高一必修1函数的概念教学设计及反思

1 函数的概念函数的概念 教学目标 教学目标 1 通过丰富实例 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型 2 了解对应关系在刻画函数概念中的作用 3 了解构成函数的三要素 会求一些简单函数的定义域和值域 教学重点 教学重点 函数概念和函数定义域及值域的求法 教学难点 教学难点 函数概念的理解 教学方法 教学方法 自学法和尝试指导法 教学过程 教学过程 引入问题 引入问题 问题 1 初中我们学过哪些函数 正比例函数 反比例函数 一次函数和二次函数 问题 2 初中所学函数的定义是什么 设在某变化过程中有两个变量 x 和 y 如果给 定了一个 x 的值 相应地确定唯一的一个 y 值 那么就称 y 是 x 的函数 其中 x 是自变量 y 是因变量 函数感性认识 函数感性认识 教材例子 1 炮弹飞行时间的变化范围是数集 炮弹距地面的 026 Axx 高度 h 的变化范围是数集 对应关系 从问题的 0845 Bhh 2 1305htt 实际意义可知 对于数集 A 中的任意一个时间 t 按照对应关系 在数集 B 中都有唯 一确定的高度 h 和它对应 例子 2 中数集 并且对于数集 A 中 19792001 Att 026 BSS 的任意一个时间 t 按图中曲线 在数集 B 中都有唯一确定的臭氧层空洞面积 S 和它对应 例子 3 中数集 且对于 1991 1992 2001 53 8 52 9 37 9 AB 数集 A 中的每一个时间 年份 按表格 在数集 B 中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应 IIIIII 归纳总结给函数 归纳总结给函数 定性定性 归纳以上三例 三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集 A B 间的一种对 应关系 对数集 A 中的每一个 x 按照某个对应关系 在数集 B 中都有唯一确定的 y 和它 对应 记作 fAB IV IV 理性认识函数的定义理性认识函数的定义 设 A B 是非空的数集 如果按照某种确定的对应关系 f 使对于集合 A 中的任意一个 数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就称为从集合 A 到集 fAB 合 B 的一个函数 函数 functionfunction 记作 其中 x 叫做自变量 x 的取值范围 A yf x xA 叫做函数的定义域 定义域 domaindomain 与 x 的值相队对应的 y 的值叫做函数值 函数值的集合 叫做函数的值域值域 range range f x xA 定义域 值域 对应法则 称为函数的三个要素 缺一不可 定义域 值域 对应法则 称为函数的三个要素 缺一不可 1 1 对应法则 对应法则 f x 是一个函数符号 表示为 y 是 x 的函数 绝对不能理解为 y 等 于 f 与 x 的乘积 在不同的函数中 f 的具体含义不一样 y f x 不一定是解析式 在不少问题中 对应法则 f 可能不便使用或不能使用解析式 这时就必须采用其它方式 如数表和图象 在研究函数时 除用符号 f x 表示外 还常用 g x F x G x 等符号来表示 自变量 x 在其定义域内任取一个确定的值 a 时 对应的函数值用符号 f a 来表示 如 函数 f x x2 3x 1 当 x 2 时的函数值是 f 2 22 3 2 1 11 注意注意 f a 是常量 f x 是变量 f a 是函数 f x 中当自变量 x a 时的函数值 2 2 2 定义域 定义域是自变量 x 的取值范围 注意注意 定义域不同 而对应法则相同的函数 应看作两个不同函数 如 y x2 xy x2 x 0 y 1 与 y x0与 R 若未加以特别说明 函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数 x 的集 合 在实际中 还必须考虑 x 所代表的具体量的允许值范围 如 一个矩形的宽为 xm 长是宽的 2 倍 其面积为 y 2x2 此函数的定义域为 x 0 而 不是 Rx 3 3 值域 值域是全体函数值所组成的集合 在大多数情况下 一旦定义域和对应法则确定 函 数的值域也随之确定 V V 区间的概念区间的概念 设 a b 是两个实数 且 a b 规定 投影 1 1 满足不等式的实数的 x 集合叫做闭区间 表示为 bxa b a 2 满足不等式的实数的 x 集合叫做开区间 表示为 bxa b a 3 满足不等式的实数的 x 集合叫做半开半闭区间 表示为 bxa ba 4 满足不等式的实数的 x 集合叫做也叫半开半闭区间 表示为 bxa b a 说明 说明 对于 都称数 a 和数 b 为区间的端点 其中 a 为左 b a b a ba b a 端点 b 为右端点 称 b a 为区间长度 引入区间概念后 以实数为元素的集合就有三种表示方法 不等式表示法 3 xa xb x0 时 求的值 1 f af a 分析 函数的定义域通常由问题的实际背景确定 如前述的三个实例 如果只给出解 析式 而没有指明它的定义域 那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的 yf x 实数的集合 解略 例例 2 2 求下列函数的定义域 1 2 3 1 1 2 1 f x x x 42f xxx x xxf 2 1 1 3 分析分析 给定函数时 要指明函数的定义域 对于用解析式表示的函数 如果没有给出 定义域 那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合 从上例可以看出 当确定用解析式 y f x 表示的函数的定义域时 常有以下几种情况 1 如果 f x 是整式 那么函数的定义域是实数集 R 2 如果 f x 是分式 那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 3 如果 f x 是偶次根式 那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合 4 如果 f x 是由几个部分的数学式子构成的 那么函数的定义域是使各部分式子都有 意义的实数的集合 即使每个部分有意义的实数的集合的交集 5 如果 f x 是由实际问题列出的 那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实 际意义的实数的集合 由以上分析可知 函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定 由以上分析可知 函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定 例例 3 3 下列函数中 哪个与函数 y x 是同一函数 书 P21例 2 1 y 2 2 y 3 y 4 y x x x2 3 3 x 2 x 分析 分析 判断两个函数是否相同 要看定义域和对应法则是否完全相同 只有完全一致时 这两个函数才算相同 解略 课堂练习 课堂练习 课本 P22练习 1 2 3 课时小结 课时小结 本节课我们学习了函数的定义 包括定义域 值域的概念 及求函数定义域的方法 函数 定义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视 课后作业课后作业 1 书面作业 课本 P28习题 1 2A 组题第 1 2 3 4 题 B 组第 1 2 题 2 预习作业 1 预习内容 课本 P22 P23 2 预习提纲 a 函数的表示方法分别有哪几种 c 回顾初中学过的做函数图象的方法步骤 教学反思教学反思 函数是高中数学中一个非常重要的内容之一 贯穿整个高中数学学习 其 重要性体现在 1 函数源于在现实生活 具有广泛的应用 2 函数是沟通代 数 几何 三角等内容的桥梁 3 函数部分内容蕴涵重要数学方法 分类讨论 的思想 数形结合的思想 化归的思想等 这些思想方法是进一步学习数学和 解决数学问题的基础 然而函数这部分知识在教学中又是一大难点这主要是因为概念的抽象性 学生理解起来不容易 由于函数这部份知识的主要思想特点体现于一个 变 字 接受起来就更难 研究的主要是 变量 与 变量 之间的关系 要求用 变量的眼光 运动变化的观点去看待相关问题 所以函数成了高一新生进入高 中的一条拦路虎 突破了它后面的学习就容易了 函数的概念表现出来的都是抽象的数学形式 在数学的教学中