二次函数知识点总结与典型例题

二次函数知识点总结及典型例题 一 二次函数的概念和图像一 二次函数的概念和图像 1 二次函数的概念 一般地 如果 那么 y 叫做 x 的二次函数二次函数 0 2 acbacbxaxy是常数 叫做二次函数的一般式 0 2 acbacbxaxy是常数 2 二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于对称的曲线 这条曲线叫抛物线抛物线 a b x 2 抛物线的主要特征 有开口方向 有对称轴 有顶点 3 二次函数图像的画法 五点法 1 先根据函数解析式 求出顶点坐标 在平面直角坐标系中描出顶点 M 并用虚 线画出对称轴 2 求抛物线与坐标轴的交点 cbxaxy 2 当抛物线与 x 轴有两个交点时 描出这两个交点 A B 及抛物线与 y 轴的交点 C 再找 到点 C 的对称点 D 将这五个点按从左到右的顺序连接起来 并向上或向下延伸 就得到 二次函数的图像 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时 描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D 由 C M D 三点可粗略地画出二次函数的草图 如果需要画出比较精确的图像 可再描 出一对对称点 A B 然后顺次连接五点 画出二次函数的图像 二 二次函数的解析式二 二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式 1 一般式 一般式 0 2 acbacbxaxy是常数 2 顶点式 顶点式 0 2 akhakhxay是常数 3 当抛物线与 x 轴有交点时 即对应二次好方程cbxaxy 2 有实根和存在时 根据二次三项式的分解因式0 2 cbxax 1 x 2 x 二次函数可转化为两根式两根式 21 2 xxxxacbxax cbxaxy 2 如果没有交点 则不能这样表示 21 xxxxay 三 二次函数的性质三 二次函数的性质 1 二次函数的性质 函数 二次函数 0 2 acbacbxaxy是常数 a 0a 0 图像 y 0 x y 0 x 性质 1 抛物线开口向上 并向上无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 3 在对称轴的左侧 即当 x 时 y 随 x 的增大而增大 简记左减右 a b 2 增 4 抛物线有最低点 当 x 时 a b 2 y 有最小值 a bac y 4 4 2 最小值 1 抛物线开口向下 并向下无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 3 在对称轴的左侧 即当 x 时 y 随 x a b 2 的增大而减小 简记左增右减 4 抛物线有最高点 当 x 时 a b 2 y 有最大值 a bac y 4 4 2 最大值 2 二次函数中 的含义 0 2 acbacbxaxy是常数 cb a 表示开口方向 0 时 抛物线开口向上aa 0 时 图像与 x 轴有两个交点 当 0 时 图像与 x 轴有一个交点 当 0 时 图像与 x 轴没有交点 补充 补充 1 两点间距离公式两点间距离公式 当遇到没有思路的题时 可用此方法拓展思路 以寻求解题方 法 y 如图 点 A 坐标为 x1 y1 点 B 坐标为 x2 y2 则 AB 间的距离 即线段 AB 的长度为 A 2 21 2 21 yyxx 0 x B 2 函数平移规律函数平移规律 中考试题中 只占 3 分 但掌握这个知识点 对提高答题速度有 很大帮助 可以大大节省做题的时间 左加右减 上加下减左加右减 上加下减 四 二次函数的最值四 二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数 那么函数在顶点处取得最大值 或最小值 即 当时 a b x 2 a bac y 4 4 2 最值 如果自变量的取值范围是 那么 首先要看是否在自变量取值范围 21 xxx a b 2 内 若在此范围内 则当 x 时 21 xxx a b 2 a bac y 4 4 2 最值 若不在此范围内 则需要考虑函数在范围内的增减性 21 xxx 如果在此范围内 y 随 x 的增大而增大 则当时 当 2 xx cbxaxy 2 2 2最大 时 1 xx cbxaxy 1 2 1最小 如果在此范围内 y 随 x 的增大而减小 则当时 当 1 xx cbxaxy 1 2 1最大 时 2 xx cbxaxy 2 2 2最小 典型例题典型例题 1 已知函数 则使 y k 成立的 x 值恰好有三个 则 k 的值为 2 2 113 513 xx y xx