北京市海淀区2012届高三数学5月查漏补缺试题

用心 爱心 专心1 数学查漏补缺题数学查漏补缺题 说明 查漏补缺题是在海淀的四次统练基础上的补充 题目以中档题为主 部分题目 是弥补知识的漏洞 部分是弥补方法的漏洞 还有一些是新的变式题 请老师们根据学生 的情况有选择地使用或改编使用 最后阶段的复习 在做好保温工作的前提下 指导学生加强反思 梳理典型问题的方 法 站在学科高度建立知识之间的联系 融会贯通 以进一步提升学生的分析 解决问题 的能力为重点 1 已知原命题 若a b 2 则a b 中至少有一个不小于 1 则原命题与其否命题的真 假情况是 A 原命题为真 否命题为假B 原命题为假 否命题为真 C 原命题与否命题均为真命题D 原命题与否命题均为假命题 2 在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数yx yx 2 yx 3 yx 1 yx 的部分图象 则函数 2 yx 的图象通过的阴影区 域是 A B C D 3 若直线 3 1 4 xt yt t为参数 与圆 3cos 3sin x yb 为参数 相切 则b A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 46 或 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 64 或 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 19 或 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 9 或1 4 若 3 sin 45 x 则sin2x的值为 A 19 25 B 16 25 C 14 25 D 7 25 5 定义在 R R 上的函数 f x满足 1 f xf x 当x 0 1 时 cosf xx 设 0 5 af 2 bf 3 cf 则a b c大小关系是 A a b c B a c b C b c a D c b a 6 设集合 x Ax y ya 1Bx y yx 或1 yx 若AB 则正 实数a的取值范围是 y xO y xO y xO y xO 用心 爱心 专心2 A 1 0 e B 1 e e C 2 1 e D e 7 函数 2 e x f xx 的图象是 A B C D 8 若 52 1 x x 的展开式中不含 x R的项 则 的值可能为 A 5 B 1 C 7 D 2 9 函数 2 sin2sin sin 3 yxxx 的图象的对称轴是 10 设曲线的极坐标方程为sin21 则其直角坐标方程为 11 以原点为顶点 以x轴正半轴为始边的角 的终边与直线21yx 垂直 则 cos 12 设函数 sin f xx 其中 若 63 ff xf 对任意x R恒 成立 则正数 的最小值为 此时 13 在区间 1 1 上随机的取两个数a b 使得方程012 2 axbx有两个实根的概率 为 14 从 54 张扑克牌中抽出一张 抽到的扑克牌为梅花的概率为 抽到的扑克牌为 K 的条件下恰好是梅花的概率为 15 已知向量a b满足 1 6 2 ababa 则a与b的夹角为 2 ab 16 某单位员工按年龄分为老 中 青三组 其人数之比为 1 5 3 现用分层抽样的方法 从总体中抽取一个容量为 18 的样本 已知老年职工组中的甲 乙二人均被抽到的概率是 28 1 则该单位员工总数为 人 17 将一张边长为 12cm 的纸片按如图 1 所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形 将余下 部分沿虚线折成一个有底的正四棱锥模型 如图 2 放置 若正四棱锥的正视图是正三角形 如图 3 则四棱锥的体积是 3 cm 1 1 y Ox 1 1 y Ox 1 1 y Ox 1 1 y Ox 用心 爱心 专心3 图 1 图 2 图 3 18 一艘轮船在江中向正东方向航行 在点P处观测到灯 塔 A B在一直线上 并与航线成 30 角 轮船沿航线前 进 600 米到达C处 此时观测到灯塔A在北偏西 45 方 向 灯塔B在北偏东 15 方向 则两灯塔之间的距离是 米 19 已知点P为曲线 2 yx 与ln 0 yax a 的公共 点 且两条曲线在点P处的切线重合 则a 20 如图 函数 f x的图象是折线段ABC 其中 ABC 的坐标分别为 0 4 2 0 6 4 则 0 f f 函数 f x在1x 处的导数 1 f 函数 