建坐标系解立体几何(含解析)

精品文档 第 1 页 共 28 页1欢迎下载 立体几何立体几何 建坐标系建坐标系 1 如图 四棱锥 S ABCD 中 AB CD BC CD 侧面 SAB 为等边三角形 AB BC 2 CD SD 1 证明 SD 平面 SAB 求 AB 与平面 SBC 所成的角的大小 2 如图 在四面体 ABOC 中 OC OA OC OB AOB 120 且 OA OB OC 1 设 P 为 AC 的中点 Q 在 AB 上且 AB 3AQ 证明 PQ OA 求二面角 O AC B 的平面角的余弦值 3 如图 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 4 AA1 点 D 是 BC 的中点 点 E 在 AC7 上 且 DE A1E 证明 平面 A1DE 平面 ACC1A1 求直线 AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值 精品文档 第 2 页 共 28 页2欢迎下载 4 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 1 AC AA1 ABC 60 3 证明 AB A1C 求二面角 A A1C B 的大小 5 四棱锥 A BCDE 中 底面 BCDE 为矩形 侧面 ABC 底面 BCDE BC 2 CD 2 AB AC 证明 AD CE 设侧面 ABC 为等边三角形 求二面角 C AD E 的大小 精品文档 第 3 页 共 28 页3欢迎下载 6 如图 正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2 D 为 CC1中点 求证 AB1 平面 A1BD 求二面角 A A1D B 的大小 7 如图 在三棱锥 V ABC 中 VC 底面 ABC AC BC D 是 AB 的中点 且 AC BC VDC a 2 0 求证 平面 VAB 平面 VCD 试确定 的值 使得直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 6 8 如图 BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形 平面 MCD 平面 BCD AB 平 面 BCD AB 2 求直线 AM 与平面 BCD 所成角的大小 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值 精品文档 第 4 页 共 28 页4欢迎下载 9 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 90 求证 PC BC 求点 A 到平面 PBC 的距离 10 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC BC AA1 AB D 为 BB1的中点 E 为 AB1上 的一点 AE 3EB1 证明 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线 设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45 求二面角 A1 AC1 B1的大小 精品文档 第 5 页 共 28 页5欢迎下载 11 如图 四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 SD 底面 ABCD AD 2 DC SD 2 点 M 在侧棱 SC 上 ABM 60 证明 M 是侧棱 SC 的中点 求二面角 S AM B 的大小 12 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC D E 分别为 AA1 B1C 的中点 DE 平面 BCC1 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 60 求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 13 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是正方形 PD 底面 ABCD 点 E 在棱 PB 上 求证 平面 AEC 平面 PDB 当 PD AB 且 E 为 PB 的中点时 求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小 2 精品文档 第 6 页 共 28 页6欢迎下载 14 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 PA 平面 ABCD PA AD 4 AB 2 以 BD 的中点 O 为球心 BD 为直径的球面交 PD 于点 M 求证 平面 ABM 平面 PCD 求直线 PC 与平面 ABM 所成的角 求点 O 到平面 ABM 的距离 15 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是正方形 SD 平面 ABCD SD 2a AD a2 点 E 是 SD 上的点 且 