的解析式只需除原点外的一个点的坐标即可 15 7C 某蒜薹 t i 生产基地喜获丰收 收获蒜薹 200 吨 经市场调查 可采用批 发 零售 冷库储藏后销售三种方式 并且按这三种方式销售 计划每吨平均的售价及成 本如下表 销售方式批发零售储藏后销售 售价 元 吨 3 0004 5005 500 成本 元 吨 7001 0001 200 若经过一段时间 蒜薹按计划全部售出获得的总利润为 y 元 蒜薹零售 x 吨 且 零售量是批发量的 3 1 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 2 由于受条件限制 经冷库储藏售出的蒜薹最多 80 吨 求该生产基地按计划全部售 完蒜薹获得的最大利润 解 1 由题意 得批发蒜薹 3x 吨 储藏后销售 200 4x 吨 则 y 3x 3000 700 x 4500 1000 200 4x 5500 1200 6800 x 860000 2 由题意 得 200 4x 80 解之 得 x 30 y 6800 x 860000 68005 xx y xx 2 当 x 4 时 y 20 x 20 4 80 元 当 x 6 时 y 14x 30 14 6 30 114 元 答 当 x 4 时 货款为 80 元 当 x 6 时 货款为 114 元 温馨提示 该函数为分段函数 写函数关系式时要注意自变量的取值范围 15 9B 八下 P145 如图 15 9 为边长是 2 的正方形 ABCD 点 P 在 CD 上 且从点 C 运动到点 D 设 CP x 四边形 ABPD 的面积为 y 1 求 y 与 x 之间的函数表达式及 x 的取值范围 2 说明是否存在点 P 使四边形 ABPD 的面积为 1 5 解 1 y 2 2 2 x 4 x 0 x 2 1 2 2 当 y 4 x 1 5 时 x 2 5 不在 0 x 2 的范围内 因此 不存在点 P 使四边形 APCD 的面积为 1 5 温馨提示 S四边形 APCD S正方形 ABCD S ABP 由于 P 从 B 运动到 C 所以自变量的取 值范围应该在 0 2 之间 六 链接中考 15 10A 2014 娄底 一次函数 y kx k k 0 的图象大致是 A B C D 解 选 A 15 11A 2015 南平 直线 y 2x 2 沿 y 轴向下平移 6 个单位后与 x 轴的交点坐标是 A 4 0 B 1 0 C 0 2 D 2 0 解 选 D 15 12A 2015 滨州 把直线 y x 1 沿 x 轴向右平移 2 个单位 所得直线的函数解 析式为 解 把直线 y x 1 沿 x 轴向右平移 2 个单位 所得直线的函数解析式为 y x 2 159 图 5 1 即 y x 1 故答案为 y x 1 温馨提示 直线的左右平移规律为 左加右减 即直线 y kx b 向左平移 h h 0 个单位得到直线 y k x h b 直线 y kx b 向右平移 h h 0 个单位得到直线 y k x h b 15 13A 2015 福建 在一次函数 y kx 3 中 y 的值随着 x 值的增大而增大 请你 写出符合条件的 k 的一个值 解 此题为开放题 k 0 即可 如 k 1 七 课时检测 一 选择题 时量 5 分钟 满分 15 分 每小题 3 分 15 14A 2015 郴州 如图 15 14 为一次函数 y kx b k 0 的图象 则下列正确的是 A k 0 b 0 B k 0 b 0 C k 0 b 0 D k 0 b 0 15 15A 函数 y x 1 的图象是 A B C D 15 16A 2015 宿迁 在平面直角坐标系中 若直线 y kx b 经过第一 三 四象限 则直线 y bx k 不经过的象限是 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 15 17A 如图 15 17 直线 l 经过第二 三 四象限 l 的解析式是 y m 2 x n 则 m 的取值范围在数轴上表示为 图 15 17 A B C D 15 18A 2015 广安 某油箱容量为 60 L 的汽车 加满汽油后行驶了 100 km 时 油箱中的汽油大约消耗了 如果加满汽油后汽车行驶的路程为 x km 邮箱中剩油量为 y 1 5 L 则 y 与 x 之间的函数解析式和自变量取值范围分别是 A y 0 12x x 0 B y 60 0 12x x 0 C y 0 12x 0 x 500 D y 60 0 12x 0 x 500 二 填空题 时量 10 分钟 满分 15 分 每小题 3 分 15 19A 2015 凉山州 已知函数 y 2x2a b a 2b 是正比例函数 则 a b 15 20A 2015 无锡 一次函数 y 2x 6 的图象与 x 轴的交点坐标为 15 21A 已知一次函数 y 1 m x m 2 当 m 时 y 随 x 的增大而增大 15 22B 2015 株洲 已知直线 y 2x 3 a 与 x 轴的交点在 A 2 0 B 3 0 之间 包括 A B 两点 则 a 的取值范围是 15 23B 2015 衡阳 如图 15 23 A1B1A2 A2B2A3 A3B3A4 AnBnAn 1都 15 14 图 6 是等腰直角三角形 其中点 A1 A2 An在 x 轴上 点 B1 B2 Bn在直线 y x 上 已知 OA1 1 则 OA2015的长为 1523 图 三 解答题 时量 25 分钟 满分 36 分 每小题 9 分 15 24A 2015 淄博 在直角坐标系中 一条直线经过 A 1 5 P 2 a B 3 3 三点 1 求 a 的值 2 设这条直线与 y 轴相交于点 D 求 OPD 的面积 15 25A 在一次蜡烛燃烧实验中 蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y cm 与燃烧时间 x h 之间为一次函数关系 根据图 15 25 提供的信息 解答下列问题 1 求出蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式 2 求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间 1525 图 15 26B 如图 15 26 一次函数 y x m 的图象和 y 轴交于点 B 与正比例函数 y x 图象交于点 P 2 n 3 2 1 求 m 和 n 的值 2 求 POB 的面积 1526 图 15 27C 广安某水果店计划购进甲 乙两种新出产的水果共 140 千克 这两种水果 的进价 售价如表所示 进价 元 千克 售价 元 千克 甲种58 7 乙种913 1 若该水果店预计进货款为 1000 元 则这两种水果各购进多少千克 2 若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的 3 倍 应怎样安排 进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多 此时利润为多少元 课时检测答案 一 选择题 时量 5 分钟 满分 15 分 每小题 3 分 15 14 C 15 15 D 15 16 C 15 17 C 15 18 D 二 填空题 时量 10 分钟 满分 15 分 每小题 3 分 15 19 15 20 3 0 15 21 1 2 3 1 3 15 22 解 直线 y 2x 3 a 与 x 轴的交点在 A 2 0 B 3 0 之间 包括 A B 两点 2 x 3 令 y 0 则 2x 3 a 0 解得 3 2 a x 则 2 3 解得 7 a 9 3 2 a 15 23 解 OA1 1 OA2 2 OA3 4 OA4 8 由此得出 OAn 2n 2 OA2015 22013 三 解答题 时量 25 分钟 满分 36 分 每小题 9 分 15 24 解 1 设直线的解析式为 y kx b 把 A 1 5 B 3 3 代入 可得 解得 5 33 kb kb 2 3 k b 所以直线解析式为 y 2x 3 把 P 2 a 代入 y 2x 3 中 得 a 7 2 由 1 得点 P 的坐标为 2 7 令 x 0 则 y 3 所以直线与 y 轴的交点坐标为 0 3 所以 OPD 的面积 3 2 3 1 2 15 25 解 1 由于蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y cm 与燃烧时间 x h 之间 为一次函数关系 故设 y 与 x 之间的函数