f x的极值点是 6 0 f x dx 21 如图 A AC是 O的一段劣弧 弦CD平分ACB 交 A AC于 点D BC切 A AC于点C 延长弦AD交 BC于点B 1 若 0 75B 则 ADC 2 若 O的半径长为 5 2 3CD 则 BD 22 已知函数 esin x f xx 其中e2 718 求 f x的单调区间 求 f x在 上的最大值与最小值 23 某班同学寒假期间在三个小区进行了一次有关 年夜饭在哪吃 的调查 若年夜饭在 家吃的称为 传统族 否则称为 前卫族 这两类家庭总数占各自小区家庭总数的比例 如下 o o o 15 45 30 P C A B 2 B C A y x 1O3 4 5 6 1 2 3 4 用心 爱心 专心4 A小区传统族前卫族 比例 2 1 2 1 B小区传统族前卫族 比例 3 2 3 1 C小区传统族前卫族 比例 4 3 4 1 从A B C三个小区中各选一个家庭 求恰好有 2 个家庭是 传统族 的概率 用 比例作为相应的概率 在C小区按上述比例选出的 20 户家庭中 任意抽取 3 户家庭 其中 前卫族 家庭 的数量记为X 求X的分布列和期望EX 24 申请某种许可证 根据规定需要通过统一考试才能获得 且考试最多允许考四次 设 X表示一位申请者经过考试的次数 据统计数据分析知X的概率分布如下 X1234 P0 1 x 0 30 1 求一位申请者所经过的平均考试次数 已知每名申请者参加X次考试需缴纳费用10030YX 单位 元 求两位申 请者所需费用的和小于 500 元的概率 在 的条件下 4 位申请者中获得许可证的考试费用低于 300 元的人数记为 求 的分布列 25 在ABC 中 角A B C所对的边长分别是a b c 满足 bAcCa coscos2 求角C的大小 求sincossinABB 的最大值 26 设数列 n a的前n项和为 n S 且满足2 3 2 1 1nn SSS 1 2 3 n 求证 数列 1 n S为等比数列 求通项公式 n a 若数列 n n b a 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 求数列 n b的前n项和为 n T 27 已知抛物线 2 xy O为坐标原点 用心 爱心 专心5 过点O作两相互垂直的弦 OM ON 设M的横坐标为m 用m表示 OMN的面积 并求 OMN面积的最小值 过抛物线上一点 3 9A引圆 2 2 21xy 的两条切线ABAC 分别交抛 物线于点BC 连接BC 求直线BC的斜率 28 若圆C过点 M 0 1 且与直线 1l y 相切 设圆心C的轨迹为曲线E A B A 在y轴的右侧 为曲线E上的两点 点 0 0 Pt t 且满足 1 ABPB 求曲线E的方程 若t 6 直线AB的斜率为 1 2 过A B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线 求圆N的方程 分别过A B作曲线 E 的切线 两条切线交于点Q 若点Q恰好在直线l上 求 证 t与QA QB 均为定值 参考答案 1 A 2 C 3 A 4 D 5 B 6 B 7 A 8 D 9 xkk Z 10 yx 11 2 5 5 或 2 5 5 12 2 6 13 2 3 14 54 13 4 1 15 3 2 7 16 解 按分层抽样应该从老年职工组中抽取2 9 1 18 人 所以不妨 设老年职工组共有n人 则甲乙二人均被抽到的概率为 28 1 2 2 2 n C C 解得 8 n 所以该单位共有员工7298 人 17 64 6 3 18 900300 3 19 2e 20 2 2 2 12 21 110 25 13 22 解 2cos 4 esinecos e xx x x fxxx 令 0fx 解得 4 xkk Z 因为当 3 2 2 44 xkkk Z时 0fx 当 5 2 2 44 xkkk Z时 0fx 用心 爱心 专心6 所以 f x的单调递增区间是 3 2 2 44 kkk Z 单调递减区间是 5 2 2 44 kkk Z 由 知 f x在 3 4 上单调递减 在 3 44 上单调递增 在 4 上单调递减 4 2 0 e0 42 ff 3 4 32 0 e0 42 ff 所以 f x在 上的最大值为 4 2 e 2 最小值为 3 4 2 e 2 当 x 时 11sin11 eeeee xxx x ee2 所以 4 2 1 2 e e 即 4 4 2 sin112 2 e eee2 e xx x 即 3 4 sin2 e e2 