DE 00 y 0 z 0 x 2 y 2 z x y 2 z x 1 y z 由 得 精品文档 第 10 页 共 28 页10欢迎下载 故 x 1 由 1 得 y2 z2 1 又由 2 得 x2 y 2 2 z2 4 即 y2 z2 4y 1 0 故 y z 3 分 于是 S 0 0 故 DS AS DS BS 又 AS BS S 所以 SD 平面 SAB 6 分 设平面 SBC 的法向量 a m n p 则 a a a 0 a 0 又 0 2 0 故 9 分 取 p 2 得 a 0 2 又 2 0 0 cos 故 AB 与平面 SBC 所成的 角为 arcsin 12 分 2 解法一 在平面 OAB 内作 ON OA 交 AB 于 N 连结 CN 在 AOB 中 AOB 120 且 OA OB OAB OBA 30 在 Rt AON 中 OAN 30 ON AN 在 ONB 中 NOB 120 90 30 OBN NB ON AN 又 AB 3AQ Q 为 AN 的中点 在 CAN 中 P Q 分别为 AC AN 的中点 PQ CN 由 OA OC OA ON 知 OA 平面 CON 又 NC 平面 CON OA CN 由 PQ CN 知 OA PQ 连结 PN PO 由 OC OA OC OB 知 OC 平面 OAB 又 ON 平面 OAB OC ON 又由 ON OA 知 ON 平面 AOC OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影 在等腰 Rt COA 中 P 为 AC 的中点 AC OP 根据三垂线定理 知 AC NP OPN 为二面角 O AC B 的平面角 在等腰 Rt COA 中 OC OA 1 OP 在 精品文档 第 11 页 共 28 页11欢迎下载 Rt AON 中 ON OAtan 30 在 Rt PON 中 PN cos OPN 解法二 取 O 为坐标原点 以 OA OC 所在的直线为 x 轴 z 轴 建立空间直角坐标系 O xyz 如 图所示 则 A 1 0 0 C 0 0 1 B P 为 AC 的中点 P 又由 已知 可得 又 1 0 0 0 故 记平面 ABC 的法向量 n n1 n2 n3 则由 n n 且 1 0 1 得故可取 n 1 1 又平面 OAC 的法向量为 e 0 1 0 cos 二面角 O AC B 的平面角是锐角 记为 则 cos 3 如图所示 由正三棱柱 ABC A1B1C1的性质知 AA1 平面 ABC 又 DE 平面 ABC 所以 DE AA1 而 DE A1E AA1 A1E A1 所以 DE 平面 ACC1A1 又 DE 平面 A1DE 故平面 A1DE 平面 ACC1A1 解法一 过点 A 作 AF 垂直 A1E 于点 F 连结 DF 由 知 平面 A1DE 平面 ACC1A1 所以 AF 平面 A1DE 故 ADF 是直线 AD 和 平面 A1DE 所成的角 精品文档 第 12 页 共 28 页12欢迎下载 因为 DE 平面 ACC1A1 所以 DE AC 而 ABC 是边长为 4 的正三角形 于是 AD 2 AE 4 CE 4 CD 3 又因为 AA1 所以 A1E 4 AF sin ADF 即直线 AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值为 解法二 如图所示 设 O 是 AC 的中点 以 O 为原点建立空间直角坐标系 则相关各点的坐标分别是 A 2 0 0 A1 2 0 D 1 0 E 1 0 0 易知 3 0 0 3 0 设 n x y z 是平面 A1DE 的一 个法向量 则解得 x z y 0 故可取 n 0 3 于是 cos 由此即知 直线 AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值为 4 解法一 证明 三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱 AB AA1 在 ABC 中 AB 1 AC ABC 60 由正弦定理得 ACB 30 BAC 90 即 AB AC AB 平面 ACC1A1 又 A1C 平面 ACC1A1 AB A1C 如图 作 AD A1C 交 A1C 于 D 点 连结 BD 由三垂线定理知 BD A1C ADB 为二面角 A A1C B 的平面角 在 Rt AA1C 中 AD 在 Rt BAD 中 tan ADB ADB arctan 即二面角 A A1C B 的大小为 arctan 精品文档 第 13 页 共 28 页13欢迎下载 解法二 证明 三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱 AA1 AB AA1 AC 在 ABC 中 AB 1 AC ABC 60 由正弦定理得 ACB 30 BAC 90 即 AB AC 如图 建立空间直角坐标系 则 A 0 0 0 B 1 0 0 C 0 0 A1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 AB A1C 如图 可取 m 1 0 0 为平面 AA1C 的法向量 设平面 A1BC 的法向量为 n l m n 则 n 0 n 0 又 