A 0B 1C 2D 3 答案 D 2 如图为抛物线的图像 A B C 为抛物线与坐标轴的交点 且 2 yaxbxc OA OC 1 则下列关系中正确的是 A a b 1 B a b 1 C b 2a D ac 0 答案 B 3 二次函数的图象如图所示 则反比例函数与一次函数 2 yaxbxc a y x 在同一坐标系中的大致图象是 ybxc 答案 D 4 如图 已知二次函数的图象经过点 1 0 1 2 当随的增cbxxy 2 yx 大而增大时 的取值范围是 x x y O 1 1 1 2 cbxxy 2 1 答案 1 2 x 5 在平面直角坐标系中 将抛物线绕着它与 y 轴的交点旋转 180 所得抛 2 23yxx 物线的解析式是 A B 2 1 2yx 2 1 4yx C D 2 1 2yx 2 1 4yx 答案 B 6 已知二次函数的图像如图 其对称轴 给出下列结果 cbxaxy 2 1 x 则正确的结论是 acb4 2 0 abc02 ba0 cba0 cba A B C D 答案 D 7 抛物线上部分点的横坐标 纵坐标的对应值如下表 2 yaxbxc xy x 2 1012 y 04664 从上表可知 下列说法中正确的是 填写序号 抛物线与轴的一个交点为 3 0 函数的最大值为 6 x 2 yaxbxc 抛物线的对称轴是 在对称轴左侧 随增大而增大 1 2 x yx 答案 8 如图 在平面直角坐标系中 O 是坐标原点 点 A 的坐标是 2 4 过点 A 作 AB y 轴 垂足为 B 连结 OA 1 求 OAB 的面积 2 若抛物线经过点 A 2 2yxxc 求 c 的值 将抛物线向下平移 m 个单位 使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB 的内部 不包 括 OAB 的边界 求 m 的取值范围 直接写出答案即可 解 1 点 A 的坐标是 2 4 AB y 轴 AB 2 OB 4 11 244 22 OAB SABOB 2 把点 A 的坐标 2 4 代入 2 2yxxc 得 c 4 2 2 2 2 4c 22 24 1 4yxxx 抛物线顶点 D 的坐标是 1 5 AB 的中点 E 的坐标是 1 4 OA 的 中点 F 的坐标是 1 2 m 的取值范围为 l m 3 9 已知二次函数 y x 2 x 的图像如图 1 4 3 2 1 求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标 2 将该抛物线沿它的对称轴向上平移 设平移后的抛物线与 x 轴 y 轴的交点分别 为 A B C 三点 若 ACB 90 求此时抛物线的解析式 3 设 2 中平移后的抛物线的顶点为 M 以 AB 为直径 D 为圆心作 D 试判断 直线 CM 与 D 的位置关系 并说明理由 解 1 二次函数 y x2 x 的对称轴为 x 3 D 3 0 1 4 3 2 2 设抛物线向上平移 h 个单位 h 0 则平移后的抛物线解析式为 y x2 x h 1 4 3 2 ACB 90 OC2 OA OB 设点 A B 的横坐标分别为 x1 x2 则 h2 x1 x2 x1 x2是一元二次方程 x2 x h 0 的两个根 1 4 3 2 x1 x2 4h h2 4h h 4 抛物线的解析式为 y x2 x 4 1 4 3 2 3 CM 与 D 相切 理由如下 连结 CD CM 过点 C 作 CN DM 于点 D 如下图所示 AB 是 D 的直径 ACB 90 点 C 在 D 上 根据平移后的抛物线的解析式 y x2 x 4 可得 OD 3 OC 4 DM CD 5 1 4 3 2 25 4 CN 3 MN CM CM CD 5 DM 9 4 15 4 15 4 25 4 CDM 是直角三角形且 DCM 90 CM 与 D 相切 10 如图 10 在平面直角坐标系 xOy 中 AB 在 x 轴上 AB 10 以 AB 为直径的 O 与 y 轴正半轴交于点 C 连接 BC AC CD 是 O 的切线 AD CD 于点 D tan CAD 抛 2 1 物线过 A B C 三点 cbxaxy 2 1 求证 CAD CAB 2 求抛物线的解析式 判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上 并说明理由 3 在抛物线上是否存在一点 P 使四边形 PBCA 是直角梯形 若存在 直接写出点 P 的坐标 不写求解过程 若不存在 请说明理由 1 证明 连接 O C CD 是 O 的切线 O C CD AD CD O C AD O CA CAD O C O A O CA CAB CAD CAB 2 AB 是 O 的直径 ACB 90 OC