x x 综上所述 当 4 x 时 f x在 上取得最大值 4 2 e 42 f 当 3 4 x 时 f x在 上取得最小值 3 4 32 e 42 f 23 解 记这 3 个家庭中恰好有 2 个家庭是传统族为事件M 24 11 4 3 3 2 2 1 4 3 3 1 2 1 4 1 3 2 2 1 MP 在C小区选择的 20 户家庭中 前卫族 家庭有 5 户 X的可能取值为 0 1 2 3 则 228 91 0 3 20 3 15 0 5 C CC XP 用心 爱心 专心7 76 35 1 3 20 2 15 1 5 C CC XP 38 5 2 3 20 1 15 2 5 C CC XP 114 1 3 3 20 0 15 3 5 C CC XP 所以 X的分布列为 X0123 P 228 91 76 35 38 5 114 1 76 57 114 1 3 38 5 2 76 35 1 228 91 0 EX 24 解 由X的概率分布可得 0 10 10 31x 0 5x 0 1 10 520 3 30 1 4E X 2 4 所以一位申请者所经过的平均考试次数为 2 4 次 设两位申请者均经过一次考试为事件A 有一位申请者经历两次考试一位申请者经 历一次考试为事件B 两位申请者经历两次考试为事件C 有一位申请者经历三次考试一 位申请者经历一次考试为事件D 因为考试需交费用10030YX 两位申请者所需费用 的和小于 500 元的事件为ABCD 0 1 0 12 0 5 0 50 3 0 32 0 1 0 3 0 61 P ABCD 所以两位申请者所需费用的和小于 500 元的概率为 0 61 一位申请者获得许可证的考试费用低于 300 元的概率为 3 5 的可能取值为 0 1 2 3 4 4 216 0 5625 P 3 1 4 3296 1 55625 P C 22 2 4 32216 2 55625 P C 3 3 4 32216 3 55625 P C 4 381 4 5625 P 用心 爱心 专心8 的分布列为 25 解 由正弦定理及bAcCa coscos2得 BACCAsincossincossin2 在ABC 中 CBA BCA 即BCAsin sin BCABCACAACCAsincossinsincossin sin cossincossin2 0cossin CA 又 A0 C0 0sin A 0cos C 2 C 由 得 2 C 2 BA 即AB 2 222 15 sincossincossinsinsin1 sin 24 ABBBBBBB 0 2 B n时 13 13 1 1 nn nnn SSa 13 3 1 n 1 32 n X01234 P 16 625 96 625 216 625 216 625 81 625 用心 爱心 专心9 故 1 2 3 N n n an 因为 数列 n n b a 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 所以 12 1 21 n n b nn a 所以 1 2 21 3n n bn 所以 011 2 1 323 32 21 3n n Tn 所以 121 32 1 323 32 23 32 21 3 nn n Tnn 所以 121 2243434 32 21 3 nn n Tn 22362 21 3 44 34 nnn nn 所以 2 22 3n n Tn 27 解 设 22 1122 M x xN x x 由OMON 得 12 1x x 因为 1 xm 所以 2 1 x m 所以 2 24 4 1 m OMmmON m 所以 2 2 1111 2221 222 OMN SOM ONm m 所以 当1m 时 OMN面积取得最小值 1 设 22 3344 B x xC x x 直线 AB 的方程为 1 9 3 yk x AC 的方程为 2 9 3 ykx 因为 直线ABAC 与圆 2 2 21xy 相切 所以 12 22 12 3737 1 11 kk kk 所以 22 1122 421240 421240kkkk 所以 12 k k是方程 2 421240kk 的两根 用心 爱心 专心10 所以 12 21 4 kk 由方程组 2 1 9 3 yx yk x 得 2 11 930 xk xk 所以 31 3xk 同理可得 42 3xk 所以 直线BC的斜率为 22 43 4312 43 3 6 4 xx xxkk xx 28 解 因为点C到定点M的距离等于到定直线l的距离 根据抛物线定