1 0 l m n m 不妨取 m 1 则 n 1 1 cos 二面角 A A1C B 的大小为 arccos 5 解法一 作 AO BC 垂足为 O 连结 OD 由题设知 AO 底面 BCDE 且 O 为 BC 中点 由 知 Rt OCD Rt CDE 从而 ODC CED 于是 CE OD 由三垂线定理知 AD CE 作 CG AD 垂足为 G 连结 GE 由 知 CE AD 又 CE CG C 故 AD 平面 CGE AD GE 所以 CGE 是二面角 C AD E 的平面角 GE CE cos CGE 所以二面角 C AD E 为 arccos 解法二 作 AO BC 垂足为 O 由题设知 AO 底面 BCDE 且 O 为 BC 的中点 以 O 为坐标原点 精品文档 第 14 页 共 28 页14欢迎下载 射线 OC 为 x 轴正向 建立如图所示的直角坐标系 O xyz 设 A 0 0 t 由已知条件有 C 1 0 0 D 1 0 E 1 0 2 0 1 t 所以 0 知 AD CE ABC 为等边三角形 因此 A 0 0 作 CG AD 垂足为 G 连结 CE 在 Rt ACD 中 求得 AG AD 故 G 又 1 0 0 所以与的夹角等于二面角 C AD E 的平面角 由 cos 知二面角 C AD E 为 arccos 6 解法一 取 BC 中点 O 连结 AO ABC 为正三角形 AO BC 正三棱柱 ABC A1B1C1中 平面 ABC 平面 BCC1B1 AO 平面 BCC1B1 连结 B1O 在正方形 BB1C1C 中 O D 分别为 BC CC1的中点 B1O BD AB1 BD 在正方形 ABB1A1中 AB1 A1B AB1 平面 A1BD 设 AB1与 A1B 交于点 G 在平面 A1BD 中 作 GF A1D 于 F 连结 AF 由 得 AB1 平面 A1BD AF A1D AFG 为二面角 A A1D B 的平面角 在 AA1D 中 由等面积法可求得 AF 又 AG AB1 sin AFG 所以二面角 A A1D B 的大小为 arcsin 精品文档 第 15 页 共 28 页15欢迎下载 解法二 取 BC 中点 O 连结 AO ABC 为正三角形 AO BC 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 平面 ABC 平面 BCC1B1 AO 平面 BCC1B1 取 B1C1中点 O1 以 O 为原点 的方向为 x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系 则 B 1 0 0 D 1 1 0 A1 0 2 A 0 0 B1 1 2 0 1 2 2 1 0 1 2 2 2 0 0 1 4 3 0 AB1 平面 A1BD 设平面 A1AD 的法向量为 n x y z 1 1 0 2 0 n n 令 z 1 得 n 0 1 为平面 A1AD 的 一个法向量 由 知 AB1 平面 A1BD 为平面 A1BD 的法向量 cos 二面角 A A1D B 的大小为 arccos 7 解法一 AC BC a ACB 是等腰三角形 又 D 是 AB 的中点 CD AB 又 VC 底面 ABC VC AB 于是 AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB 平面 VAB 平面 VCD 过点 C 在平面 VCD 内作 CH VD 于 H 则由 知 CH 平面 VAB 连结 BH 于是 CBH 就是直 线 BC 与平面 VAB 所成的角 依题意 CBH 所以在 Rt CHD 中 CH asin 在 Rt BHC 中 CH asin sin 0 故当 时 直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 解法二 以 CA CB CV 所在的直线分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系 则 C 0 0 0 A a 0 0 B 0 a 0 D V 于是 a a 0 从而 a a 0 a2 a2 0 0 精品文档 第 16 页 共 28 页16欢迎下载 即 AB CD 同理 a a 0 a2 a2 0 0 即 AB VD 又 CD VD D AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB 平面 VAB 平面 VCD 设平面 VAB 的一个法向量为 n x y z 则由得 可取 n 1 1 cot 又 0 a 0 于是 sin sin 即 sin 0 故当 时 直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 解法三 以点 D 为原点 以 DC DB 所在的直线分别为 x 轴 y 轴 建立如图所示的空间直角坐 标系 则 D 0 0 0 A B C V 于是 0 a 0 从而 0 a 0 0 即 AB DC 同理 0 a 0 0 即 AB DV 又 DC DV D AB 平面 VCD 又 AB 平面 VAB 平面 VAB 平面 VCD 设平面 VAB 的一个法向量为 n x y z 则由得 精品文档 第 17 页 共 28 