AB CAB OCB CAO BCO OC OB OA OC 即 tan CAO tan CAD OA 2OCOBOAOC 2 2 1 又 AB 10 OC 0 210 2 2 OCOCOC OC 4 OA 8 OB 2 A 8 0 B 2 0 C 0 4 抛物线过 A B C 三点 c 4cbxaxy 2 由题意得 解之得 04864 0424 ba ba 2 3 4 1 b a 4 2 3 4 1 2 xxy 设直线 DC 交 x 轴于点 F 易证 AOC ADC AD AO 8 2 O C AD FO C FAD AD CO AF FO 8 BF 5 5 BF 10 3 10 BF 0 3 16 F 设直线 DC 的解析式为 则 即mkxy 0 3 16 4 mk m 4 4 3 m k 由得4 4 3 xy 4 25 3 4 1 4 2 3 4 1 22 xxxy 顶点 E 的坐标为 将代入直线 DC 的解析式 4 25 3 E 4 25 3 E 中 4 4 3 xy 右边左边 抛物线的顶点 E 在直线 CD 上 4 25 4 3 4 3 11 如图所示 在平面直角坐标系中 四边形 ABCD 是直角梯形 BC AD BAD 90 BC 与 y 轴相交于点 M 且 M 是 BC 的中点 A B D 三点的坐标分别是 A 1 0 B 1 2 D 3 0 连接 DM 并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON 若抛物线 y ax2 bx c 经过点 D M N 1 求抛物线的解析式 2 抛物线上是否存在点 P 使得 PA PC 若存在 求出点 P 的坐标 若不存 在 请说明理由 3 设抛物线与 x 轴的另 个交点为 E 点 Q 是抛物线的对称轴上的 个动点 当点 Q 在什么位置时有最大 并求出最大值 QEQC 1 解 由题意可得 M 0 2 N 3 2 解得 2 293 093 c abc abc 1 9 1 3 2 a b c y 2 11 2 93 xx 2 PA PC P 在 AC 的垂直平分线上 依题意 AC 的垂直平分线经过 B 1 2 1 0 这条直线为 y x 1 2 1 11 2 93 yx yxx 解得 1 1 33 2 23 2 x y 2 2 33 2 23 2 x y P1 P2 33 2 23 2 33 2 23 2 3 D 为 E 关于对称轴 x 1 5 对称 CD 所在的直线 y x 3 yQ 4 5 Q 1 5 4 5 最大值为 CD 个单位 秒 QEQC 22 22 2 2 A B C DOE NM x y 图 3 当时 有最大值为 此时 2 9 t 4 121 2 39 2 11 P 12 如图 抛物线 y x2 bx 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 且 A 一 2 1 1 0 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标 判断 ABC的形状 证明你的结论 点M m 0 是x轴上的一个动点 当CM DM的值最小时 求m的值 1 点A 1 0 在抛物线y x2 bx 2上 1 2 b 1 2 0 解得b 2 1 2 1 2 3 抛物线的解析式为 y x2 x 2 y x2 x 2 x2 3x 4 x 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 8 25 顶点 D 的坐标为 2 3 8 25 2 当 x 0 时 y 2 C 0 2 OC 2 当 y 0 时 x2 x 2 0 x1 1 x2 4 B 4 0 2 1 2 3 OA 1 OB 4 AB 5 AB2 25 AC2 OA2 OC2 5 BC2 OC2 OB2 20 AC2 BC2 AB2 ABC 是直角三角形 3 作出点 C 关于 x 轴的对称点 C 则 C 0 2 OC 2 连接 C D 交 x 轴于点 M 根据轴对称性及两点之间线段最短可知 MC MD 的值最小 设直线 C D 的解析式为 y kx n 则 解得 n 2 8 25 2 3 2 nk n 12 41 k 当 y 0 时 2 12 41 xy02 12 41 x 41 24 x 41 24 m 13 2011 浙江金华 10 分 在平面直角坐标系中 如图 1 将 n 个边长为 1 的正方形并 排组成矩形 OABC 相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上 设抛物线 y ax2 bx c a 0 过矩形顶点 B C 1 当 n 1 时 如果 a 1 试求 b 的值 2 当 n 2 时 如图