页17欢迎下载 取 n tan 0 1 又 于是 sin sin 即 sin 0 故当 时 直线 BC 与平面 VAB 所成的角为 8 解法一 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平面 MCD 平面 BCD 则 MO 平面 BCD 所以 MO AB A B O M 共面 延长 AM BO 相交于 E 则 AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角 OB MO MO AB 则 EO OB 所以 EB 2 AB 故 AEB 45 直线 AM 与平面 BCD 所成角的大小为 45 CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线 由 知 O 是 BE 的中点 则 BCED 是菱形 作 BF EC 于 F 连 AF 则 AF EC AFB 就是二面角 A EC B 的平面角 设为 因为 BCE 120 所以 BCF 60 BF BC sin 60 tan 2 sin 所以 所求二面角的正弦值是 解法二 取 CD 中点 O 连 OB OM 则 OB CD OM CD 又平面 MCD 平面 BCD 则 MO 平面 BCD 以 O 为原点 直线 OC BO OM 为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系如图 OB OM 则各 点坐标分别为 O 0 0 0 C 1 0 0 M 0 0 B 0 0 A 0 2 设直线 AM 与平面 BCD 所成的角为 因 0 平面 BCD 的法 向量为 n 0 0 1 则有 sin cos 所以 45 直线 AM 与平面 BCD 所成角的大小为 45 精品文档 第 18 页 共 28 页18欢迎下载 1 0 1 2 设平面 ACM 的法向量为 n1 x y z 由得解得 x z y z 取 n1 1 1 平面 BCD 的法向量为 n 0 0 1 则 cos 设所求二面角为 则 sin 所以 所求二面角的正弦值是 9 解法一 因为 PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD 所以 PD BC 由 BCD 90 得 BC DC 又 PD DC D PD 平面 PCD DC 平面 PCD 所以 BC 平 面 PCD 因为 PC 平面 PCD 所以 PC BC 连结 AC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h 因为 AB DC BCD 90 所以 ABC 90 从而 由 AB 2 BC 1 得 ABC 的面积 S ABC 1 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱锥 P ABC 的体积 V S ABC PD 因为 PD 平面 ABCD DC 平面 ABCD 所以 PD DC 又 PD DC 1 所以 PC 由 PC BC BC 1 得 PBC 的面积 S PBC 由 V S PBCh h 得 h 因此 点 A 到平面 PBC 的距离为 解法二 建立如图所示空间直角坐标系 D xyz 则 P 0 0 1 C 0 1 0 B 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 PC BC 设平面 PBC 的法向量 n x y z 则有即令 y 1 得 n 0 1 1 又因为 A 1 1 0 0 2 0 所以点 A 到平面 PBC 的距离 d 精品文档 第 19 页 共 28 页19欢迎下载 解法三 取 AB 中点 E 连 DE 则 DE BC DE 面 PBC 则 A 点到面 PBC 的距离等于 E 点到面 PBC 距离的 2 倍 即等于点到面 PBC 距离的 2 倍 过 D 作 DH PC 则 DH 面 PBC 在 Rt PCD 中 DH A 到面 PBC 的距离为 10 解法一 连结 A1B 记 A1B 与 AB1的交点为 F 因为面 AA1B1B 为正方形 故 A1B AB1 且 AF FB1 又 AE 3EB1 所以 FE EB1 又 D 为 BB1的中点 故 DE BF DE AB1 作 CG AB G 为垂足 由 AC BC 知 G 为 AB 中 点 又由底面 ABC 面 AA1B1B 得 CG 面 AA1B1B 连结 DG 则 DG AB1 故 DE DG 由三垂线定理 得 DE CD 所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线 因为 DG AB1 故 CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角 CDG 45 设 AB 2 则 AB1 2 DG CG AC 作 B1H A1C1 H 为垂足 因为底面 A1B1C1 面 AA1C1C 故 B1H 面 AA1C1C 又作 HK AC1 K 为垂足 连结 B1K 由三垂线定理 得 B1K AC1 因此 B1KH 为二面角 A1 AC1 B1 的平面角 B1H HC1 AC1 HK tan B1KH 所以二面角 A1 AC1 B1的大小为 arctan 解法二 以 B 为坐标原点 射线 BA 为 x 轴正半轴 建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz 设 AB 2 则 A 2 0 0 B1 0 2 0 D 0 1 0 E 又设 C 1 0 c 则 2 2 0 1 1 c 于是 0 0 精品文档 第 20 页 共 28 页20欢迎下载 故 DE B1A DE DC 所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线 因为等于异面直线 AB1与 CD 的夹角 故 cos 45 即 2 4 解得 c 故 1 0 又 0 2 0 所以 1 2 设平面 AA1C1的法向量为 m x y z 则 m 0 m 0 即 x 2y z 0 且 2y 0 令 x 则 z 1 y 0 故 m 0 1 设平 面 AB1C1的法向量为 n p q r 则 n 0 n 0 即 p 2q r 0 2p 2q 0 令 p 则 q r 1 故 n 1 所以 cos 由于等于二面角 A1 AC1 B1的平面角 所以二面角 A1 AC1 B1的 大小为 arccos 11 2009 全国 19 12 分 如图 四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 SD 底面 ABCD AD DC SD 2 点 M 在侧棱 SC 上 ABM 60 11 解法一 作 ME CD 交 SD 于点 E 则 ME AB ME 平面 SAD 连结 AE 则四边形 ABME 为直角梯形 作 MF AB 垂足为 F 则 AFME 为矩形 设 ME x 则 SE x AE MF AE FB 2 x 由 MF FB tan 60 得 2 x 解得 x 1 即 ME 1 从而 ME DC 所以 M 为侧棱 SC 的中点 MB 2 又 ABM 60 AB 2 所以 ABM 为等边三角形 又由 知 M 为 SC 中点 SM SA AM 2 故 SA2 SM2 AM2 SMA 90 取 AM 中点 G 连 结 BG 取 SA 中点 H 连结 GH 则 BG AM GH AM 由此知 BGH 为二面角 S AM B 的平面角 连 结 BH 在 BGH 中 BG AM GH SM BH 所以 cos BGH 二面角 S AM B 的大小为 arccos 精品文档 第 21 页 共 28 页21欢迎下载 解法二 以 D 为坐标原点 射线 DA 为 x 轴正半轴 建立如图所示的直角坐标系 D xyz 设 A 0 0 则 B 2 0 C 0 2 0 S 0 0 2 设 0 则 M 又 0 2 0 60 故 cos 60 即 解得 1 即 所以 M 为侧棱 SC 的中点 由 M 0 1 1 A 0 0 得 AM 的中点 G 又 0 1 1 1 1 0 0 所以 所以等于二面角 S AM B 的平面角 因为 cos 所以二面角 S AM B 的大小为 arccos 12 解法一 取 BC 中点 F 连结 EF 则 EF B1B 从而 EFDA 连结 AF 则 ADEF 为平行四边形 从而 AF DE 2 分 又 DE 平面 BCC1 故 AF 平面 BCC1 从而 AF BC 即 AF 为 BC 的垂直平分线 所以 AB AC 5 分 作 AG BD 垂足为 G 连结 CG 由三垂线定理知 CG BD 故 AGC 为二面角 A BD C 的平面角 由题设知 AGC 60 设 AC 2 则 AG 又 AB 2 BC 2 故 AF 由 AB AD AG BD 得 2AD 解得 AD 故 AD AF 又 AD AF 所以四边形 ADEF 为正方形 8 分 因为 精品文档 第 22 页 共 28 页22欢迎下载 BC AF BC AD AF AD A 故 BC 平面 DEF 因此平面 BCD 平面 DEF 连结 AE DF 设 AE DF H 则 EH DF EH 平面 BCD 连结 CH 则 ECH 为 B1C 与平面 BCD 所成的角 因 ADEF 为 正方形 AD 故 EH 1 又 EC B1C 2 所以 sin ECH 所以 ECH 30 即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30 12 分 解法二 以 A 为坐标原点 射线 AB 为 x 轴的正半轴 建立如图所示的直角坐标系 A xyz 设 B 1 0 0 C 0 b 0 D 0 0 c 则 B1 1 0 2c E 2 分 于是 1 b 0 由 DE 平面 BCC1知 DE BC 0 求得 b 1 所以 AB AC 5 分 设平面 BCD 的法向量 x y z 则 0 0 又 1 1 0 1 0 c 故 8 分 令 x 1 则 y 1 z 又平面 ABD 的法向量 0 1 0 由二面角 A BD C 为 60 知 60 故 cos 60 求得 c 于 是 1 1 1 1 cos 60 所以 B1C 与 平面 BCD 所成的角为 30 12 分 13 解法一 四边形 ABCD 是正方形 AC BD PD 底面 ABCD PD AC AC 平面 PDB 平面 AEC 平面 PDB 设 AC BD O 连结 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角 O E 分别为 DB PB 的中点 OE PD OE PD 又 PD 底面 ABCD OE 底面 ABCD OE AO 在 Rt AOE 中 OE PD AB AO AEO 45 即 AE 与平面 PDB 所成的角为 45 精品文档 第 23 页 共 28 页23欢迎下载 解法二 如图 以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz 设 AB a PD h 则 A a 0 0 B a a 0 C 0 a 0 D 0 0 0 P 0 0 h a a 0 0 0 h a a 0 0 0 AC DP AC BD AC 平面 PDB 平面 AEC 平面 PDB 当 PD AB 且 E 为 PB 的中点时 P 0 0 a E 设 AC BD O 则 O 连结 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角 cos AEO AEO 45 即 AE 与平面 PDB 所成的角为 45 14 解法一 证明 依题设 M 在以 BD 为直径的球面上 则 BM PD 因为 PA 平面 ABCD 则 PA AB 又 AB AD 所以 AB 平面 PAD 则 AB PD 因此有 PD 平面 ABM 所以平面 ABM 平面 PCD 设平面 ABM 与 PC 交于点 N 因为 AB CD 所以 AB 平面 PCD 则 AB MN CD 由 知 PD 平面 ABM 则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影 所以 PNM 就是 PC 与平面 ABM 所成的角 且 PNM PCD tan PNM tan PCD 2 所求角为 arctan 2 因为 O 是 BD 的中点 则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半 由 知 PD 平面 ABM 于 M 则 DM 就是 D 点到平面 ABM 的距离 因为在 Rt PAD 中 PA AD 4 PD AM 所以 M 为 PD 中点 DM 2 则 O 点到平面 ABM 的距离等于 解法二 同解法一 如图所示 建立空间直角坐标系 则 A 0 0 0 P 0 0 4 B 2 0 0 C 2 4 0 D 0 4 0 M 0 2 2 精品文档 第 24 页 共 28 页24欢迎下载 设平面 ABM 的一个法向量 n x y z 由 n n 可得令 z 1 则 y 1 即 n 0 1 1 设所求角为 则 sin 所求角的大小为 arcsin 设所求距离为 h 由 O 1 2 0 1 2 0 得 h 15 1 如图 连接 BE BD 由底面 ABCD 是正方形可得 AC BD SD 平面 ABCD BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影 AC BE 2 如图 由 SD 平面 ABCD 知 DBE SD 平面 ABCD CD平面 ABCD SD CD 又底面 ABCD 是正方形 CD AD 而 SD AD D CD 平面 SAD 连接 AE CE 过点 D 在平面 SAD 内作 DE AE 于 F 连接 CF 则 CF AE 故 CDF 是二面角 C AE D 的平面角 即 CDF 在 Rt BDE 中 BD 2a DE 在 Rt ADE 中 从而 在中 由 得 由 解得 即为所求 16 解法一 因为 AB DC DC 平面 EFCD 所以直线 AB 到平面 EFCD 的距离等于点 A 到平面 EFCD 的距离 如图 1 过点 A 作 AG FD 于 G 因 BAD AB DC 故 CD AD 又 FA 平面 ABCD 由三垂线定理知 CD FD 故 CD 平面 FAD 知 CD AG 图 1 故 AG 为所求的直线 AB 到平面 EFCD 的距离 在 Rt FDC 中 FD 由 FA 平面 ABCD 得 FA AD 从而在 Rt FAD 中 FA 1 所以 AG 由已知 FA 平面 ABCD 得 FA AD 又由 BAD 知 AD AB 故 AD 平面 ABFE 从而 AD FE 所以 FAE 为二面角 F AD E 的平面角 记为 在 Rt EAD 中 AE 精品文档 第 25 页 共 28 页25欢迎下载 由四边形 ABFE 为平行四边形 得 FE BA 从而 EFA 在 Rt EFA 中 EF 故 tan 解法二 图 2 如图 2 以 A 点为坐标原点 的方向为 x y z 的正方向建立空间直角坐标系 则 A 0 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 设 F 0 0 z0 z0 0 可得 2 2 z0 由 3 即 3 解得 z0 1 即 F 0 0 1 因为 AB DC DC 平面 EFCD 所以直线 AB 到平面 EFCD 的距离等于点 A 到平面 EFCD 的距离 设 A 点在平面 EFCD 上的射影点为 G x1 y1 z1 则 x1 y1 z1 因 0 且 0 而 0 2 1 2 0 0 此即 解得 G 点的横坐标 x1 0 知 G 点在 yOz 面上 故 G 点在 FD 上 又 x1 y1 z1 1 故有 z1 1 联立 解得 G 因 为 AB 到平面 EF